三角函數(shù)大專題講義-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

三角函數(shù)一、核心知識體系1.角的概念：初中：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。（靜態(tài)視角）高中：角可以看做是一條射線繞其端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)而成的。射線的端點叫做角的頂點，旋轉(zhuǎn)的初始位置稱為角的始邊，終止位置稱為角的終邊。（動態(tài)視角）角的分類（了解）：分為正角、負(fù)角、零角。軸線角、象限角。2.弧度制

弧度就是弧長和半徑的比值，弧度數(shù)公式：弧長公式：扇形面積公式：角度弧度互化：，這個要熟練掌握。三角函數(shù)：sin、cos、tan

同角關(guān)系：sin2α+cos2α=1tanα=sinα/cosα所以三個值要做到知其中1個能求另外2個4.三角函數(shù)線在半徑為1的單位圓中，有一個角α。如圖所示，其中，CD=，OD=。而，小結(jié)論：我們由<<可以得到，在上，套入面積公式，有即特殊角的三角函數(shù)值一定一定要填寫好并背下這張表格，這是所有三角函數(shù)問題的基礎(chǔ)角度弧度Sin值Cos值Tan值0°30°45°60°90°180°其他更多角度············記憶的技巧：在里，一共就這5個特殊角。我們先記住sin值，從小到大以此是、、、、。而cos值完全一模一樣，只不過是順序剛好反過來。最后tan值就用tanα=sinα/cosα來求出。要求：首先，大家要主動地去適應(yīng)、使用弧度制，因為弧度制有太多的優(yōu)越性。比如弧度制下的三角函數(shù)可以和其他函數(shù)放入同一坐標(biāo)系中研究，又比如在物理中，正弦交流電，如果采用角度值，將會無比的復(fù)雜。還有在物理中，圓周運動的角速度，在弧度制下也會更簡潔。你之所以覺得弧度制復(fù)雜，是因為你躲在舒適圈里，在逃避弧度制。遇到所有問題，都是先把弧度化成角度，再去用角度來解決。這樣的學(xué)習(xí)是不利于你掌握弧度制的。其次，對于這些特殊角的三角函數(shù)值，你必須要熟練的掌握，要做到胸有成竹，滾瓜爛熟，不要去翻表格，問你角度馬上就能說出三個三角函數(shù)值。三角函數(shù)誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式有很多，例如sinπ+α=?sinsin?α=?sinαcossinsinπ2sinπ2?α誘導(dǎo)公式多如牛毛，不可能一個個背過去，所以總結(jié)了一句通用的口訣“奇變偶不變，符號看象限”：奇變偶不變：看左邊，式子中加減的為的奇數(shù)倍（如、）時，三角函數(shù)名改變（正弦變余弦，正切變余切）；當(dāng)加減的是的偶數(shù)倍（如、）時，三角函數(shù)名不變。符號看象限：將α視為銳角，判斷左邊所求角度所在的象限，確定左邊三角函數(shù)值的正負(fù)號。如果是正的則不變，如果是負(fù)的，則在右邊添加一個負(fù)號。三角函數(shù)各個象限正負(fù)圖上面三張圖，需要牢牢掌握。其中，tan的正負(fù)不一定需要刻意去記，實在記不住就結(jié)合sin和cos來判斷正負(fù)。（4）2是三角函數(shù)的周期，可以直接去掉。不需要使用誘導(dǎo)公式。例如然后再套用前面的誘導(dǎo)公式。可以像這樣化了再處理。因為又是負(fù)的，又是（轉(zhuǎn)動角度較大），比較容易出錯，化成+就會比較簡潔，不容易錯。7.三角函數(shù)的圖像（包括正弦余弦正切和）y=tanxy=tanx單獨周期詳細(xì)圖和函數(shù)性質(zhì)：接下來講函數(shù)，這個函數(shù)可以由正弦或者余弦函數(shù)平移、伸縮變化得到。我們要明確里面的每一個參數(shù)代表的意義。首先，A叫振幅，表示縱坐標(biāo)伸長A倍。一般都為正數(shù)，如果出現(xiàn)負(fù)數(shù)可以調(diào)整相位來使其變正。h則是整個函數(shù)的上下平移。若h為正，則整個函數(shù)向上平移了h個單位。叫角速度，表示對橫坐標(biāo)進行伸縮變換，相當(dāng)與把橫坐標(biāo)拉長（縮短）倍，＞1時為縮短，周期。最后，叫相位，表示對橫坐標(biāo)進行平移變換為正則向左平移（左加右減）。上述參數(shù)中，A和h較為簡單，現(xiàn)在著重講解一下變換到的過程。示例：，（1）他是由，先向右平移了個單位，再橫坐標(biāo)縮小為原來的得到的。（2）或者是由先橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向右平移個單位得到的。要注意第二種變化，平移變化是針對的變化，當(dāng)平移個單位時，才會平移個單位，才能得到新函數(shù)。8.兩角和差公式正弦：余弦：（注意展開之后是減加，不是加減）正切：（用正弦公式除以余弦公式可以得到）證明過程：普通方法和向量方法二倍角公式和降冪公式在兩角和公式中，把替換成，就能得到二倍角公式降冪公式其實就是對的逆用輔助角公式輔助角公式其實也相當(dāng)于是正弦公式的逆用：從右往左：，這個就叫輔助角。有些時候，這個可以求出來。例如例如。而對于不是特殊角，那么這個就求不出來。但是我們要知道，，。11.正弦定理和余弦定理（也叫解三角形，反應(yīng)三角形邊角之間關(guān)系）正弦定理（近5年考查頻率98%）

