微專題14 導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問題 -2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題14導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問題【秒殺總結(jié)】1、分析通項(xiàng)法：由于左邊是一個(gè)求和(積)形式的表達(dá)式，右邊是一個(gè)簡(jiǎn)單的式子，為了使得兩者能夠明顯地顯現(xiàn)出大小特征，有必要將兩者統(tǒng)一成同一種形式，此處有兩條路可走，一種是將左邊的和式收攏，一種是將右邊的式子分解.很明顯，左邊是無法收找的，因此需要將右邊進(jìn)行拆分，而拆分的原則就是和左邊配對(duì).假設(shè)右邊，這樣一來，相當(dāng)于已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)之和，求，利用數(shù)列的知識(shí)可知.所以，接下來只需要證明即可.2、幾種常見的數(shù)列放縮方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.3、根據(jù)不等式的信息，利用題目的結(jié)論，得出不等式，然后對(duì)變量取合適的數(shù)據(jù)，再用數(shù)列求和法而得解.【典型例題】例1．（2024·河南·一模）已知函數(shù)，，.(1)判斷是否對(duì)恒成立，并給出理由；(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)，時(shí)，.【解析】（1）恒成立，理由如下:令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即恒成立;（2）①時(shí)，單調(diào)遞增，故，又，故要證，只需證，令，則只需證明，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，;②由（1）知，，由于，所以，所以例2．（2024·天津·一模）意大利畫家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：.(1)求曲線在處的切線斜率；(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：(3)（i）證明：當(dāng)時(shí)，；（ii）證明：.【解析】（1），則所以，可得在處的切線斜率為（2）令，則，下面證明：對(duì)任意恒成立,先證明：對(duì)任意.證明如下：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，繼續(xù)證明：對(duì)任意.證明如下：令，則，因此在上單調(diào)遞增；所以，故當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，對(duì)，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則對(duì)，都有成立，不符合題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）（i），令，則所以在上單調(diào)遞增，所以所以當(dāng)時(shí)，成立；（ii）下面證明：當(dāng)時(shí)，成立，令，則由前問解答過程，對(duì)任意成立，所以所以在上單調(diào)遞增，所以所以當(dāng)時(shí)，成立令且，可得，即，由題意，令且，可得，因?yàn)樗裕散佼?dāng)時(shí)，，所以令且，可得所以，由前面解答過程得，對(duì)任意成立，令且，可得，所以，又且，所以，所以所以可得，即可得.例3．（2024·湖北·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；(2)由該公式可得：．當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并給出證明；(3)設(shè)，證明：．【解析】（1）令，則，，，，故，，，，，由麥克勞林公式可得，故.（2）結(jié)論：，證明如下：令，令，故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，，即證得，即．（3）由（2）可得當(dāng)時(shí)，，且由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，，，而，即有故而，即證得.例4．（2024·天津·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若在的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，（?。┣笞C：；（ⅱ）求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，所以切線方程為，即；（2）（?。┮C，即證時(shí)，，令，即證在時(shí)恒成立，因?yàn)椋?，則，令，則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以,即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即得證；（ⅱ）時(shí)，，由（?。┲?，，即，則，所以，，即得證.例5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；②.【解析】（1）由于，定義域?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；⑤當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：①由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故；②由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，即，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即得，令，則，所以，即，令，則，且不恒為零，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以.例6．（2024·廣東佛山·二模）已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，?易知，所以，因?yàn)椋允堑缺葦?shù)列，首項(xiàng)，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，再證明右邊：，因?yàn)?，所以，即，下面證明，即證，即證，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．例7．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直，求的值并求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有.【解析】（1）因?yàn)椋?，依題意可得，即，所以，定義域?yàn)椋?，令可得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值為，無極小值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹愠闪?，即?duì)任意的恒成立，即，其中，令，則，即，構(gòu)造函數(shù)，，則，令，得，列表如下：+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，即時(shí)，恒成立，取，則對(duì)任意的恒成立，令，則，所以，所以.例8．（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂椋ㄆ渲袨榫仃囍械谛械诹械臄?shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【解析】（1）由題意得.若，則，即.因式分解得.因?yàn)?，所?所以使的的最小值是10.（2）由題得第1對(duì)角線上的平方和為，第2對(duì)角線上的平方和為，第對(duì)角線上的平方和為，第對(duì)角線上的平方和為，所以所以.（3）由題意知，證明等價(jià)于證明，注意到左側(cè)求和式，將右側(cè)含有的表達(dá)式表示為求和式有故只需證成立，即證成立，令，則需證成立，記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.例9．（2024·山東濰坊·一模）已知函數(shù)（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：（，）；(3)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，且至多一點(diǎn)處為0，函數(shù)在上遞減；②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)或時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則，令，于是，，所以.