2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試選擇題壓軸題50題專練（含答案）

2024-2025高二上學(xué)期期末考試選擇題壓軸題50題專練

【人教A版（2019）］

一、單選題（共35題）

1.（2023下?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐P-力BCD中，若麗=:而，PF=^PC,平面AEF與棱

PD交于點(diǎn)G,則四棱錐P-4EFG與四棱錐P-4BCD的體積比為（）

A.—B.—C.—D.—

46454545

2.（2023下?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。一4/1Ci。［中，AB=AAt=6,AD=8,E

為棱AO上一點(diǎn)，且2E=6,平面4BE上一動(dòng)點(diǎn)Q滿足的?而=0,設(shè)尸是該長(zhǎng)方體外接球上一點(diǎn)，則尸,

。兩點(diǎn)間距離的最大值是（）

A.V34+2V6B.V34+V22

C.V34+VT1D.V34+V6

3.（2023上?四川遂寧?高二統(tǒng)考期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-a/iGA中，尸為線段劣小上動(dòng)

點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.

①三棱錐P-&BD中，點(diǎn)P到面&BD的距離為定值警

②過(guò)點(diǎn)尸且平行于面4BD的平面被正方體ABC。-ABiGA截得的多邊形的面積為2舊

③直線Pa與面4BD所成角的正弦值的范圍為俘，用

④當(dāng)點(diǎn)尸為當(dāng)2中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P的外接球表面積為Ilir

以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2023上?浙江嘉興?高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-4/1QD1中，E為棱4tBi的中

點(diǎn)，MN分別是底面ZBCD與側(cè)面CDDiG的中心，P為該正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM，BE,記點(diǎn)

P的軌跡所在的平面為a,則過(guò)N,C,4,G四點(diǎn)的球面被平面a截得的圓的周長(zhǎng)是（）

5.（2023上?北京密云?高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱力8C-481G中，底面△ABC為等腰直角三角形，且滿

足48=2C=44=1,點(diǎn)P滿足9=4阮+〃兩，其中46[0,1],〃e[0,1],則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，AABP的面積S的最大值為日

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P—A/C的體積為定值

C.當(dāng)2=決寸，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得

D.當(dāng)4=3時(shí)，存在點(diǎn)P，使得平面力

6.（2023上?北京西城?高三統(tǒng)考期末）如圖，正方形A8CD和正方形CDE尸所在的平面互相垂直.01是正方

形A8CD及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，出是正方形CDEF及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)4B=1,給出下列三個(gè)

結(jié)論：

①eQi，mNe。2，使MN=2；

②mMeQ］萬(wàn)使EM1BN；

③6Qi，mN6。2，使EM與BN所成的角為60。.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2023上?北京?高二清華附中?？计谀┤鐖D，在正方體4BCD中，E為棱當(dāng)?shù)牡闹悬c(diǎn).動(dòng)點(diǎn)

P沿著棱DC從點(diǎn)。向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P,使得P4=PE；

②存在點(diǎn)P,使得BA1平面P&E；

③、P&E的面積越來(lái)越??；

④四面體&PB1E的體積不變.

A.1B.2C.3D.4

8.（2023下?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末）已知點(diǎn)P為直線I：久+y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：

久2+2久+V=o的切線pa,PB,切點(diǎn)為4B,當(dāng)|PC|?|48|最小時(shí)，直線4B的方程為（）

A.3%+3y+1=0B.3%+3y—1=0

C.2x+2y+1=0D.2%+2y—1=0

9.（2023上?遼寧鞍山?高二鞍山一中校聯(lián)考期末）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)

難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，歹！J如,

與J(x-a)2+(y—6)2相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(工,切與點(diǎn)(a,6)之間的距離的幾何問(wèn)題.己知點(diǎn)

MCq,%.)在直線，i：y=x+2，點(diǎn)N(>2，y2)在直線，2：y=久上，且MN1h，結(jié)合上述觀點(diǎn)，，籽+(%-4)2+

1(>2-5)2+火2的最小值為()

A.—B.—C.V41-V2D.5

22

10.(2022上?重慶九龍坡?高二校考期中)已知點(diǎn)P在直線I：3x+4y-20=0上，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線與圓。：

