新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學第37講 圓錐曲線常規(guī)解答題（解析版）

第37講圓錐曲線常規(guī)解答題【知識點總結(jié)】一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,通常將直線的方程代入圓錐曲線的方程,消去(也可以消去)得到關(guān)系一個變量的一元二次方程,,即,消去后得(1)當時,即得到一個一元一次方程,則與相交,且只有一個交點,此時,若為雙曲線,則直線與雙曲線的漸近線平行;若為拋物線,則直線與拋物線的對稱軸平行(2)當時,,直線與曲線有兩個不同的交點;,直線與曲線相切,即有唯一的公共點(切點);,直線與曲線二、圓錐曲線的弦連接圓錐曲線上兩點的線段稱為圓錐曲線的弦直線,曲線為與的兩個不同的交點,坐標分別為,則是方程組的兩組解,方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程(),判別式,應(yīng)有,所以是方程的根,由根與系數(shù)關(guān)系(韋達定理)求出,所以兩點間的距離為,即弦長公式,弦長公式也可以寫成關(guān)于的形式三、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當?shù)牧繛樽兞?（2）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù).（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值.四、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法.（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值.求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法.五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用(把定義作為解題的著眼點).（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用(涉及弦長、中點要用根與系數(shù)的關(guān)系).【典型例題】例1．（2020·全國·高三專題練習）設(shè)拋物線：的焦點為，是上的點．（1）求的方程：（2）若直線：與交于，兩點，且，求的值．【詳解】（1）因為是上的點，所以，因為，解得，拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由得，則，，由拋物線的定義知，，，則，，，解得.例2．（2020·全國·高三專題練習）已知橢圓過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點，求.【詳解】解：（1）由題意得，，結(jié)合，解得所以橢圓的方程為：.（2）由得即，經(jīng)驗證.設(shè)，.所以，，故因為點M到直線的距離，所以.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的方程，弦長公式等，考查運算能力，是基礎(chǔ)題.例3．（2021·寧夏·海原縣第一中學高三期末（理））設(shè)橢圓過點，離心率為（1）求C的方程；（2）求過點且以M點為中點的弦的方程．【詳解】（1）將代入C的方程得，∴=4，又得，即，∴，∴C的方程為．（2）設(shè)直線與C的交點為A，B，代入橢圓方程得，作差化簡可得，即，又，則，以M點為中點的弦的方程:,即：.例4．（2021·江蘇·南京市中華中學高三階段練習）已知雙曲線的離心率為2．（1）求雙曲線E的方程；（2）設(shè)點P(0，－3)，過點Q(0，1)的直線l交E于不同的兩點A，B，求直線PA，PB的斜率之和．【解析】（1）由，則，因為，解得，所以，所以雙曲線E的方程為.（2）過點的直線斜率顯然存在，設(shè)的方程為：，，，將的方程代入雙曲線的方程并整理得依題意，且，所以且，因此，可得，.例5．（2021·全國·高三專題練習（文））在平面直角坐標系中，設(shè)點，直線：，點在直線上移動，是線段與軸的交點，，．（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線與曲線交于，兩點，是否為定值，若是求出該定值，若不是說明【詳解】（1）是線段與軸的交點，直線和軸平行，則是線段的中點，如圖：又，于是是線段的中垂線，即得，而，動點到點的距離等于到直線的距離，動點的軌跡是開口向右的拋物線，是焦點，是準線，依題意動點不能與重合，故動點的軌跡的方程；（2）設(shè)，，，，由得，則，，則有，所以為定值．例6．（2020·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的兩點A，B，且l不過原點．（1）若＝－4，證明直線l必過定點，并求出定點坐標；（2）若OA⊥OB，證明直線l必過定點，并求出定點坐標；（3）若直線l始終過點(1，0)，證明：為定值，并求定值．【詳解】（1）設(shè)l：x＝ty＋b，代入y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.而＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＝b2－4b令b2－4b＝－4，∴b＝2.直線l過定點(2，0)．（2）若，則＝0，即b2－4b＝0，∴b＝4或b＝0(舍)∴直線l：x＝ty＋4，過定點(4，0)．（3）設(shè)l：x＝ty＋1，代入y2＝4x得y2－4ty－4＝0，∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋1＝－4(t2＋1)＋4t2＋1＝－3(定值)例7．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，橢圓的長軸是圓的直徑.（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點，交圓于，兩點，求四邊形面積的取值范圍.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，橢圓的長軸是圓的直徑.所以，解得，所以橢圓的標準方程；（2）由（1）知橢圓的右焦點，當直線的斜率不存在時，，四邊形面積我i，當直線的斜率為0時，，四邊形面積為，當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)方程為，，由，得，所以，所以，此時的方程為，坐標原點到的距離為，則，所以四邊形面積為，，綜上：四邊形面積的取值范圍是.