定理內(nèi)容：在任意△ABC中，（R為外接圓半徑）適用條件：

①已知兩角及一邊（AAS、ASA）

②已知兩邊及其中一邊的對角（SSA）余弦定理（近5年考查頻率95%）

定理內(nèi)容：

適用條件：

①已知三邊（SSS）求角

②已知兩邊及其夾角（SAS）（1）正弦定理余弦定理可以結(jié)合初中的全等三角形的來學(xué)習(xí)。（2）正弦定理余弦定理是高考的核心。高考大題必考一題。而且往往是第一個大題，屬于基礎(chǔ)題、送分題，不會非常的難，所以大家要好好掌握，爭取這一部分的分?jǐn)?shù)要全部拿滿。（3）在三角形中：例題講解先來點tan熱熱身例1：設(shè)tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為()A．3B．1C．1D．3思路解析：馬上想到，，不需要解出兩根，直接用韋達定理，兩根之和，兩根之積所以最后結(jié)果選A變式：已知tan=4，則tan(2+)=_________思路解析：和例題一樣，其實是可以暴力求解出來tan的值。但是這里呢，其實也是可以整體來處理的。對左邊通分，得到了。再兩邊取負(fù)數(shù)再取倒數(shù)。得到了，然后這個式子就看著有點眼熟了。兩邊乘以2，得到了。這時候再把2看成一個整體。變式：已知tanα=，則=_______，sin2α+2sinαcosα=______思路解析：齊次分式（弦化切）sin2α+2sinαcosα=求值（熟練掌握三角函數(shù)值和三角函數(shù)公式）例2：＝________．思路解析：原式=變式：=______思路解析：原式=變式：sin100sin300sin500sin700=思路解析：原式=關(guān)于和平移的問題例3：為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（A）向左平移個長度單位（B）向右平移個長度單位（C）向左平移個長度單位（D）向右平移個長度單位思路解析：以這個例題為例子，大家一定要記住。左右平移，衡量的尺度一定是針對，在這里，函數(shù)從到總的相位差了個單位。所以只要向右平移個單位，就會變動個單位。故而選B。關(guān)于三角函數(shù)稍微綜合一點的問題例4：已知（1）若，求的值；（2）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。思路解析：這題結(jié)合了高一下的向量，首先，向量垂直，馬上得到數(shù)量積為0。馬上得到或（舍去），這里要注意三角函數(shù)的值域。帶入計算，得到=轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的問題。首先，在上是單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則，增增得增。令，在上也是個增函數(shù)。這里必須要注意：別忘了討論時的情況，是個增函數(shù)，沒問題。然后再根據(jù)開口向上向下來分類討論。（當(dāng)然也可以用導(dǎo)數(shù)來做）當(dāng)時，開口向下，遞增區(qū)間在對稱軸的左邊，解得。當(dāng)時，開口向上，遞增區(qū)間在對稱軸的右邊，解得。最后，綜上所述，即可。