2025屆福建省寧德市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以不成立，，故CD錯(cuò)誤，則，，故A錯(cuò)誤，B正確，故選：B.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B4.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)的公比為，則，從而，則，故選：D.5.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，令，得，則該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，故選：C.6.如圖，側(cè)面展開圖為扇形AOD的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)ABCD的圓臺(tái)的體積相等，且，則（）A.2 B. C.4 D.8【答案】A【解析】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為r，高為h，則該圓錐的體積.側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的體積.由題可知，從而.故選：A.7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，則，所以，從而，故，故選：C.8.已知是定義在上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立．當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖象始終在的圖象的下方（或重合）．當(dāng)時(shí)，由的圖象可知，，則，解得；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在R上為增函數(shù)，對(duì)任意的x∈R且時(shí)，，恒成立.綜上所述，的取值范圍為．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，從參賽選手的答卷中隨機(jī)抽取了份，將得分（滿分100分）進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，且競(jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為10，則（）A.B.C.估計(jì)參賽選手得分的平均分低于70分（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）D.估計(jì)參賽選手得分的中位數(shù)在內(nèi)【答案】ABD【解析】對(duì)于A、B，由，得，則，故A，B正確；對(duì)于C，估計(jì)參賽選手得分的平均分為x，則，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以估?jì)參賽選手得分的中位數(shù)在內(nèi)，故D正確．故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的最大值為【答案】AD【解析】，恒成立，則函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以為奇函數(shù)，A正確．，所以的最小正周期不是，B不正確．，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C不正確，，顯然，為函數(shù)的一個(gè)周期，且，由C可知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)x∈0,π時(shí)，，由設(shè)，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得最小值，得，所以，當(dāng)，即時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，D正確．故選：AD11.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．如圖，曲線是雙紐線，關(guān)于曲線，下列說法正確的是（）A.B.上存在點(diǎn)，使得C.上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為D.若直線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】由圖可知，點(diǎn)在C上，所以，A正確，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)Px,y可得，，即C上不存在點(diǎn)，使得，B不正確,方程可化為，令，得，由，可得，即，等號(hào)成立，故C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，C正確．直線與C均經(jīng)過原點(diǎn)，則直線與C除原點(diǎn)外無其他公共點(diǎn)．聯(lián)立方程組整理得．當(dāng)時(shí)，方程僅有一解，滿足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，即恒有一解，當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)得，即當(dāng)時(shí)，方程無解，滿足題意，綜上，，解得或，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若兩個(gè)單位向量，滿足，則________．【答案】【解析】由，得，因?yàn)?，為單位向量，所以，則，故答案為：.13.甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側(cè)，則不同的站法共有_______種．【答案】【解析】先站甲、乙、丙人，共有種不同站法，再站剩余人，先將1人排到甲、乙、丙3人之間的空位中，最后將剩余的1人排到前面4人之間的空位中，共有種不同的站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有種．故答案為：4014.已知，，且，則的最小值為________【答案】【解析】由，得，則，則.因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而.又，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求△周長(zhǎng)的最大值．解：（1）（方法一）因?yàn)?，，所以，則．又，所以．因?yàn)?，所以．又，所以，（方法二）由余弦定理得，因?yàn)椋?，則．．因?yàn)椋裕?）由（2）可得，從而．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，從而，則周長(zhǎng)的最大值為3．16.某商場(chǎng)為了吸引顧客，邀請(qǐng)顧客憑借消費(fèi)金額參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)．若抽中金獎(jiǎng)，則可獲得15元現(xiàn)金；若抽中銀獎(jiǎng)，則可獲得5元現(xiàn)金．已知每位顧客每次抽中金獎(jiǎng)和銀獎(jiǎng)的概率分別為和，且每次中獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客參與該商場(chǎng)的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中甲有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，乙有1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．（1）求甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率；（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金總金額為，求的分布列與期望．解：（1）若甲抽中2次銀獎(jiǎng)，則由甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，可知乙也得抽中銀獎(jiǎng)，此時(shí)概率．若甲至少抽中1次金獎(jiǎng)，則甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額一定大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，此時(shí)概率．故甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率．（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得現(xiàn)金金額分別為，則．由題可知，，，，，則，，，．的分布列為15253545．17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，，（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OF.因?yàn)椤鱂CD為等腰直角三角形，且，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.又平面，平面，所以平面ADE，因?yàn)?，所以，又，所以四邊形ABOD為平行四邊形，則.因平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，又，平面，所以平面平面ADE.因?yàn)槠矫鍻BF，所以平面ADE.（2）解：由題可知AB，AD，AE兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則B1,0,0，，E0,0,1，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則由得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x則由得，令，得.，則平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知是橢圓上的一點(diǎn)，且的離心率為，斜率存在且不過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為（1）求的方程.（2）證明：的斜率為定值.（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與線段（不含端點(diǎn)）相交，且四邊形的面積為，求的方程.（1）解：由題可知，解得，，故的方程為.（2）證明：設(shè)的方程為，Px1,y1聯(lián)立方程組整理得，即，則，，，整理得，則或，若，則，則過點(diǎn)，不符合題意，故，即的斜率為定值.（3）解：由（2）可得直線，，，因?yàn)榕c線段（不含端點(diǎn)）相交，所以，，點(diǎn)到的距離，點(diǎn)到的距離，四邊形的面積，解得或（舍去），故的方程為：.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，若，，則稱是在上的不動(dòng)點(diǎn)，集合為在上的不動(dòng)點(diǎn)集.（1）求函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集；（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集為，求的取值范圍.解：（1）由，得，解得或，故在0,+∞上的不動(dòng)點(diǎn)集為.