【技能提升訓練】1．（2021·全國·高三專題練習（文））已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.【答案】（1），短軸長為，焦距為；（2）.【分析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點坐標后可得距離．【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故．2．（2021·河北省唐縣第一中學高三階段練習）已知橢圓，直線過點與橢圓交于兩點，為坐標原點.（1）設(shè)為的中點，當直線的斜率為時，求線段的長；（2）當△面積等于時，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達定理，可求出的坐標，進而利用兩點間的距離公式可求出答案；（2）易知直線斜率存在，可表示出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達定理，進而求出的表達式，及點到直線的距離的表達式，結(jié)合，可求出直線的斜率.【詳解】（1）因為直線l過，斜率為，所以：.聯(lián)立，得到.由韋達定理，有，設(shè)，則，，所以，.（2）由題意，可知直線斜率存在，設(shè)斜率為，則為：，聯(lián)立，得到，由韋達定理，有，O到直線l的距離為，.則.所以，化簡得，解得，所以直線：或.3．（2020·全國·高三專題練習）經(jīng)過橢圓的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點，求AB的長.【答案】【分析】求出橢圓的左焦點，根據(jù)點斜式設(shè)出方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式即可算出弦的長．【詳解】橢圓方程為，焦點分別為，，直線過左焦點傾斜角為，直線的方程為，將方程與橢圓方程消去，得設(shè)，，，，可得，因此，．故答案為：【點睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.4．（2021·福建省廈門集美中學高三階段練習）橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的斜率為2的直線交橢圓于?兩點，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義可知a，c，再根據(jù)，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求出的長度，再根據(jù)點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.（1）由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標準方程為.（2）直線l的方程為，代入橢圓方程得，設(shè)，，則，，，∴，又∵點O到直線AB的距離，∴，即△OAB的面積為.5．（2021·全國·高三專題練習）已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點的橢圓恰好過兩點②設(shè)圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標準方程，若直線與橢圓相交于?兩點，求的最值.【答案】（1）詳見解析；（2）的面積最大值為1.【分析】（1）由①②題意得，推出，利用已知條件列出方程組即可求解得到橢圓方程.（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理可以求得，然后利用點到直線的距離求得三角形的高，便可求得三角的面積，再利用代換法和基本不等式求得面積最大值.【詳解】（1）選擇條件①：由題意得，由已知條件，故M軌跡為橢圓，標準方程為.選擇條件②：∥故又所以根據(jù)橢圓的定義可得M點是以，為焦點的橢圓其中又直線與軸不重合，故M不在x軸上，故則M點的軌跡方程為：不是橢圓綜上，選擇條件①所得的橢圓方程為（2）直線與橢圓相交于?兩點，即又O到PQ的距離為所以的面積為設(shè)，當且僅當時等號成立，且滿足，所以，的面積最大值為1.6．（2021·吉林·長春市第二實驗中學高二階段練習）點與定點的距離和它到定直線的距離的比是．（1）求點的軌跡方程．（2）求軌跡的以為中點的弦所在直線方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等式，化簡可得出點的軌跡方程；（2）設(shè)軌跡的以為中點的弦為，設(shè)點、，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.（1）解：由已知可得，化簡可得，因此，點的軌跡方程為.（2）解：設(shè)軌跡的以為中點的弦為，設(shè)點、.若直線的斜率不存在時，則線段的中點在軸上，不合乎題意.所以直線的斜率存在時，由已知可得，由于點、都在軌跡上，則，上述兩個等式作差得，即，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.7．（2022·全國·高三專題練習（理））已知橢圓：的左?右焦點分別為，，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，的中點坐標為.（1）求橢圓的標準方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，，，，代入橢圓的方程相減可求得直線斜率與中點坐標之間的關(guān)系，由此得，從而可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立方程得到兩個交點的縱坐標，即可得到三角形的面積.（1）設(shè)，，，，可得，，兩式相減得，將，代入上式，即，又，∴，∴直線的方程為，即，∴，，∴橢圓的標準方程；（2）由，整理得，∴，∴，∴.∴的面積為.8．（2021·全國·高三專題練習（理））已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）利用已知和的關(guān)系，列方程組可得橢圓的標準方程；（2）直線斜率存在時，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡，可得直線所過定點．【詳解】（1）由得，所以橢圓的標準方程為.（2）當直線斜率不存在時，直線與橢圓交于不同的兩點分布在軸兩側(cè)，不合題意.所以直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.