方法二：導(dǎo)數(shù)法，的情況同樣同上討論。在上恒成立。這個恒成立好做，因為是一次函數(shù)，所以只需要，即可。最后解得。例5：已知在中,（1）求（2）判斷是銳角三角形還是直角三角形還是鈍角三角形（3）求的值思路解析：（1）所以（2）大家要知道這個結(jié)論，在三角形中，角度sin值一定為正（鈍角的sin值也正）所以由（1）的結(jié)果可以知道，A為鈍角。，反解出tanA=。總結(jié)與思考：其實，這個題目如果是填空題，第（2）問是有技巧可以解決的。第（3）問，計算量極其巨大。硬算還很容易算錯。我們先說第（2）問的技巧。首先，題目中，只有角A，沒有涉及到角B、C。也就是說我們只能對角A做出判斷。那角A如果是銳角，這個三角形其實是無法確定的，或者說我們無法直接簡單粗暴的就判定是銳角三角形。所以角A一定是鈍角或者直角。直角可以輕松排除，因為sin值為1和cos值為0，相加一定是等于1的。所以既然題目這么出了，我們就可以甚至不用看題目，也不需要通過（1）的結(jié)論直接判斷就是鈍角三角形。（大家解題的時候不要太老實）而（3）最后這個tan值這個方程不好解，因為系數(shù)太大了，尤其是用求根公式會出現(xiàn)6252=390625。而且減去4ac之后還要開根號。那么（3）的技巧是，直接猜出、看出這是一組勾股數(shù)，7、24、25，如果沒有記勾股數(shù)的話，還可以從25入手。勾股數(shù)經(jīng)常斜邊長和直角邊長相差1（例如3、4、5，還有例如5、12、13）。所以其中一條直角邊長很可能是24。然后稍微一試，就知道了、。當(dāng)然，這里也可以聯(lián)立方程組然后解出、。不要解方程，用整體代換例6：若α，β均為銳角，且cosα＝，cos(α＋β)＝，則cosβ＝__________．思路解析：第一步都不會有問題，先得到。接下來，這里很容易陷入一個誤區(qū)。展開，然后再拿去和聯(lián)立，兩個方程兩個未知數(shù)，解出來。這個方法固然可以，但是不好。運算復(fù)雜，容易出錯不說，二次的方程容易解出2組解。最后還要判斷要舍去哪個。特別提醒，本題可以視為一道母題，遇到這一類的問題不要選擇解方程，而要選擇整體代換。要把看成一個整體。是個鈍角，。要記住，能直接代值進去算的，就不要去解方程變式：已知θ為銳角，cos(θ＋15°)＝，則cos(2θ－15°)＝________．思路解析：參照例題，直接先二倍角，得到而=你們看，這里又用到了7、24、25這組勾股數(shù)。所以有時候適當(dāng)?shù)娜ビ涀∫恍┖唵蔚墓垂蓴?shù)，能給你的解題帶來幫助。最后，是關(guān)于正弦定理和余弦定理的問題，高考出現(xiàn)的較多例7：在△ABC中，已知

(1)求；

(2)求sinA的值。思路解析：(1)由余弦定理：

∴由正弦定理：

∴

多年以前，三角函數(shù)的大題還有可能考，然后問你是怎么平移的，單調(diào)區(qū)間是多少。但是近些年，高考大題幾乎只考察正弦定理、余弦定理。大家一定要好好掌握。高考真題

（2021.浙江卷）設(shè)求函數(shù)的最小正周期。求函數(shù)在上的最大值。思路解析：(1)考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式，