（3）函數(shù)，由于與同號(hào)，則只有一個(gè)零點(diǎn)，令，由，則有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）知，的兩極值點(diǎn)滿足，所以，得，由，則，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，則，即，因此，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，顯然，而，則，于是當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以的取值范圍是.【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對(duì)任意，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①若，恒成立，在上單調(diào)遞增．②若，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：令，則因?yàn)?，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減．令，，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，又，所以，，所以恒成立，又因?yàn)?，，所以，．同理可得，，由（時(shí)等號(hào)成立）得，，即（時(shí)等號(hào)成立），又，所以，所以恒成立，又因?yàn)?，，，所以，，所以，區(qū)間上存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以對(duì)任意，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立；（3）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可得，在上單調(diào)遞減．所以，時(shí)，，即．令，，則，即，即令，，則，所以，，所以，.2．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性.(2)證明:當(dāng)時(shí),(3)證明:【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，易知，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，得，即在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又，有，，即單調(diào)遞減，，，即單調(diào)遞增，所以，而此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，可得，，所以又，所以存在，使得，即，，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由可得，，下面證明，，令，，所以在上單調(diào)遞增，，即得證，即成立，綜上，當(dāng)時(shí)，成立.（3）由（2），當(dāng)時(shí)，有，即，令，，得，，，即.3．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．【解析】（1）由題意知，，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞增，由得，則在上單調(diào)遞減，所以，，不合題意；③當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，對(duì)于任意的，，符合題意；④當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，，不合題意．綜上所述，．（2）證明：由（1）知，時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，當(dāng)時(shí)，令得，所以，所以當(dāng)時(shí)，成立.（3）證明：由（1）知，時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，令得，所以，所以，所以成立.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：．【解析】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，且，所以恒大于等于零不成立；當(dāng)時(shí)，由得，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，若恒成立，則令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時(shí)，.綜上，若恒成立，則；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，，，

所以，，，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即．所以，，，所以.5．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．(1)若，且，求；(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；(3)證明：，．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以設(shè)，又，代入上式可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，同理可得，綜上，.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；設(shè)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，綜上，.幾何意義：當(dāng)時(shí)，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.（3）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，故.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“讓式子丟掉次數(shù)”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立．(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問題．已知是大于的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明【解析】（1）猜想：伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是，或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其他值均不能保證等號(hào)成立，猜想，伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是，或；（2）當(dāng)時(shí)，我們需證，設(shè)，注意到，，令得，即，是的一個(gè)極值點(diǎn)．令，則，所以單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以在處取得極小值，即恒成立，．伯努利不等式對(duì)得證．（3）當(dāng)時(shí)，原不等式即，顯然成立．當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列：，則，若，由上式易得，即；若，則，所以，故，即此時(shí)也成立．所以是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列（），由于，所以，故原不等式成立．7．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）（）.(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，，故為偶函數(shù)，，令，，故為奇函數(shù)，其中恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，結(jié)合為偶函數(shù)，故在上恒成立，故在上恒成立；（2）由（1）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，且，所以，故，即，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且時(shí)，，故，故，即，所以，故.8．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1.(1)求的表達(dá)式；(2)若恒成立，求的值.(3)求證：.【解析】（1），則，；（2）設(shè).由條件知恒成立，因?yàn)?，又的圖像在定義域上是連續(xù)不間斷的，所以是的一個(gè)極大值點(diǎn)，則.又，所以，得；下證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，令，則，由，知函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，而，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，若恒成立，則.（3）由（2）可知.