設(shè)、，由得，所以，.因為，所以，即，整理得化簡得，所以直線的方程為，所以直線過定點.9．（2021·全國·高三專題練習）已知直線半徑為的圓與直線相切,圓心在軸上且在直線的上方.（1）求圓的方程;（2）設(shè)過點的直線被圓截得弦長等于,求直線的方程;（3）過點的直線與圓交于兩點（在軸上方）,問在軸正半軸上是否存在點,使得軸平分?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】（1）;（2）或;（3）當點,能使得總成立.【分析】（1）設(shè)出圓心坐標根據(jù)直線與圓相切,得到圓心到直線的距離,確定出圓心坐標,即可得出圓方程;（2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理,由過點的直線被圓截得的弦長等于,分直線斜率存在與不存在兩種情況求出直線的方程即可;（3）當直線軸則軸平分,當直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,聯(lián)立圓與直線方程消去得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積,由若軸平分,則,求出的值,確定出此時坐標即可.【詳解】解:（1）設(shè)圓心,因為直線,半徑為的圓與相切,,即,解得或（舍去）,則圓方程為:.（2）由題意可知圓心到直線的距離為若直線斜率不存在,則直線,圓心到直線的距離為1;若直線斜率存在,設(shè)直線,即,則有,即,此時直線,綜上直線的方程為或;（3）當直線軸,則軸平分,若軸平分,則,即,整理得:,即,解得:,當點,能使得總成立.【點睛】此題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用,涉及的知識有:垂徑定理,勾股定理圓的標準方程,點到直線的距離公式,以及斜率的計算,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.10．（2017·陜西渭南·二模（理））已知是橢圓上關(guān)于原點對稱的任意兩點，且點都不在軸上.（1）若，求證:直線和的斜率之積為定值；（2）若橢圓長軸長為，點在橢圓上，設(shè)是橢圓上異于點的任意兩點，且.問直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）直線恒定過點.【詳解】試題分析：（1）設(shè)，則，將坐標帶入橢圓化簡即可；（2）設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，由,韋達定理代入得，直線恒定過點，當直線斜率，易得成立.試題解析：(1)由題意設(shè)，則，所以有，又因為,所以,(定值).(2)直線過點，理由如下:①當直線斜率，易得,直線的方程為.直線過點.②由已知，橢圓方程為，設(shè)直線，則，設(shè)，則,，，，或(舍去),方程為，則直線恒定過點，綜上所述，直線恒定過點.點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).11．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2＝4x的焦點重合，且其離心率為．（1）求橢圓C的方程．（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，線段MN中點為P，問：kMN·kOP(O為坐標原點)是否為定值？請說明理由．【答案】（1）；（2）kMN·kOP為定值，定值為；理由見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合拋物線焦點坐標公式進行求解即可；（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合斜率公式、中點坐標公式進行求解證明即可.（1）∵拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，∴橢圓C的半焦距c＝1，又橢圓的離心率，，因此橢圓C的方程為；（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，將y＝kx＋m代入，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＞0，可得m2＜4k2＋3．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，，因為線段MN中點為P，所以，因此，所以kMN·kOP.12．（2021·全國·高三專題練習）已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點的橢圓恰好過兩點②設(shè)圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標準方程，記，分別是橢圓左?右頂點，若是橢圓上的動點，判斷是否為定值，并說明理由.【答案】（1）選①得到的橢圓方程為，選②得到的橢圓方程為；（2）是定值，理由見解析.【分析】（1）若選①，由條件可得，然后利用定義可求出的值，然后可得答案；若選②，由條件可得，然后，然后可算出答案；（2），，設(shè)，則，然后可算出的值.【詳解】（1）若選①，因為矩形的長為，寬為，所以所以，所以所以橢圓的標準方程為若選②，因為，所以，因為，所以所以，所以所以所以點的軌跡是以為焦點的橢圓（挖去左右頂點），其中所以，所以其方程為（2）因為，分別是橢圓左?右頂點，是橢圓上的動點，所以，，設(shè)，則所以所以是定值.13．（2021·陜西·西安中學高三階段練習（理））如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點為坐標原點，點P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．（1）求拋物線的方程及其準線方程；（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，證明：直線AB的斜率為定值．【答案】（1）拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1；（2）證明見解析．【分析】（1）將點P(1，2)代入拋物線方程即可求出p＝2，再由拋物線標準方程形式得出準線即.（2）由題意可得kPA＝－kPB，從而可得，結(jié)合拋物線方程可得y1＋y2＝－4，再由kAB＝即可求解.【詳解】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則由點P(1，2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1．