數(shù)值分析第二章插值

數(shù)值分析第二章插值§1引言一、引例已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫.這就是本章要討論的“插值問(wèn)題”第2頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月

插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法。早在1000多年前，我國(guó)歷法上已經(jīng)記載了應(yīng)用一次插值和二次插值的實(shí)例。

偉大的數(shù)學(xué)家：拉格朗日（Lagrange）、牛頓Newton）、埃爾米特（Hermite）等人分別給出了不同的解決方法。第3頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月二、插值問(wèn)題的定義這個(gè)問(wèn)題稱為“插值問(wèn)題”

(2.1.1)這里g(x)

稱為f(x)的插值函數(shù);節(jié)點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn);條件(2.1.1)稱為插值條件;區(qū)間稱為插值區(qū)間。如果利用g(x)來(lái)求f(x)

在y點(diǎn)的近似值，則稱y為插值點(diǎn)。

,由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿足條件

上一系列節(jié)點(diǎn)

處測(cè)得函數(shù)值

當(dāng)函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時(shí)，設(shè)在區(qū)間定義2.1

第4頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月插值函數(shù)的類型有很多種,最常用的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式。用代數(shù)多項(xiàng)式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值，即選取次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Pn(x)，使得

代數(shù)插值一、插值多項(xiàng)式的存在唯一性？二、插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法？三、插值多項(xiàng)式的誤差如何估計(jì)？

(2.1.2)第5頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月一、插值多項(xiàng)式的存在唯一性設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為：由插值條件得到如下線性代數(shù)方程組：

（2.2.1）§2一般多項(xiàng)式插值第6頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月此方程組的系數(shù)行列式為當(dāng)

時(shí)，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。范得蒙行列式的轉(zhuǎn)置！第7頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月定理2.1插值條件的n

階插值多項(xiàng)式Pn(x)存在且唯一。插值多項(xiàng)式的構(gòu)造：插值多項(xiàng)式的存在唯一性說(shuō)明，滿足插值條件的多項(xiàng)式存在，并且插值多項(xiàng)式與構(gòu)造方法無(wú)關(guān)。如何構(gòu)造插值函數(shù)才能達(dá)到預(yù)期的效果呢？對(duì)于給定的互異節(jié)點(diǎn)x0…

xn,滿足

第8頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月，用于插值的簡(jiǎn)單函數(shù)元素集+線性組合結(jié)構(gòu)→插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)單函數(shù)元素集是指構(gòu)成多項(xiàng)式的基函數(shù)集合，例如自然形式（2.2.1）的自然基底,、

、

(結(jié)構(gòu))(集合)若求自然形式(2.2.1)的插值多項(xiàng)式問(wèn)題，只要求解線性方程組（2.2.2）計(jì)算出多項(xiàng)式系數(shù)即可。一般插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法第9頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月通過(guò)解方程組(2.2.2)求得插值多項(xiàng)式的方法并不可取.這是因?yàn)楫?dāng)n較大時(shí)解方程組的計(jì)算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大（可能是病態(tài)方程組）,當(dāng)階數(shù)n越高時(shí)，

病態(tài)越重。怎樣可以不通過(guò)求解方程組而獲得插值多項(xiàng)式呢?第10頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月在n次多項(xiàng)式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)

,使不同的基函數(shù)的選取導(dǎo)致不同的插值方法.Lagrange插值Newton插值Hermite插值第11頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月1．n次拉格朗日插值多項(xiàng)式設(shè)連續(xù)函數(shù)

在上對(duì)給定的個(gè)不同節(jié)點(diǎn)上分別取函數(shù)值試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的插值多項(xiàng)式使之滿足插值條件:

二、拉格朗日(Lagrange)插值第12頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月定義2.2若n次多項(xiàng)式在個(gè)節(jié)點(diǎn)

上滿足條件由定理2.1得：

則稱這個(gè)次多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)上的次插值基函數(shù)。第13頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月因此，令的表達(dá)式推導(dǎo)：根據(jù)的定義，以外所有的結(jié)點(diǎn)都是

的根，又由，得：

第14頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月2．線性插值(n=1)

xkxk+1(xk,yk)(xk+1

,yk+1)f(x)P1(x)第15頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月3．拋物插值(n=2)p2(x)

f(x)xk-1xkxk+1f(x)因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。

第16頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月第17頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月注：（1）

次數(shù)。（2）記，則，所以第18頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月4、插值余項(xiàng)定理2.2

設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)存在,則在[a,b]上的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，對(duì)

所作的n次Lagrange插值多項(xiàng)式有誤差估計(jì)

