高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列232等比數(shù)列的前n項和4省公開課一等獎新課獲獎?wù)n件

等比數(shù)列前n項和1/29

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項和公式以及正整數(shù)平方和公式、立方和公式等進(jìn)行求和．

在歷年高考要求中，等差數(shù)列與等比數(shù)列有限和總是有公式可求。

2．掌握非等差、等比數(shù)列求和幾個常見方法.

有些特殊數(shù)列求和可采取分部法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求和(能利用等差、等比數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列和)或用裂項法，錯位相減法，分項和并項求和法，逆序相加法，分組組正當(dāng)?shù)惹蠛汀?高考要求2/291．公式法：直接應(yīng)用等差數(shù)列，等比數(shù)列前n項和公式，以及正整數(shù)平方和公式、立方和公式等進(jìn)行求和．(1)等差數(shù)列前n項和(2)等比數(shù)列前n項和.Sn＝

＝

n2n2＋n數(shù)列求和第一課時3/29

公式法數(shù)列求和 例1：(1)求和1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝___________；(2)求和22＋23＋24＋…2n＋3＝________.

解：(1)這是一個以1為首項，2為公差等差數(shù)列求和問題，其項數(shù)為n＋1，1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)

(2)這是一個以4為首項，2為公比等比數(shù)列求和問題，其項數(shù)為(n＋3)－2＋1＝n＋2，4/29裂項相消法求和5/29

2－2.已知an＝Sn＝_______.，則數(shù)列{an}前n項和6/29

裂項相消法關(guān)鍵就是將數(shù)列每一項拆成二項或多項,使數(shù)列中項出現(xiàn)有規(guī)律抵消項，進(jìn)而到達(dá)求和目標(biāo)。即：把數(shù)列通項拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消，于是前n項和變成首尾若干項之和．1．利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最終一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面系數(shù)，使裂開兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等．7/29常見拆項方法有：(1)=

;(2)=

;(3)=

;

8/29

錯位相減法求和例3：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0,1).解：因為x≠1，∵Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn.9/293-1．已知數(shù)列{an}前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝______.＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2.答案：(n－1)·2n＋1＋210/29即：假如一個數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，此時可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an兩邊同乘以公比q，得到

qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，兩式錯位相減整理即可求出Sn.

用乘公比錯位相減法求和時，應(yīng)注意：1．要善于識別題目類型，尤其是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)情形；2．在寫出“Sn”與“qSn”表示式時應(yīng)尤其注意將兩式“錯項對齊”方便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”表示式．11/291＋2＋22＋…＋21.求和1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)＝2.已知an＝1n－1＋1，則數(shù)列{an}前n項和Sn＝______.__________.答案：B答案：B12/29【方法規(guī)律小結(jié)】數(shù)列求和需掌握以下基本慣用解法：1．公式法：直接由等差、等比數(shù)列求和公式求和，注意等比數(shù)列公比q與1討論．2．錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得數(shù)列求和，即等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程推廣．3．裂項相消法：把數(shù)列每一項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項．13/29將數(shù)列相鄰兩項(或若干項)并成一項(或一組)得到一個新數(shù)列(輕易求和).五、并項求和（奇偶分析法）例5求和

Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n.n2Sn=-,n

為偶數(shù)時,

,n

為奇數(shù)時.n+12數(shù)列求和第二課時四、倒序相加法將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加,就能夠得到n個.例

如等差數(shù)列求和公式推導(dǎo).例4函數(shù)f(X)滿足若x1+x2=1,則f(x1)+f(x2)=1,求f(0)+f()+f()+f()+……+f()14/29若數(shù)列通項可轉(zhuǎn)化為

形式，且數(shù)列可求出前n項和則例6.求以下數(shù)列前n項和六.分組求和法：（1）15/29解（1）：該數(shù)列通項公式為

（1）16/2917/2918/2919/29規(guī)律概括：假如一個數(shù)列通項可分成兩項之和（或三項之和）則可用分組求和法：在本章我們主要碰到以下兩種形式數(shù)列.

其一：通項公式為：

其二：通項公式為：20/29本課小結(jié)：

數(shù)列求和普通步驟：等差、等比數(shù)列直接應(yīng)用求和公式求和。非等差、等比數(shù)列，經(jīng)過通項化歸思想設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，慣用方法有倒序相加法、錯位相減法、拆項并組法不能轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，往往經(jīng)過裂項相消法求和。21/29（5）已知遞增等比數(shù)列

{an}

前

3

項之積為

512,且這三項分別減去

1,

3,

9

后又成等差數(shù)列,

求數(shù)列

{}

前

n

項和.an

n

（6）已知數(shù)列

{an}

中,

a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,n

N*),求數(shù)列

{an}

前

n

項和

Sn.()()114313212114++--+.+.+.=nnSn(7).數(shù)列

{an}

中,a1=a,前

n

項和

Sn

組成公比為

q(q

1)

等比數(shù)列.(1)求證:在

{an}中,從第

2

項開始成等比數(shù)列;(2)當(dāng)

a=250,q=

時,設(shè)

bn=log2|an|,求

|b1|+|b2|+…+|bn|.1222/29作業(yè)謝謝！歡迎你提問！書本第53-55頁

能力培養(yǎng)再見23/2924/2925/29

5.已知遞增等比數(shù)列

{an}

前

3

項之積為

512,且這三項分別減去

1,

3,

9

后又成等差數(shù)列,

求數(shù)列

{}

前

n

項和.an

n

解:

設(shè)等比數(shù)列

{an}

公比為

q,依題意得:a1a2a3=512

a23=512

a2=8.∵前三項分別減去

1,3,9

后又成等差數(shù)列,∴(-1)+(8q-9)=2(8-3)

q=2

或

q=

(舍去).q812∴an=a2qn-2=8

2n-2=2n+1.∴所求數(shù)列前

n

項和

Sn=++…+①1222232n+1n2n+1n-1123224∴Sn=++…++②122n+2n①-②

得:

Sn=++…+-2n+11122123122n+2n∴Sn=++…+-12n

1222n+1n12=1-

-

.12n

2n+1n26/296.已知數(shù)列

{an}

中,

a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,n

N*),求數(shù)列

{an}

前

n

項和

Sn.∴

=

.

an-1an

2n-32n+1∴Sn=a1+a2+…+an

解:

∵(2n+1)an=(2n-3)an-1,則=,…,=,=.an-2an-1

2n-52n-1a2a337a1a215∴=.a1an

(2n+1)(2n-1)3∴an=(2n+1)(2n-1)3=

(-

).3212n-112n+13212n-112n+1=

[(1-)+(-)+(-)+…+(-)

2n+1=

.27/29(1)證:

由已知

S1=a1=a,Sn=aqn-1,當(dāng)

n≥2

時,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.∴在

{an}中,從第

2

項開始成等比數(shù)列.

7.數(shù)列

{an}

中,a1=a,前

n

項和

Sn

組成公比為

q(q

1)

等比數(shù)列.(1)求證:在

{an}中,從第

2

項開始成等比數(shù)列;(2)當(dāng)

a=250,q=

時,設(shè)

bn=log2|an|,求

|b1|+|b2|+…+|bn|.12an+1an∵==q(n≥2),a(q-1)qn-2a(q-1)qn-1(2)解