/+y2=4分別相切于48兩點(diǎn)，則圓心。到直線A8的距離的最大值為()

A.—B.—C.V3D.1

25

11.(2023下?北京?高二北京八中?？计谀?在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(a,6)滿足⑷+\b\=1,記d為

點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)a,6,ni變化時(shí)，d的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

12.(2023?山西運(yùn)城?康杰中學(xué)?？级?數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位

于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知2L48C的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),若其歐拉線的方程為x-y+2=0,

則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

A.(—4,0)B.(—3,—1)C.(—5,0)D.(—4,—2)

13.(2018?全國(guó)?高考真題)直線x+y+2=0分別與％軸，y軸交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2尸+于=2±,

則△4BP面積的取值范圍是

A.[2,6]B.[4,8]C.[夜，3VliD.[2/，3vli

14.(2023上?湖南張家界?高二統(tǒng)考期末)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為

亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲

線》一書(shū)中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)2,B的距離之比為；1(2>0,44

1),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.如動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)2弓,0),B(5,0)的距離之比為[時(shí)的阿波羅尼斯

圓為/+丫2=%下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓0：/+V=4上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)4(—1,0),

則21M川+|M8|的最小值為()

A.2+V10B.V21C.V26D.V29

2222

15.(2023上?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的:彳+與=1(的>瓦>0)與雙曲線。2$一巳=

1(42>032>0)具有相同的左、右焦點(diǎn)0,&,點(diǎn)P為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線G上，若記曲

線G，C2的離心率分別為e「02,滿足e「02=1,且直線PF1與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,等），則N&QF?的最

大值為（）

A.-B.-C.—D.—

3236

22

16.（2023下?湖南?高二校聯(lián)考期末）如圖，已知兒尸2是雙曲線C：京-1的左、右焦點(diǎn)，P,Q為雙曲線C上

兩點(diǎn)，滿足?止11尸2<2，且I4QI=l&Pl=3I&PI，則雙曲線c的離心率為（）

17.（2023下?四川成者B?高二校聯(lián)考期末）如圖，已知橢圓的:《+'=l（a〉6>0）和雙曲線。2：5―'=

l（m>0,n>0）有公共的焦點(diǎn)尸式―c,0）,々（c,。），G，。2的離心率分別為e「e2,且在第一象限相交于

①若a?+3m2=4c2,則b=V3n；

②若|PFi|?|PF?I=2,則a?-62的值為1;

③△62尸2的面積§=汨）；

④若N6PF2=60°,則當(dāng)02=時(shí)，el+e/取得最小值2.

A.①②B.②③C.③④D.②④

18.（2023下?四川成都?高三校聯(lián)考期末）若4是拋物線外=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C在y軸上，圓Q-2尸+必=

4內(nèi)切于△ABC,則△48C面積的最小值為（）

A.8B.16C.24D.32

19.（2023上?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)M,N是拋物線y=4/上不同的兩點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，且

滿足NMFN=§,弦MN的中點(diǎn)P到直線=-2的距離記為d,若不等式|MN|222d2恒成立，則4的取值

316

范圍()

A.(-oo,V2]B.(-oo,2]

C.(-OO,1+V2]D.(-00,3]

22

20.(2023上?天津西青?高二校聯(lián)考期末)己知雙曲線彳-a=1(6>0)的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于VI,

拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線小4久-3y+8=0和6優(yōu)=-3的

距離之和的最小值為()

A11B-C-D-

.5555

21.(2023上?江西上饒?高二統(tǒng)考期末)P是拋物線y2=8為上一點(diǎn),點(diǎn)4(4,1),B是圓C:(x+2)2+(y-4)2=1

關(guān)于直線Z:x-y+2=0的對(duì)稱曲線6上的一點(diǎn)，則|P川+|PB|的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

2

22.(2023下?遼寧鐵嶺?高二校聯(lián)考期末)已知數(shù)列滿足的=1,20n+i=an.設(shè)匕=(n-3n-2)an,

若對(duì)于任意的neN*,426n.恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.[|>+°°)B.[2,+oo)