第19頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月Rolle’sTheorem的推論:若充分光滑，且存在使得第20頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月構(gòu)造(固定)由Roll定理,知存在證明:第21頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月當(dāng)

f(x)為任一個(gè)次數(shù)

n

的多項(xiàng)式時(shí)，，可知，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)

n的多項(xiàng)式是精確的。插值多項(xiàng)式一般僅用來(lái)估計(jì)插值區(qū)間內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值（即內(nèi)插），用它來(lái)計(jì)算插值區(qū)間外點(diǎn)的函數(shù)值（即外插）時(shí)，誤差可能很大。

注：

通常不能確定

,而是估計(jì)，

x(a,b)，將作為誤差估計(jì)上限。通常取。

也稱為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)。當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，第22頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月例：已知分別利用1次、2次Lagrange插值計(jì)算

sin50

，并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算

利用

利用

計(jì)算得：sin50

0.76008,

利用x0,x1

作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差

0.01001利用x1,x2作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差

0.00596

sin50=0.7660444…第23頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月n=22次插值的實(shí)際誤差

0.00061第24頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月三、牛頓插值（Newton’sInterpolation）Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)li(x)

都需要重新計(jì)算。希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)上去即可。能否重新在

中尋找新的基函數(shù)？回顧：Lagrange插值的優(yōu)缺點(diǎn)：

優(yōu)點(diǎn)：具有嚴(yán)格的規(guī)律性,便于記憶。

缺點(diǎn)：計(jì)算量大、不具有承襲性。第25頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月利用插值條件代入上式，得關(guān)于的線性代數(shù)方程組:設(shè)當(dāng)

互異時(shí)，系數(shù)矩陣非奇異，且容易求解第26頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月1．差商及其性質(zhì)(1)差商的定義(亦稱均差)定義2.3

設(shè)已知函數(shù)f(x)在互不相等的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為，

稱為f(x)在點(diǎn)xi,xj處的一階差商，記作f[xi,xj]；

稱為f(x)在點(diǎn)xi,xj,xk處的二階差商，記作f[xi,xj,xk]；稱為f(x)在點(diǎn)x0,x1,…,xk處的k階差商，記作f[x0,x1,…,xk]。

由差商定義知高階差商是兩個(gè)低一階差商的差商第27頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月(2)差商的性質(zhì)

性質(zhì)1(差商與函數(shù)值的關(guān)系):記,則性質(zhì)2

（對(duì)稱性）：差商的值與結(jié)點(diǎn)排列順序無(wú)關(guān)，即性質(zhì)3(差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系):設(shè)在上有階導(dǎo)數(shù),且則存在使得

性質(zhì)4(特征定理):第28頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月差商可列表計(jì)算：

f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]xi

yi

一階差商

二階差商

n階差商

……x0x1x2xn-1xn

xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1](3)差商的計(jì)算

第29頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月利用差商的定義,可得的系數(shù)

:從而因此每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，Newton插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，克服了Lagrange插值的缺點(diǎn)。

2.牛頓插值公式第30頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月3.牛頓插值余項(xiàng)由插值多項(xiàng)式的唯一性可知，故其余項(xiàng)也相同，即命題

Newton插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為

其中從而，第31頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月例:給定的數(shù)據(jù)表

2.202.402.602.803.000.788460.875470.955511.029621.098611.構(gòu)造差商表2.分別寫出二次、四次Newton插值多項(xiàng)式解:構(gòu)造差商表一階差商二階差商三階差商四階差商第32頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月余項(xiàng)第33頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月四、等距節(jié)點(diǎn)插值

引入(微商的離散化)：第34頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月1．差分的定義設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值已知,這里為常數(shù),稱為步長(zhǎng)，分別稱為在處以為步長(zhǎng)的一階向前差分,一階向后差分,以及一階中心差分。高階差分：定義2.4

第35頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月引進(jìn)不變算子，移位算子，即則有

第36頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月2、差分表（差分計(jì)算）計(jì)算各階向前差分可按如下差分表進(jìn)行：第37頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月計(jì)算各階向后差分可按如下差分表進(jìn)行：第38頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月3、差分的性質(zhì)性質(zhì)1

(差分與函數(shù)值的關(guān)系):

各階差分均可表示為函數(shù)值的線性組合:其中性質(zhì)2(向前差分與向后差分的關(guān)系):性質(zhì)3(差分與差商的關(guān)系):在等距節(jié)點(diǎn)的前提下，第39頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月性質(zhì)4(差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）：在等距節(jié)點(diǎn)的前提下，性質(zhì)5：常數(shù)的差分等于零.性質(zhì)6：差分算子為線性算子，即性質(zhì)7：這個(gè)性質(zhì)類比于

第40頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月

4、等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式牛頓公式:

牛頓前插公式（用于計(jì)算最小節(jié)點(diǎn)附近的函數(shù)值）利用差分的性質(zhì),可將Newton公式簡(jiǎn)化為(1)稱公式(1)為Newton向前差分插值公式,其余項(xiàng)為(2)第41頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月