，先證，令，則在上單調(diào)遞減，，即所以再證，先證，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，則，即，令即得.又，得所以，綜上，.9．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）（1）已知，證明：；（2）證明：．【解析】（1）證明：令則在單調(diào)遞增，所以即；令則在單調(diào)遞增，所以即所以，所以綜上，；（2）結(jié)合第（1）問，對(duì)任意的恒成立，令，則，即．即，，所以．10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，都有．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，若，?dāng)，則，所以在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)，則，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，則，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.（2）由(1)知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即當(dāng)時(shí)，，對(duì)于任意正整數(shù)，令，有，所以，即，即.11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求a的取值集合；(2)證明：．【解析】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得，由x，，列表如下xa0遞減極小值遞增，因?yàn)楹愠闪?，所以，．令，則，由x，，列表如下x10遞增極大值遞減．又，，，，，故a的取值集合為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，，（當(dāng)時(shí)，“”成立），令，，則，，由累加法可知累加可得，即，令，，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，12．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.（2）證明：由（1）知，，即，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，令，，則，，而，所以.13．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知函數(shù).(1)若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：(2)證明：.【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?由，可得.設(shè)，則，，且與有相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù).思路1：令，，則.當(dāng)時(shí)，，則，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，顯然，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，解得，，且.當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞減.不難得知，，（令，故在單調(diào)遞減，故，即，），則在有一個(gè)零點(diǎn)，可知不只一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.綜上，可知.思路2：令，.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，有，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.若，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn).若，存在，且，使得.后續(xù)過程同思路1.綜上，可知（2）取，當(dāng)時(shí)，，有，即，則.令，，則，即，從而.14．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；(3)證明：，且.【解析】（1）由函數(shù)可知其定義域?yàn)椋字?，令可得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;（2）由可得，即在時(shí)恒成立，令，則，令，則在上恒成立，所以可得，因此恒成立，即可得在是單調(diào)遞減，所以，即；因此滿足題意，所以的取值范圍是（3）由（2）可得取，當(dāng)時(shí)，滿足，即，所以可得，即可得.15．（2024·高三·山西·期末）已知函數(shù).(1)若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【解析】（1）由題可知.令，其圖象的對(duì)稱軸為直線.當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，從而恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以恒成立.當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，從而恒成立，在單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾，舍去.綜上所述，的取值范圍為.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，從而，于是.16．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，．(1)求的值；(2)若對(duì)恒成立，求a的最小值；(3)當(dāng)正整數(shù)時(shí)，求證：．【解析】（1）由函數(shù)，可得，所以．（2）設(shè)，因?yàn)閷?duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，且．所以，可得．①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，（舍去）．綜上所述，實(shí)數(shù)的最小值為．（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，且，所以對(duì)恒成立，取，則，①當(dāng)時(shí)，可得，又，所以；②當(dāng)時(shí)，.綜上所述，原不等式成立．17．（2024·天津紅橋·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程：(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：（，）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率，則切線方程為；（2）若恒成立，則恒成立，設(shè)，，，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..；（3）證明：結(jié)合（2），令，則，即，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，…，，，（，）.18．（2024·高三·山東煙臺(tái)·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：.【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，易知時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令可得，即；，，累加可得.19．（2024·高二·浙江溫州·期末）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；(2)若當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)時(shí)，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，則，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，由題意可得：，解得.（2）令，則，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒有，且，則，解得，若，則有：①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，可知，令，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，則，，可知在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，令，可得，令，則，則，整理得，令，則，整理得，則，所以.20．（2024·高三·廣東汕頭·期末）已知函數(shù)，.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【解析】（1）因?yàn)?，注意到，所以?dāng)恒成立時(shí)，是的