C.[5,+00)D.[6,+oo)

23.(2023下?安徽合肥?高二統(tǒng)考期末)如圖，正方形2BCD的邊長(zhǎng)為5,取正方形力BCD各邊的中點(diǎn)E,F,G,",

作第2個(gè)正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)作第3個(gè)正方形//KL,依此方法一直繼

續(xù)下去，則從正方形力BCD開(kāi)始，連續(xù)15個(gè)正方形的面積之和等于()

A.1001-Q)15B.501-Q)15

24.(2023下?云南曲靖?高一曲靖一中?？计谀?高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)

學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/(%)=田，其中因表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[2.3]=

2,[-1.9]=-2,已知數(shù)列滿足的=1,%=5,an+2+^an=5an+1,若狐=[log2an+1],S九為數(shù)列

需黑｝的前n項(xiàng)和，則[S2025]=（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

25.（2023上?安徽滁州?高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為-%其前幾項(xiàng)和為%,且％,胃，口3

成等差數(shù)列，若對(duì)任意的neN*,均有-：WB恒成立，則4的最小值為（）

7in5

A.2B.-C.—D.-

633

26.（2023上?浙江金華?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛即｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,在內(nèi),。2之間插

入1個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記公差為di，在。2，。3之間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差

為d2,…,在即,廝+1之間插入力個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為冊(cè)，則（）

A.當(dāng)0＜q＜l時(shí)，數(shù)列｛d"單調(diào)遞減B.當(dāng)q＞l時(shí)，數(shù)列｛d"單調(diào)遞增

C.當(dāng)期＞42時(shí)，數(shù)列｛麻｝單調(diào)遞減D.當(dāng)心＜&2時(shí)，數(shù)列回?｝單調(diào)遞增

。九+i=bn—

7,

bn+l=an+z-

（un

nGN*,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.氏=9B.45。如）＜112

05O4

C.a5o+=a，。50仇0D.|。50—^soI-15

28.（2023上?福建龍巖?高二統(tǒng)考期末）記％是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛&J的前〃項(xiàng)和，的=4.數(shù)列｛如｝滿

足勾=且冊(cè)=2（bn+fon_i）（n＞2）則下列選項(xiàng)惜送的是（）

A.an=8n—4

,k=lS/cSk+i4

29.（2023下?安徽合肥?高二校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為尸（式），且滿足/（無(wú)）＞/（%）+

1,/（0）=2023,則不等式e-"（x）＞eT+2022（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（）

A.（2022,+oo）B.（-oo,2023）C.（0,+oo）D.（-8,0）

30.（2023下?內(nèi)蒙古赤峰?高二校聯(lián)考期末）已知a=e02-1,b=lnl.2,c=tan0.2,其中e=2.71828…為

自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）

A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c

31.（2023下?福建三明?高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（￡）=也”，則（）

A.函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（一14）.

B.曲線y=/O）在點(diǎn)（l,3e）處的切線方程為y=e（x+1）.

C.函數(shù)/（%）既有極大值又有極小值，且極大值大于極小值.

D.若方程f（x）=k有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（O1）U（4粕,+8）.

32.（2023下?云南昆明?高二統(tǒng)考期末）已知關(guān)于%的不等式（a+1）%ZIn%+b恒成立，貝!的最小值

為（）

ill

A.-1B.--C,--D.--

33.（2023下?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）已知曲線y=%+In%在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線y=ax2+（a+4）x+

In%-1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>0B.a之0或a=-1

C.-14aW0D.ct之一1

34.（2023上?重慶沙坪壩?高二重慶一中?？计谀┰O(shè)函數(shù)/（%）=ex-ax2+ax（aeR）（e=2.718…為

自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若恰好存在兩個(gè)正整數(shù)n使得/（爪）<0,/（n）<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A停舄B.回分

C?信TD.信3

35.（2023下?北京豐臺(tái)?高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)f（久）=，/—（：++2a.%<1,給出下列四個(gè)結(jié)論：①

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)〃久）有三個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)；③Va￡R,x=2是函數(shù)