牛頓后插公式（用于計(jì)算最大節(jié)點(diǎn)附近的函數(shù)值）如果將Newton插值公式改為按節(jié)點(diǎn)的次序排列的Newton插值公式,即(3)令x=xn-th,則當(dāng)xn-1≤x≤xn時(shí),0≤t≤1.利用差商與向后差分的關(guān)系,式(3)可簡(jiǎn)化為(4)稱式(4)為Newton向后差分插值公式。第42頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月其余項(xiàng)為注：一般當(dāng)x

靠近x0時(shí)用前插，靠近xn時(shí)用后插，故兩種公式亦稱為表初公式和表末公式。第43頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月例

給定f(x)在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下:

xi0.40.60.81.0

f(xi)1.51.82.22.8分別用Newton向前和向后公式求f(0.5)及f(0.9)

的近似值.

解

先構(gòu)造向前差分表如下:

xi

fi

△fi

△2fi△3fi

0.41.50.30.10.10.61.80.40.20.82.20.61.02.8

x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.

分別用差分表中第一行上的值和對(duì)角線的值,得Newton向前和向后插值公式如下:第44頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月(1)

(2)當(dāng)x=0.5時(shí),用公式(1),這時(shí)t=(x-x0)/h=0.5.將t=0.5代入(1),得

f(0.5)≈N3(0.5)=1.64375.當(dāng)x=0.9時(shí),用公式(2),這時(shí)t=(x3-x)/h=0.5.將t=0.5代入(2),得

f(0.9)≈N3(0.9)=2.46875.第45頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月1．引入

在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即要求插值函數(shù)P(x)滿足:（1）把此類插值問(wèn)題稱為相應(yīng)的插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特（Hermite）插值多項(xiàng)式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，記為H(x)。H(x)

存在且唯一。埃米爾特（Hermite）插值§3Hermite插值第46頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月2.推導(dǎo)只討論函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相等，且一階情況。設(shè)在節(jié)點(diǎn)上,要求插值多項(xiàng)式,滿足條件(2)這里給出的個(gè)條件,可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式其形式為第47頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月根據(jù)條件(2)來(lái)確定個(gè)系數(shù),顯然非常復(fù)雜。(3)第48頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月插值基函數(shù)及,共有個(gè),每一個(gè)基函數(shù)都是次多項(xiàng)式,且滿足條件(Lagrange型Hermite插值多項(xiàng)式):基函數(shù)方法(3)于是滿足條件(2)的插值多項(xiàng)式可寫成用插值基函數(shù)表示的形式,即顯然有(4)第49頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月下面利用Lagrange插值基函數(shù)求及。令其中是

第50頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月由條件式(3)有整理,得解得第51頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月由于兩端取對(duì)數(shù)再求導(dǎo),得于是(5)同理可得(6)第52頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月（1）仿照Lagrange插值余項(xiàng)，Hermite插值余項(xiàng)可描述為：(7)注：設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)存在,則且依賴于，有插值余項(xiàng)（2）作為帶導(dǎo)數(shù)插值多項(xiàng)式(4)的重要特例是n=1的情形。這時(shí)可取節(jié)點(diǎn)為及,插值多項(xiàng)式為,滿足條件：(8)第53頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月相應(yīng)的插值基函數(shù)為,它們滿足：根據(jù)(5)式及(6)式的一般表達(dá)式,可得第54頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月于是滿足條件(8)的插值多項(xiàng)式是其余項(xiàng)為（3）N個(gè)條件可以確定N-1階多項(xiàng)式，要求在1個(gè)節(jié)點(diǎn)處直

到

階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為在點(diǎn)處的

Taylor多項(xiàng)式:

其余項(xiàng)為第55頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月Newton型Hermite插值（1）單節(jié)點(diǎn)的重節(jié)點(diǎn)差商（2）多節(jié)點(diǎn)的重節(jié)點(diǎn)差商插值條件：第56頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月重節(jié)點(diǎn)差商可列表計(jì)算：

重節(jié)點(diǎn)差商的計(jì)算第57頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月其中，第58頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月第59頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月例1：已知

求三次多項(xiàng)式

P(x)滿足4.舉例第60頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月解：第61頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月例2：已知

求三次多項(xiàng)式

P(x)滿足注意:第62頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月解：第63頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月1.多項(xiàng)式插值的龍格現(xiàn)象例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)

f(x)

n

越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱為Runge現(xiàn)象§4

分段低次插值第64頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月2.分段線性插值在每個(gè)子區(qū)間上，用1次多項(xiàng)式

(直線)逼近f(x):記,易證：當(dāng)時(shí)，一致yxoy=p(x)y=f(x)失去了原函數(shù)的光滑性。第65頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月則是分段一次的連續(xù)函數(shù)且滿足條件分段線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造：

