廣東省八校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期教學質量檢測數(shù)學試卷（二）【含答案解析】

廣東省八校聯(lián)盟2024~2025學年度第一學期高二教學質量檢測（二）數(shù)學注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5．考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定斜率，由斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，又，所以．故選：A．2.已知直線和互相垂直，則實數(shù)（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據直線垂直的判定列方程求參數(shù).【詳解】因為直線和互相垂直，所以，解得．故選：B3.圓與圓的公共弦長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先兩圓相減求公共弦所在直線方程，再代入弦長公式，即可求解.【詳解】圓與圓，相減得，圓心到直線的距離，，則公共弦長為．故選：C．4.在三棱錐中，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據空間向量的運算法則，即可求解.【詳解】連接，根據向量的運算法則，可得．故選：B．5.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點，則（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】根據離心率公式，以及橢圓和雙曲線的焦點公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，則，解得，所以．故選：B．6.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與相交于，兩點，若的面積是面積的3倍，則（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意轉化為焦點到直線的距離比值問題，再驗證直線與雙曲線有2個交點，即可求解.【詳解】依題意，雙曲線的左、右焦點分別為，，設到直線的距離為，到直線的距離為，則，，因為的面積是面積的3倍，所以，即，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，所以．故選：D．7.設是橢圓上的一點，，為焦點，，則的面積為（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】【分析】根據雙曲線的定義，結合余弦定理，求，再代入三角形面積公式，即可求解.【詳解】為橢圓上的一點，，為焦點，，，，可得，即，，設，，則有，，，，．的面積．故選：C．8.是雙曲線的右支上一點，、分別是圓和上的點，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】根據題設及雙曲線定義、圓的性質確定點到圓上點距離差的最大值.【詳解】雙曲線中，如圖所示：，，，設左、右焦點為，，，，，，三點共線且在之間時取等號，，則，共線且在之間時取等號，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線C的方程為，則下列說法正確的是（）A.存在實數(shù)，使得曲線為圓B.若曲線C為橢圓，則C.若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則D.當曲線C是橢圓時，曲線C的焦距為定值【答案】AC【解析】【分析】按圓和圓錐曲線的標準方程逐項判斷即可.【詳解】A正確：曲線C為圓即；B錯誤：C為橢圓C正確：C為焦點在x軸上的雙曲線，D錯誤：C是橢圓，此時焦距，不是定值.故選：AC10.關于空間向量，以下說法正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C.若空間向量，，則在上的投影向量為D.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則或【答案】BCD【解析】【分析】根據，的方向不確定判斷A；根據空間向量共面定理判斷B；根據投影向量定義判斷C；利用，可得從而判斷D．【詳解】對于A，非零向量，，滿足，，，的方向不確定，則，不一定平行，故A錯誤；對于B，，，故，，，四點共面，故B正確；對于C，因為，，所以在上的投影向量為，故C正確；對于D，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D正確．故選：BCD．11.在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點，為線段上的一個動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得平面平面C.當時，直線與所成角的余弦值為D.當為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】利用錐體體積公式可判斷A選項；建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷BC選項；【詳解】對于A選項，因為平面平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，又，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖1所示的空間直角坐標系，則A2,0,0、、、、、，、、，對于B項，，，，，，設，其中，則．設平面的法向量為，由，令，可得．設平面的法向量為，由，令，可得．若平面平面，則，則，解得，故B正確；對于C選項，當時，，．設直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；對于D項，如圖2，當為的中點時，、，，．設三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若三向量共面，則實數(shù)_____.【答案】1【解析】【分析】由題意存在，使得，代入坐標，列方程組計算，即得解.【詳解】由題意，三向量共面，故存在，使得，即，故，解得.故答案為：113.若圓與圓沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，若兩個圓有公共點，得到不等式組，求出，進而求出兩圓沒有公共點時的的取值范圍.【詳解】圓，圓心，半徑為1，圓，圓心，半徑為1，若兩個圓有公共點，則，解得，若兩個圓沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為或．故答案為：14.過點作斜率為的直線與橢圓相交于，，若是線段的中點，則橢圓的離心率為________．【答案】【解析】【分析】利用橢圓點差法，結合橢圓離心率公式進行求解即可.【詳解】設Ax1,y1，B是線段中點，，，過點M1,1作斜率為直線與橢圓相交于，兩點，是線段的中點，①②兩式相減可得，又所以，，，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知圓的圓心在直線和直線的交點上，且圓過點.（1）求圓的方程；（2）若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關系.【答案】（1）（2）圓與圓相交.【解析】【分析】（1）先求出兩直線的交點，結合兩點的距離公式和圓的標準方程計算即可求解；（2）由題意知的圓心為，半徑，結合兩圓的位置關系即可下結論.【小問1詳解】由，得，即圓心坐標為.，圓方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑.，，圓與圓相交.16.已知圓．（1）若直線經過點,且與圓相切,求直線的方程；（2）設點,點在圓上,為線段的中點,求的軌跡的長度．【答案】（1）x=-1或（2）【解析】【分析】（1）易判斷點A在圓,因此切線方程有兩條,分直線的斜率不存在和直線斜率存在討論即可；（2）利用相關點法求出的軌跡方程，進而可求的軌跡的長度.【小問1詳解】圓C的標準方程為:,點在圓外,故過點A且與圓C相切的直線有2條，①當直線的斜率不存在時,圓心到直線的距離直線與圓C相切.(2)當直線的斜率存在時,可設直線,即圓心C到直線的距離,由題意,解得,此時,即,終上所述,直線的方程為x=-1或.【小問2詳解】設因為為DE的中點,所以,點E在圓C上,即，即，所以點的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,的軌跡的長度為.17.由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.（1）求證：平面；（2）若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一：將幾何體補成四棱柱，得到四邊形為平行四邊形，故，得到線面平行；法二：得到兩兩垂直，建立空間直角直角坐標系，得到平面的法向量，從而得到，得到結論；（2）設，作出輔助線，找到二面角的平面角為，根據正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面與平面夾角的余弦值，求出答案；【小問1詳解】法一：將幾何體補成四棱柱，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，故，，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，平面.法二：∵四邊形是菱形，∴⊥，又平面，平面，∴，，故兩兩垂直，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，其中，則，設，由得，由得，則，設平面的法向量為，則，取，得，，又平面，平面【小問2詳解】設，取的中點，則，又四邊形是菱形，，因為平面，平面，所以，因為，平面，故面，因為平面，則，因為且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，又，故四邊形為平行四邊形，故，，故.所以為二面角的平面角.則，其中，故，故，設平面的法向量為，則取，得，，平面與平面夾角的余弦值為，平面與平面夾角為.18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經過點．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線相交于，兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據漸近線方程及雙曲線所過的點列方程求參數(shù)，即可得方程；（2）設Ax1,y【小問1詳解】由題意，知，解得，故雙曲線的方程為．【小問2詳解】設Ax則，兩式相減，得，整理得．因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經檢驗，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為.19.已知橢圓經過，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，且點不在上，，過點作軸的垂線，交直線于點，與橢圓的另一個交點為，記的面積為，的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據橢圓上點列方程求橢圓參數(shù)，即可得方程；