的極小值點(diǎn)；④Va€R,x=等不是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

二、多選題（共15題）

36.（2023下?福建龍巖?高二統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-中，點(diǎn)N滿足瓦R=x瓦耳+

yB^cl，其中xe[0,l],ye[0,1],異面直線BN與CG所成角為g點(diǎn)M滿足前=磯+2石瓦+

尢砒（4€[0,1]）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.BrN=1

B.CM1BD

C.當(dāng)線段MN取最小值時(shí)，x+y=y

D.當(dāng)2=1時(shí)，與AM垂直的平面截正方體所得的截面面積最大值為3百

37.（2023下?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體4G中，=乙=45。，AD=AB,

AC與80交于點(diǎn)O,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.平面4。。出1平面8DD/1

B.若囚0|=|4。|,則平行六面體的體積U=，I4C|S四邊形B遇皿

--->1--->1--->----->

C.&。=-AB+-AD+AA.

1221

D.若NBA。=60°,貝kosN412c=y

38.（2023下?遼寧朝陽(yáng)?高二校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，△P4B和△A8C均為邊長(zhǎng)為2的等

邊三角形，則下列說(shuō)法正確的是（）

B.當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)，三棱錐P—ABC的外接球的體積為竽n

C.當(dāng)二面角P—48—C的余弦值為:時(shí)，PB1AC

D.若二面角P—AB—C的大小為仇且。eg,當(dāng)時(shí)，直線PB與AC所成角的余弦值最大為3

33o

39.（2023上?遼寧朝陽(yáng)?高二?？计谀┮阎狾G：/+y2=1與。&：（久一3cos?）2+（y—3sin8）2=4,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.0cl與。。2有2條公切線

B.當(dāng)8=強(qiáng)寸，直線x+y—/=0是OQ與。。2的公切線

C.若M,N分別是OG與（DC2上的動(dòng)點(diǎn)，則|MN|的最大值是3

D.過(guò)點(diǎn)Ci作。。2的兩條切線，切點(diǎn)分別是P,Q，則四邊形GPGQ的面積是2小

40.（2023上?遼寧鞍山?高二鞍山一中校聯(lián)考期末）過(guò)直線依+y+4=0（k>0）上一點(diǎn)M作圓C:x2+y2-

2y=0的兩條切線.切點(diǎn)分別為4B,若四邊形周長(zhǎng)的最小值是6,則（）

A.k=2B.乙4MB的最大度數(shù)為60。

C.直線48必過(guò)點(diǎn)（—|,JD.|A8|的最小值為手

41.（2022上.重慶.高二校聯(lián)考期末）設(shè)圓0：/+川=1與>軸的正半軸交于點(diǎn)兒過(guò)點(diǎn)A作圓。的切線

為/,對(duì)于切線，上的點(diǎn)2和圓。上的點(diǎn)C,下列命題中正確的是（）

A.若乙4BO=30。，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（舊,1）

B.若|。8|=2,貝內(nèi)。WNOBCW30。

C.若NOBC=30°,貝U|OB|=2

D.若乙4BC=60。，貝1||。8|32

42.（2023下?福建廈門(mén)?高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，&（-1,-1）,F2（l,l）,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF/+

\PF2\=4,則（）

A.尸的軌跡方程為次+些=1B.尸的軌跡關(guān)于直線y=x對(duì)稱

42

C.APFiF2的面積的最大值為2D.尸的橫坐標(biāo)的取值范圍為［一百,百］

43.（2023下?安徽黃山?高二統(tǒng)考期末）已知拋物線=4乃過(guò)焦點(diǎn)尸的直線交拋物線于4B兩點(diǎn)，分別

過(guò)4B作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為4,Bi，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q（—l,0）,貝U（）

A.ArF1B］F

B.若［4尸|=3,貝必20F的面積為2夜

C.若M為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則^的取值范圍為［曰,1］

D.若乙4QB=60。，則直線4B的傾斜角a的正弦值為苧

44.（2023下?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線一箕=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,

左、右頂點(diǎn)分別為&、A2,P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線P4與P&的斜率之積等于3,則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.雙曲線C的漸近線方程為丫=士百久