即為分段線性插值的基函數(shù)。

第66頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月基函數(shù)只在附近不為零,在其它地方均為零。這種性質(zhì)稱為局部非零性質(zhì)。相應(yīng)的分段線性插值函數(shù)為：分段線性插值的誤差估計(jì)：如果在上二階連續(xù)可微,則分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)有以下估計(jì)

其中,第67頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月3.分段三次Hermite插值其中基函數(shù)為

給定節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值分別為,在每個(gè)子區(qū)間上作兩點(diǎn)三次Hermite插值，因此是分段三次，總體是直至一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，插值函數(shù)為第68頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月第69頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月第70頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月分段Hermite插值余項(xiàng):

由三次Hermite插值的余項(xiàng)可以估計(jì)分段Hermite插值的余項(xiàng)：設(shè)是給定節(jié)點(diǎn)

上的分段三次Hermite插值函數(shù)，，與的誤差限為其中，

第71頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月要求：插值曲線既要簡(jiǎn)單，又要在曲線的連接處比較光滑。

這樣的分段插值函數(shù)在分段上要求多項(xiàng)式次數(shù)低，這種插值方法稱為——樣條插值。它所對(duì)應(yīng)的曲線稱為樣條曲線，其節(jié)點(diǎn)稱為樣點(diǎn)，把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為樣條插值函數(shù)，而在節(jié)點(diǎn)上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導(dǎo)數(shù)，第72頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月圖2.1早期機(jī)翼下輪廓的放樣如圖2.1所示，在早期的板材曲線切割時(shí)，常把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（樣條）固定在樣點(diǎn)上，其它地方讓其自由彎曲，然后畫出長(zhǎng)條的曲線稱為樣條曲線，由此啟發(fā)設(shè)計(jì)整體連續(xù)光滑的樣條插值函數(shù)。第73頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月

問(wèn)題

分段低次插值雖然具有簡(jiǎn)單、收斂性、整體連續(xù)性及數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)，但在節(jié)點(diǎn)處常有“尖點(diǎn)”出現(xiàn)，光滑性較差。特別是需要給出節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這在多數(shù)問(wèn)題中是不實(shí)際的。如何在沒(méi)有節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)也能達(dá)到上述目的？為此引入樣條插值函數(shù)。1.引入§5三次樣條插值第74頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月定義2.5設(shè)對(duì)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上給定一組節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<x2<…<xn=b和相應(yīng)的函數(shù)值y0,y1,…,yn，如果s(x)具有如下性質(zhì)：（1）在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上s(x)是不高于三次的多項(xiàng)式;（2）s(x)，，s

(x)在[a,b]上連續(xù)；則稱s(x)為三次樣條函數(shù).如再有（3）s(xi

)=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，

則稱s(x)為y=f(x)的三次樣條插值函數(shù)。第75頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。S(x)H(x)f(x)第76頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月給定函數(shù)在[a,b]上的一組節(jié)點(diǎn)：及節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值

，函數(shù)是滿足下列條件的函數(shù)：的三次樣條插值；

2.三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造(3)在插值節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，即

(4)即(1)(2)在子區(qū)間

上是三次多項(xiàng)式，記為第77頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月。

要保證S(x)的存在唯一性，必須附加兩個(gè)邊界條件。例如，滿足下列四種邊界條件中的任意一個(gè)：(1)固支邊界條件（D1-樣條）：3.邊界條件(2)彎矩邊界條件（D2-樣條）：

(3)自然邊界條件（自然樣條）：

(4)周期邊界條件（周期樣條）

：第78頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月上述幾種邊界條件都有它們的實(shí)際意義，從力學(xué)角度看，附加邊界條件相當(dāng)于在細(xì)梁兩端加上約束。工程中常用自然邊界條件求樣條插值函數(shù)，這類插值函數(shù)稱為自然樣條函數(shù)，利用插值條件和連續(xù)線性條件列出線性方程組并求解，是一種構(gòu)造樣條的基本方法。第79頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月構(gòu)造思想:

通過(guò)構(gòu)造含待定參數(shù)的分段三次Hermite插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)。

構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式需要知道被逼近函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，而導(dǎo)數(shù)通常是不知道的。三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造則不需要知道f(x)的導(dǎo)數(shù)值，直接將其作為待定參數(shù)，利用各節(jié)點(diǎn)在連接處的光滑性與連續(xù)性條件，建立關(guān)系式來(lái)確定待定參數(shù)，從而構(gòu)造插值多項(xiàng)式。第80頁(yè),共99頁(yè)，星期六，2024年，5月4.三彎矩方程設(shè)f(x)是定義在

[a,b]區(qū)間上的一個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù)，令在每一個(gè)小區(qū)間

上都是三次多項(xiàng)式。S

(x)在上的表達(dá)式為：

（1）(注意:未知)第81頁(yè),共99頁(yè)，