（2）證明：因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，所以kPA＝－kPB，即＝－．又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝，x2＝，從而有，即，得y1＋y2＝－4，故直線AB的斜率kAB＝．14．（2022·全國·高三專題練習）已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)點是弦的中點，利用點差法求解.【詳解】設(shè)，且，則，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.15．（2021·甘肅·嘉峪關(guān)市第一中學模擬預(yù)測（理））已知橢圓：（，），離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的任意一點（除短軸的端點外）與短軸的兩個端點，的連線分別與軸交于，兩點，求證為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點，列方程組求參數(shù)、，寫出橢圓方程.（2）設(shè)，寫出直線、的方程，可求，的坐標，進而可得關(guān)于的關(guān)系式，根據(jù)在橢圓上即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，故橢圓方程為.（2）由題意，若，，設(shè)橢圓上任意一點，∴直線的方程為；直線的方程為，令，得，．∴為定值，得證．16．（2021·山西運城·模擬預(yù)測（理））已知在拋物線：上.（1）求拋物線的方程；（2），是拋物線上的兩個動點，如果直線的斜率與直線的斜率之和為2，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)把點P的坐標代入即可得解；(2)設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程組，借助韋達定理及直線PA與PB斜率和為2即可得解.【詳解】（1）將點坐標代入拋物線方程得，即，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)：，將的方程與聯(lián)立得，，設(shè)，，則，，，同理：，由題意：，，解得，有，即，故直線：恒過定點.17．（2021·江蘇·高三專題練習）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率e＝，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，B1，B2分別是橢圓的上、下頂點，P是橢圓上任意一點（不與B1，B2，重合），O為坐標原點．（1）若線段PF1的中點在y軸上，求的值；（2）若直線PB1，PB2分別與x軸交于點M，N，求證：|OM|?|ON|為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由橢圓的方程可得a的值，再由離心率的值可得c的值，再由a，b，c的關(guān)系求b的值，進而可得橢圓的方程，由題意可得PF2⊥x軸，可得P的坐標可得|PF1|，|PF2|的值，可得的值；（2）由（1）可得B1，B2，設(shè)P的坐標，求出PB1，PB2的方程，令y＝0可得M，N的坐標，進而可證得|OM|?|ON|之積為定值9．【詳解】（1）由題意可得a＝3，e＝，可得c＝2，而b2＝a2﹣c2＝5，所以橢圓的方程：；設(shè)線段PF1的中點為G因為O是線段F1F2的中點，所以O(shè)G∥PF2，PF2⊥x軸，所以|PF2|＝，PF1|＝2a﹣|PF2|＝，故，（2）令P（x0，y0），則x0≠0，，即5x02＝9（5﹣y02），易知B1（0，），B2（0，﹣），所以：y﹣＝（x﹣0），令y＝0，得，：y+＝（x﹣0），令y＝0，得，所以可證：|OM|?|ON|＝||＝||＝9．18．（2019·江西九江·二模（文））已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其內(nèi)接正方形的面積為4．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓C的右頂點，過點且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率可以得到的關(guān)系，結(jié)合，可知的關(guān)系，由對稱性可得，可求橢圓內(nèi)接正方形位于第一象限頂點的坐標，代入橢圓方程中，求出的值．（Ⅱ）設(shè)了直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一個一元二次方程，求出k1k2的表達式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對表達式進行化簡求值．【詳解】解：（Ⅰ）∵e==，∴a=c，即a2=2b2，①，由對稱性可得，橢圓內(nèi)接正方形位于第一象限頂點的坐標為（x0，y0），∴4x02=4，x0=1，∴+=1，②，由①②解得a=，b=，∴橢圓C的標準方程為+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M（，0），依題意得直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-3），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1，x2≠），聯(lián)立方程，消去y并整理可得∴，∴x1+x2=，x1x2=，∴k1k2=?=?====1，∴k1k2=1【點睛】本題考查了求橢圓方程，直線與橢圓的位置的關(guān)系．19．（2018·全國·一模（文））設(shè)為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，滿足,已知三角形的面積為1.(1)求的方程:(2)設(shè)的上頂點為,過點(2，-1)的直線與橢圓交于兩點(異于),求證:直線和的斜率之和為定值，并求出這個定值.【答案】（1）；（2）【詳解】【試題分析】(1)利用橢圓的定義和直角三角形勾股定理,直角三角形面積公式,列方程組,解方程組可求得的值為,故所求橢圓方程為.(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程,寫出韋達定理,代入計算,,故所求定值為.