B.若PR1PF2,且SAPFIFZ=6，則a=l

C.分別以線段P&、&&為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切

D."F2Al=2Z-PA1F2

45.（2023下?安徽亳州?高二亳州二中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)積為6,的>0,公比q>1,且

T2b23V1，72024>1，則（）

A.當(dāng)九=2023時(shí)，〃最小

B.。2024>1

C.存在?2<1012,使得=。九+2

D.當(dāng)九二1012時(shí)，7；最小

46.（2023上?江蘇揚(yáng)州?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛廝｝的前〃項(xiàng)和為%,%=1,an=

L1,n1（keN*）.則下列選項(xiàng)正確的為（）

U^n-1+L九=+1

A.a6=14

B.數(shù)列S2kT+3｝（kGN*）是以2為公比的等比數(shù)列

k+1

C.對(duì)于任意的keN*,a2k=2-3

D.Sn>1000的最小正整數(shù)n的值為15

47.（2023下?江西?高二統(tǒng)考期末）“內(nèi)卷”是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)流行詞，一般用于形容某個(gè)領(lǐng)域中發(fā)生了過(guò)度的競(jìng)爭(zhēng),

導(dǎo)致人們進(jìn)入了互相傾軋、內(nèi)耗的狀態(tài)，從而導(dǎo)致個(gè)體“收益努力比”下降的現(xiàn)象.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的

展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定

點(diǎn)開(kāi)始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）;它的畫(huà)法是這樣的：正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,取正

方形ABC。各邊的四等分E,F,G,”作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M,N,P,

。作第3個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形A3。邊長(zhǎng)為的,后續(xù)各

正方形邊長(zhǎng)依次為<12，a3,,an；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為瓦，后續(xù)各直角三角形面

積依次為無(wú)，仇，，bn,下列說(shuō)法正確的是（）

G

DP-C

F

B

圖⑴圖⑵

A.數(shù)歹U｛言｝與數(shù)列均是公比為平的等比數(shù)列

B.從正方形A3CZ)開(kāi)始，連續(xù)4個(gè)正方形的面積之和為承

4

C.力5和。4滿是等式=總(。4)2

256

D.設(shè)數(shù)列也｝的前a項(xiàng)和為％,則］喈

48.(2023上?河北?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/⑺=(e'+l)x-a(ex—1),則()

A.a>0時(shí)，/(%)>0

B.a42時(shí)，/(%)單調(diào)遞增

C.a>2時(shí)，/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)

D.若/(%)=0有三個(gè)不等實(shí)根第1、%2、％3，則久1+%2+光3=0

49.(2023下?遼寧?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/"(*)=-1爐+%+b,下列選項(xiàng)正確的是()

A.當(dāng)/(%)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為(-|,|)

B.g(x)=|f(x)-B是偶函數(shù)

C.設(shè)/O)的極大值為M,極小值為小，若M+m=2,貝g=2

D.若過(guò)點(diǎn)P(l,l)可以作/(尤)圖象的三條切線，則b的取值范圍^

50.(2023下?山東威海?高二統(tǒng)考期末)對(duì)于函數(shù)/(?=已，下列說(shuō)法正確的是()

A./(久)在(1,6)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

B.若方程/(|x|)=k有4個(gè)不等的實(shí)根，貝麟〉e

nx

C.當(dāng)0<無(wú)1<%2<1時(shí)，x1\nx2<x2li

D.設(shè)g(x)=/+a,若對(duì)Vx1€R,3x2E(1,+oo),使得。(勺)=/'(久2)成立，則aNe

高二上學(xué)期期末考試選擇題壓軸題50題專練

【人教A版（2019）］

一、單選題（共35題）

1.（2023下?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐P-力BCD中，若麗=|麗，PF=^PC,平面AEF與棱

PD交于點(diǎn)G,則四棱錐P-4EFG與四棱錐P-4BCD的體積比為（）

4

ABcD.—

-i-J-q45

【解題思路】利用4、E、F、G四點(diǎn)共面，PG=lPD,由錐體體積公式，求出獸迎和，的值，即可

5vp-ABCDVP-ABCD

得答3的值.