（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.即方程在只有一解.因?yàn)槭欠匠痰慕猓苑匠淘谏蠠o解.作函數(shù)和，的圖象，如下圖：由，，所以.當(dāng)或即或時(shí)，與，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).所以的取值范圍是：.方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，則.若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，易知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使得，則當(dāng)和時(shí)，φ'x>0，φ當(dāng)時(shí)，φ'x<0，φ因?yàn)椋砸沟忙誼在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則解得.綜上所述，的取值范圍為.（3）由題可知，方程在R上存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則，從而令，則，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，解得.因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀?福建省寧德市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以不成立，，故CD錯(cuò)誤，則，，故A錯(cuò)誤，B正確，故選：B.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B4.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)的公比為，則，從而，則，故選：D.5.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，令，得，則該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，故選：C.6.如圖，側(cè)面展開圖為扇形AOD的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)ABCD的圓臺(tái)的體積相等，且，則（）A.2 B. C.4 D.8【答案】A【解析】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為r，高為h，則該圓錐的體積.側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的體積.由題可知，從而.故選：A.7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，則，所以，從而，故，故選：C.8.已知是定義在上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立．當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖象始終在的圖象的下方（或重合）．當(dāng)時(shí)，由的圖象可知，，則，解得；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在R上為增函數(shù)，對(duì)任意的x∈R且時(shí)，，恒成立.綜上所述，的取值范圍為．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，從參賽選手的答卷中隨機(jī)抽取了份，將得分（滿分100分）進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，且競(jìng)賽成績(jī)落在內(nèi)的人數(shù)為10，則（）A.B.C.估計(jì)參賽選手得分的平均分低于70分（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）D.估計(jì)參賽選手得分的中位數(shù)在內(nèi)【答案】ABD【解析】對(duì)于A、B，由，得，則，故A，B正確；對(duì)于C，估計(jì)參賽選手得分的平均分為x，則，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以估?jì)參賽選手得分的中位數(shù)在內(nèi)，故D正確．故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的最大值為【答案】AD【解析】，恒成立，則函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以為奇函數(shù)，A正確．，所以的最小正周期不是，B不正確．，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C不正確，，顯然，為函數(shù)的一個(gè)周期，且，由C可知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)x∈0,π時(shí)，，由設(shè)，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得最小值，得，所以，當(dāng)，即時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，D正確．故選：AD11.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．如圖，曲線是雙紐線，關(guān)于曲線，下列說法正確的是（）A.B.上存在點(diǎn)，使得C.上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為D.若直線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】由圖可知，點(diǎn)在C上，所以，A正確，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)Px,y可得，，即C上不存在點(diǎn)，使得，B不正確,方程可化為，令，得，由，可得，即，等號(hào)成立，故C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，C正確．直線與C均經(jīng)過原點(diǎn)，則直線與C除原點(diǎn)外無其他公共點(diǎn)．聯(lián)立方程組整理得．當(dāng)時(shí)，方程僅有一解，滿足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，即恒有一解，當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)得，即當(dāng)時(shí)，方程無解，滿足題意，綜上，，解得或，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若兩個(gè)單位向量，滿足，則________．【答案】【解析】由，得，因?yàn)?，為單位向量，所以，則，故答案為：.13.甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側(cè)，則不同的站法共有_______種．【答案】【解析】先站甲、乙、丙人，共有種不同站法，再站剩余人，先將1人排到甲、乙、丙3人之間的空位中，最后將剩余的1人排到前面4人之間的空位中，共有種不同的站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有種．故答案為：4014.已知，，且，則的最小值為________【答案】【解析】由，得，則，則.因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而.又，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求△周長(zhǎng)的最大值．解：（1）（方法一）因?yàn)?，，所以，則．又，所以．因?yàn)椋裕?，所以，（方法二）由余弦定理得，因?yàn)椋?，則．．因?yàn)?，所以．?）由（2）可得，從而．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，從而，則周長(zhǎng)的最大值為3．16.某商場(chǎng)為了吸引顧客，邀請(qǐng)顧客憑借消費(fèi)金額參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)．若抽中金獎(jiǎng)，則可獲得15元現(xiàn)金；若抽中銀獎(jiǎng)，則可獲得5元現(xiàn)金．已知每位顧客每次抽中金獎(jiǎng)和銀獎(jiǎng)的概率分別為和，且每次中獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客參與該商場(chǎng)的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中甲有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，乙有1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．（1）求甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率；（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金總金額為，求的分布列與期望．解：（1）若甲抽中2次銀獎(jiǎng)，則由甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，可知乙也得抽中銀獎(jiǎng)，此時(shí)概率．若甲至少抽中1次金獎(jiǎng)，則甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額一定大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，此時(shí)概率．故甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率．（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得現(xiàn)金金額分別為，則．由題可知，，，，，則，，，．的分布列為15253545．17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，，（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OF.因?yàn)椤鱂CD為等腰直角三角形，且，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.又平面，平面，所以平面ADE，因?yàn)?，所以，又，所以四邊形ABOD為平行四邊形，則.因平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，又，平面，所以平面平面ADE.因?yàn)槠矫鍻BF，所以平面ADE.（2）解：由題可知AB，AD，AE兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則B1,0,0，，E0,0,1，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則由得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x則由得，令，得.，則平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知是橢圓上