凹凸性、漸近線、作圖教學(xué)材料

2025/2/151函數(shù)的凹凸性、漸近線與作圖一、函數(shù)的凹凸性二、曲線的漸近線三、函數(shù)作圖若在某區(qū)間內(nèi),曲線上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線的下方,則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的；若曲線上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線的上方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的．一、函數(shù)的凹凸性2025/2/153(a)中曲線上任意兩點(diǎn)的割線在曲線的上方(b)中曲線上任意兩點(diǎn)的割線在曲線的下方2025/2/155凹曲線的一階導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律：2025/2/156凸曲線的一階導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律：2025/2/157定理1：(用二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸性)（二）凹凸性的判定2025/2/158（三）拐點(diǎn)定理1：（拐點(diǎn)必要條件）2025/2/159定理2（拐點(diǎn)的充分條件）例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是凹的.說明：若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,則曲線的凹凸性不變.求拐點(diǎn)的一般步驟：（2）求二階導(dǎo)數(shù)；（5）求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（1）求函數(shù)的定義域；（3）求定義域內(nèi)使二階導(dǎo)數(shù)等于零

或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（4）檢驗各點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)的符號,如果

符號不同,該點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；凹、凸區(qū)間解：函數(shù)的定義域為令得是拐點(diǎn)．在兩側(cè)例2.求曲線及拐點(diǎn)．沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)列表如下：-0+凸

拐點(diǎn)凹符號發(fā)生改變,則解:函數(shù)的定義域為的拐點(diǎn)．當(dāng)時，不存在．當(dāng)時，在的兩側(cè)，的符號發(fā)生改變.點(diǎn)是該曲線的拐點(diǎn)．例3.求曲線當(dāng)時，2025/2/1514x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y)的拐點(diǎn)．解函數(shù)的定義域為

由于在處沒有定義,所以該曲線例4.求曲線沒有拐點(diǎn)．2025/2/1516ezplot('x*y=1',[-1010])2025/2/1517預(yù)習(xí)：P112—115P108習(xí)題420(2)(3)21作業(yè)2025/2/1518二、曲線的漸近線2025/2/1519

曲線漸近線的分類2025/2/1520例5.求曲線的鉛直漸近線．解因為所以和是曲線的兩條鉛直漸近線．2025/2/1522ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010])2025/2/1523注意：只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間時，其曲線才有可能存在水平漸近線．2025/2/1524對于函數(shù)所以，是曲線的一條水平漸近線．由于2025/2/1525(3)斜漸近線如果曲線是曲線的一條斜漸近線．則或有例子見書98頁例62025/2/1526三、