VP-ABCD

【解答過(guò)程】如圖所示,

設(shè)肝=xAE+yAG,則族+~PF=x（AP+~PE）+y（AP+PG）,

即布+家樂(lè)+同一硝=xAP+y（X5-XP）+yAP+y（AAD-XAP）,

得d一y一：+，y）"0+G—g）存+G-力），

|—y—|+Ay=0

又加，AB,而不共面，則|-y=0,解得：2=|,即同=|而,

|—Ay=0

PF

設(shè)hi，殳分別是點(diǎn)F到平面P4E和點(diǎn)C到平面P4B的距離,=而'

所以?Vp-AEF__SAPZE.竺PAPEPFPEPF2

VP-ABCyC-PABSNAB仇2S^PABPCPAPBPCPBPC9

1Vp-4EF_1

^P-ABC~2^P-ABCD?

^P-ABCD9

Vp-AGF_VF-PAG_PAPGPF_PG__1Up-4GF1

同理,V-~Vc-PAD~PAPDPC~PDPC~15fT/P-ADC_Vp-ABCD9

PADC2^P-ABCD15

4-4EFG4-/GF+Vp-AEF_11_8

==

^P-ABCDVP-ABCD—91545

則四棱錐P-力EFG與四棱錐P—4BCD的體積比為之

45

故選：B.

2.（2023下?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD中，AB==6,AD=8,E

為棱AD上一點(diǎn)，且4E=6,平面4/E上一動(dòng)點(diǎn)Q滿足的?而=0,設(shè)尸是該長(zhǎng)方體外接球上一點(diǎn)，則尸,

。兩點(diǎn)間距離的最大值是（）

A.V34+2V6B.V34+V22

c.V34+VT1D.V34+V6

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，結(jié)合平面向量基本定理求出點(diǎn)Q到外接球球心距離的最

大值，然后加上外接球半徑即為要求的最大值.

【解答過(guò)程】以C為原點(diǎn)，C4CB,CQ所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)Q（x,y,z）,長(zhǎng)方體外接球球心記為0.

則0(3,4,3),A(6,8,0),B(0,8,0),E(6,2,0),&(6,8,6),

EQ=(%-6,y-2,z),AQ=(x-6,y-8,z),麗=(-6,6,0),

EAr=(0,6,6),OQ=(x-3,y—4,z—3).

因?yàn)榈摹龆?0,所以(x-6)2+(y-2)(y-8)+z2=0①.

又動(dòng)點(diǎn)Q在面2BE上，所以可設(shè)的=4麗+〃引,

%—6=—64x=6—64

則y-2=62+6〃,即y=2+62+6/z②.

、z=6〃z=6[i

將②代入①中整理得2"+2/+2.=2+〃③.

在三棱錐2—力1BE中，AE=AB=AAi=6且2E,4B,力力1兩兩互方目垂直，

所以三棱錐4-4/E為正三棱錐且底邊BE=6或.

當(dāng)AQ1面&BE時(shí)，|而|最小，在正三棱錐4一41BE中由等體積法有

|x|x6x6x6=|x|x6V2x6V2xsin^x|而解得|而|=2百.

在RtAAQE中，AE=6,此時(shí)|的|有最大值/2-(2百丁=2五.

又|的|=y](%-6)2+(y-2)2+z2.

先代入②再代入③有|而|=，36(2；12+2必+2川)=6陰+

則60+〃=2痣,此時(shí)2+〃有最大值，解得Q+〃)max=|.

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，滿足的?而=0,|而|最大，此時(shí)(4+〃)min=。.則2+〃C[。,|[

點(diǎn)Q到外接球球心距離為阿=代-3)2+(y-4)2+(Z-3)2④.

將②代入④中整理得|麗|=J36(2\2+2*+2加)—60(6+〃)+22.

又222+242+2%〃=%+〃，所以|OQ|=J-24(2+〃)+22.

因?yàn)?+/ze[0,|],所以當(dāng)；1+〃=0時(shí)，|而|max=后.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球半徑為1,62+82+62=V34.

所以P,。兩點(diǎn)間距離的最大值為原+V22.

故選：B.

3.(2023上?四川遂寧?高二統(tǒng)考期末)如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，尸為線段當(dāng)必上動(dòng)

點(diǎn)(包括端點(diǎn)).