最小正周期為。（2）我們其實應(yīng)該很快就要想到把函數(shù)化成的形式。

所以=因為，所以，當(dāng)即時可以取到最大值。總結(jié)與思考：其實這題的難點，在于化到這一步之后，有些同學(xué)會覺得可能不好處理，不敢把這一項展開。那么如果是做到這里化不下去了，你們也可以嘗試求導(dǎo)，來求單調(diào)性和最值。（記?。悍o禁止即可為）（2022.浙江卷）已知，（1）求的值。（2）若，求的面積。思路解析：(1)首先，能輕松得到（這里其實是345勾股數(shù)）再根據(jù)正弦定理，，馬上解得（2）高中學(xué)完三角函數(shù)之后，要學(xué)會這個面積公式。但是無論如何，我們還是需要再求出起碼另外一條邊的長度。這里有兩套方案，一套是正弦定理，一套是用余弦定理。正弦定理的關(guān)鍵是，我們要知道。這里也就體現(xiàn)出正弦定理的缺陷，就是在三角形中，sin值都是正的，一個sin值對應(yīng)的解有兩個角度，所以光求出sin值，是無法判斷銳角鈍角的。比如，那么A可能是30°也有可能是150°。而余弦定理就不會存在這種問題，因為銳角的余弦是正的，鈍角的余弦是負(fù)的，不會出現(xiàn)兩個解的情況?；氐筋}目，我們先講正弦定理。這里有個技巧，由知道，比小，而大角對大邊，小角對小邊。所以A是比C還小的銳角。所以，為正。這樣我們就很好的避開了正弦定理的缺陷?？梢匀デ罅恕Ｓ谑呛?，用正弦定理，得到。所以接下來講余弦定理的方案。余弦定理稍稍復(fù)雜一點，我們可以設(shè)，，直接上余弦定理，整理一下得到直接就上求根公式好了解得，（舍去）于是，的值都可以求了。（2023.新課標(biāo)I卷）已知在中，，（1）求（2）設(shè)AB=5，求AB邊上的高。思路解析：(1)由于，所以一共有，。于是就可以變成。展開就可以解得。（2）后面就比較簡單了，C是特殊角，B也能很快求出來根據(jù)正弦定理由面積法可以解得。這里可以用面積法也可以直接畫圖，用三角函數(shù)的定義來求高。（2023新課標(biāo)I卷）已知，則=B、C、D、思路解析：基礎(chǔ)題，直接展開。馬上能得到。然后再用一次二倍角公式：（2024.新課標(biāo)I卷）在中，，（1）求B（2）若的面積為，求。思路解析：（1）條件給的很直接，等式兩邊同除以得到所以C=45°，，馬上得到B=60°（舍去）（2）知道了B、C，馬上能得出A=75°因為都是特殊角，所以這個是可以直接畫出三角形的圖形。畫圖之后，用割補法可以做，是一個30、60、90的直角三角形和等腰直角三角形拼成的。所以推薦用正弦定理來做。不過關(guān)鍵還是要先算出sin75°=sin(30°+45°)。由于，可以得到。根據(jù)正弦定理有：，代入上式得。最后解得或者用，可以得到正弦定理代入可以解出（2024.新課標(biāo)I卷）已知，，則A、B、C、D、思路解析：基礎(chǔ)題，直接展開就行，兩邊同除以coscos得到得到，。（2024.新課標(biāo)I卷）當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為A、3B、4C、6D、8思路解析：這個主要就考察我們對圖像的熟悉程度。一共6個交點。選C（2017.上海高考），R，且+=2，則|10π|的最小值為________思路解析：這里看著很唬人，實際上想到了就很簡單。由于，我們就知道，所以。所以+恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。此時都等于。所以|10π|=。所以最小值為。這題考察了三角函數(shù)的值域。（2015·浙江高考）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=，=.（1）求tanC的值；（2）若ABC的面積為3，求b的值。思路解析：這題稍微有點老，不知不覺就是10年前的題目了。但是出的非常經(jīng)典，我認(rèn)為是高考三角函數(shù)大題的天花板。如果這一題都能解決，那么正弦定理余弦定理這一板塊基本上可以說是通關(guān)了。這題也是比較殺人誅心的，作為高考第一個大題的第一個小問，居然有如此難度。首先，給我們的東西，長得就很像余弦定理。而目前也就只知道∠A，所以只能對∠A使用余弦定理：，稍微整理一下就有這樣，就可以對∠C使用余弦定理了這是常規(guī)能想到的思路，不過計算比較復(fù)雜。方法二也可以通過正弦定理來解決。就是把=化成其實每一步都挺不好想到的，這里逆用二倍角公式所以可以得到tanC=2。相比之下，第（2）小問就比較簡單了。解得，這里如果第（1）小問選擇方法二的話，第二小問又會比較麻煩。

鞏固習(xí)題1.在△ABC中，已知其面積S=，則∠C=_____2.在△ABC中，∠B=30°，AB=2，AC=2，則△ABC的面積為______3.在△ABC中，有cos2=，則△ABC的形狀為___