【試題解析】（1）由橢圓定義：|MF1|+|MF2|=4由垂直：|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4(4－b2)由面積：S=|MF1|·|MF2|=1三式消去|MF1|、|MF2|，可得b2=1，(2)依題意：H(0，1)，顯然當直線RS與y軸平行時不符題意設(shè)直線RS方程為y=kx+m，其中m=－2k－11帶入橢圓方程化簡得：(4k2+1)x2+8kmx+4m2－4=0故x1+x2=x1x2=kHR+kHS====故kHR+kHS為定值－120．（2021·廣西桂林·高三階段練習（文））在平面直角坐標系中，已知橢圓中心在原點，焦距為2，右準線的方程為.過的直線交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，列方程直接求解即可（2）設(shè)方程為，與橢圓方程進行聯(lián)立，再利用韋達定理進行求解即可【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，其中，解得：，，故所求橢圓方程為.（2）設(shè)方程為，代入橢圓中得：，即，設(shè)，，則，，由得，解得.則直線的方程為.【點睛】關(guān)鍵點睛：直線與橢圓方程進行聯(lián)立，然后，進行消參處理即可求解，屬于基礎(chǔ)題21．（2020·四川郫都·高三階段練習（文））在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點，且離心率.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線過點且與橢圓相交于兩不同點、，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依題意可得，再由離心率求出，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）分斜率不存在與存在兩種情況討論，當直線斜率存在時，設(shè)，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、由求出的取值范圍，列出韋達定理，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，求出函數(shù)的值域即可得解；【詳解】解：（1）由題可得：，∵，∴，由，得，橢圓的方程：.（2）當直線斜率不存在時，直線代入得，，∴，當直線斜率存在時，設(shè)代入，整理得，，，解得，設(shè)，，∴，∴，∵，∴，∴，綜上，的取值范圍是.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22．（2016·寧夏·一模（理））已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為,直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.（1）求橢圓方程；（2）求的取值范圍．【答案】（1）y21．（2）（﹣1，）∪（，1）．【詳解】（1）由條件知a﹣c＝1，，∴a＝1，b＝c，故C的方程為：y21．（2）設(shè)l：y＝kx+m與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0△＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0（*）x1+x2，x1x2∵3，∴﹣x1＝3x2∴x1+x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，消去x2，得3（x1+x2）2+4x1x2＝0，∴3（）2+40整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0m2時，上式不成立；m2時，k2，因λ＝3，∴k≠0，∴k20，∴﹣1＜m或m＜1容易驗證k2＞2m2﹣2成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（﹣1，）∪（，1）．23．（2021·全國·高三專題練習）已知中心在原點的雙曲線的一個焦點，一個頂點為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題可得，求出即得雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用判別式和韋達定理即可求出.【詳解】（1）雙曲線的一個焦點，一個頂點為，雙曲線的焦點在x軸上，且，，雙曲線的方程為；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，，解得.24．（2022·全國·高三專題練習（文））已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意，聯(lián)立方程求出，即可得到雙曲線方程；（2）利用點差法求出中點坐標，點斜式求出直線方程即可.【詳解】（1）由焦點可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標準方程為（2）設(shè)，AB中點的坐標為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即25．（2021·全國·高三專題練習）已知雙曲線經(jīng)過點且實軸長是半焦距的．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）若直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，且線段PQ的中點為，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意可得：，再根據(jù)雙曲線過點，再結(jié)合，代入即可求得：，，即可得到雙曲線C的標準方程；（2）先設(shè)出P，Q的坐標，根據(jù)中點坐標公式即可求得，，將P，Q兩點代入雙曲線方程，兩式相減即可得到斜率為，再利用點斜式即可求出直線l的方程．【詳解】解：（1）∵實軸長是半焦距的倍，∴，即，∵雙曲線C經(jīng)過點，，又∵，∴，，故雙曲線C的標準方程為；（2）設(shè)P，Q的坐標分別為，，∵線段PQ的中點為，∴，，∵，，∴，整理得：，即直線l的斜率為，∴直線l的方程為，即．26．（2021·全國·高三專題練習）已知雙曲線.（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線的標準方程；（2）若直線與雙曲線交于A、B兩點，且A、B的中點坐標為（1，1），求直線的斜率