①三棱錐P-&BD中，點(diǎn)P到面&BD的距離為定值竽

②過(guò)點(diǎn)尸且平行于面4BD的平面被正方體2BCD-久/的久截得的多邊形的面積為

③直線P4與面4BD所成角的正弦值的范圍為停當(dāng)]

④當(dāng)點(diǎn)P為名5中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P的外接球表面積為Ilir

以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于①③用空間向量求解；對(duì)于②可證明三角形為截面多邊形,

求其面積即可；對(duì)于④設(shè)球心。（%o，yo，Zo）,由|。411=\0B\=\0D\=|0P|求解球心坐標(biāo)即可.

【解答過(guò)程】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,A41為久,y,z軸建系如圖：

A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),Ar(0,0,2),Br(2,0,2),(0,2,2),

而=(t,2—t,0),FD=(-2,2,0),幣=(2,0,-2),

設(shè)瓦？=1OT(0<t<2),

則布=函*+g(ADi-麗)=(1-》碣+g麗=(2-t,t,2),

所以P(2—t,t,2)(0WtW2)

設(shè)面的一個(gè)法向量為元=Oi，yi，Zi),

[jjilfn-BD=0.(-2%!+2%=0

本幣=0"I2%-2zi=0

令%i=1得%=l,z1=1,?1?n=(1,1,1),

對(duì)于①：P到平面4BD的距離為4=安=史等=竽，故①正確;

對(duì)于②：連接BiGAC,因?yàn)樗倪呅蜝/QO為平行四邊形，

BD“B\D',又BDu面&BD,B1D1仁面4/D,

.-.當(dāng)。1〃面4B。，

同理可證BiC〃面&BD,

又BiDiCB]C=所以面」AC〃面&BD,

所以過(guò)點(diǎn)尸且平行于面4/0的平面被正方體48CD截得的多邊形為△/。停,

它是邊長(zhǎng)為2位的等邊三角形，故面積為曰(2ay=2b，故②正確；

對(duì)于③：設(shè)直線P4與面&BD所成角為。，則sine=|cos(中質(zhì))|=黑篇=而備而，

---0<t<2,>'-—2t+2e[1,2],,sin?6，

所以直線P4與面所成角的正弦值的范圍為故③正確；

對(duì)于④：當(dāng)點(diǎn)尸為當(dāng)久中點(diǎn)時(shí)P(l,l,2),設(shè)三棱錐P-Z/D的外接球球心00o，yo，zo),

???\0Ar\=\0B\=\0D\=\0P\,

222

就+據(jù)+(Zo-2)2=(x0-2)2+詔+Z,=將+(yo-2)2+Z，=(x0-l)+(y0-l)+(z0-2),

解得X。=yo=z0=

所以外接球半徑R滿足：R2=|0B『=G-2丫+"；=?，

三棱錐P的外接球表面積為S=4TTR2=111T,故④正確；

綜上：①②③④均正確.

故選：D.

4.(2023上?浙江嘉興?高三統(tǒng)考期末)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-4/1GD1中，E為棱4名的中

點(diǎn)，M,N分別是底面ZBCD與側(cè)面CDDiG的中心，P為該正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM1BE,記點(diǎn)

P的軌跡所在的平面為a,則過(guò)N,C,%,G四點(diǎn)的球面被平面a截得的圓的周長(zhǎng)是()

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，找到球心。和點(diǎn)P的軌跡，求出。到平面a的距離，利用幾何法求截面

圓的半徑和周長(zhǎng).

【解答過(guò)程】取面對(duì)角線BiC中點(diǎn)0,連接。N,B]N,CN,JN,分別在BBi，CG上，且=3HB,=

31C,

以4為原點(diǎn)，血，血,初的方向分別為久軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

5(2,0,0),C(2,2,0)Si(2,0,2),E(l,0,2),尸(1,2,0),G(l,0,0),W(2,0,|),0(2,1,1)./(2,2,1),

BJV=(-1,2,-1),CN=(-1,0,1),瓦札麗=0,BrN1CN,

三棱錐G-4NC中，ABiNC為直角三角形，所以O(shè)Ci=OC=ON=OB1,

因此點(diǎn)。即為三棱錐G-B】NC的外接球球心，球半徑長(zhǎng)為=V2,

JE=(-1,0,2),GF=(0,2,0),HG=(-1,0,-0,/7Z=(0,2,0),GF=HI,FG"/共面，

GF-BE=0,~HG~BE=G,GF1BE,HG1BE,

GF,HGu平面FGH/,GFCHG=G,BE1平面尸GH/,M6平面FGH/,

點(diǎn)P的軌跡為矩形FGH/的四邊，如圖所示，

OG=屁為平面FGH/的法向量，

則球心。到平面FG”/的距離為嚅"=橐=當(dāng)

\BE\V55

球面被平面a截得的圓的半徑J(a)2-(I)=卓，圓的周長(zhǎng)為第n.

故選：B.

5.(2023上?北京密云?高二統(tǒng)考期末)在直三棱柱中，底面△ABC為等腰直角三角形，且滿

足AB=4C=4%=1,點(diǎn)P滿足於=4近+〃西，其中4e[0,1],Me[0,1]-則下列說(shuō)法不正確的是()

A.當(dāng)2=1時(shí)，AABP的面積S的最大值為?

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P—4/C的體積為定值

C.當(dāng)4=號(hào)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A]P1BP

D.當(dāng)4=機(jī)寸，存在點(diǎn)P，使得平面力

【解題思路】根據(jù)選項(xiàng)A,可得點(diǎn)P在CQ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q時(shí)，AABP的面積取得最大值，貝IJSAABP=

S-BJ=l^B-ACr=f,判斷選項(xiàng)A；

根據(jù)選項(xiàng)B,可得點(diǎn)P在BiG上運(yùn)動(dòng)，則VP_ABC=K1LBPC，判斷選項(xiàng)B；

設(shè)BC的中點(diǎn)為M,BiG的中點(diǎn)為N,根據(jù)選項(xiàng)C,可得點(diǎn)P在BiG上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P在MN上運(yùn)動(dòng)，可證得&P1

面BCG/,即可判斷選項(xiàng)C；

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)D.

【解答過(guò)程】當(dāng)4=1時(shí)，麗=阮+〃兩，則點(diǎn)P在CCi上運(yùn)動(dòng)，

則當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，則此時(shí)面積取得最大值，

4G=JAC2+ccl=V2,

由于直三棱柱aBC—AiBiG，則力81421448。為等腰直角三角形,貝|48±4。,2。。441=44&441u面

ACC1&,貝MB1面4c6公

因?yàn)榱u面4CC141，所以481ACr,

則SUBP=SAABG=\AB-4cl=故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)〃=1時(shí)，則加=2麗+兩，點(diǎn)P在4G上運(yùn)動(dòng)，則VpT/C=5i-BPC，

由于點(diǎn)&到平面BPC的距離為定值亨，點(diǎn)P到線段BC的距離恒為1

則SABCP=；XV2x1=,，則/-4遇。=VA-BPC=^XVX'T=7,故選項(xiàng)B正確;

zz□1ZZo

AC

B,

當(dāng)4=|時(shí)，前=3瓦+〃西，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,BiG的中點(diǎn)為N,則點(diǎn)P在MN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合

時(shí)，8M1MN,BMLA±N,

MNnA/=N,MN,4]Nu平面&MN,貝!jBM，面4"人,

又因?yàn)?Pu面41MN,貝UBM1ArP,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，&NL面BCC/i，即4iP上面BCG2,

則&PIBP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

M(P)

N(P)

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BBi的中點(diǎn)為“，CCi的中點(diǎn)為G,當(dāng)〃時(shí)，BP=ABC+lBBi,則點(diǎn)P在線

段HG上運(yùn)動(dòng)，&(0.0.0),B(l,0,1),4(0,0,1),4(1,0,0),P(a,1-a,1)

幣=(1,0,1),麗=(1,0,-D^P=(a,1-a,-g)

設(shè)平面力P8i的法向量為記=(x,y,z).

AB^-m=x—z=0(--a\

則一>一i=>m=\