第06講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（春季講義）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第06講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【人教A版2019】模塊一模塊一分類與分步1．分類加法計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的概念完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種種不同的方法，，在第n類方案中有mn種種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分類加法計(jì)數(shù)原理又稱分類計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類有m1種方法，第二類有m2種方法，，第n類有mn種方法，來(lái)表示分類加法計(jì)數(shù)原理，即強(qiáng)調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)

分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來(lái)表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情，從而共有種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說(shuō)，弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.

(2)區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①針對(duì)的是“分類”問(wèn)題針對(duì)的是“分步”問(wèn)題②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇分類→將問(wèn)題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計(jì)數(shù)原理；分步→將問(wèn)題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計(jì)數(shù)原理.在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【題型1分類加法計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用】【例1.1】（2324高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）書(shū)架上有10本不同的自然科學(xué)圖書(shū)和9本不同的社會(huì)科學(xué)圖書(shū)，甲同學(xué)想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．9種 B．10種 C．19種 D．90種【例1.2】（2324高二下·江蘇宿遷·期中）某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．24種 B．10種 C．9種 D．15種【變式1.1】（2324高二下·陜西西安·期末）書(shū)架的第1層放有3本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法種數(shù)為（

）A．3 B．8 C．12 D．18【變式1.2】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù)．算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的兩位數(shù)有（

）1

2

3

4

5

6

7

8

9表示如下縱式：橫式：A．81個(gè) B．64個(gè) C．18個(gè) D．17個(gè)【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用】【例2.1】（2324高二下·河北·階段練習(xí)）從7本不同的書(shū)中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（

）A．37 B．73 C．21【例2.2】（2324高二下·陜西西安·期中）5名同學(xué)分別從4個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（

）A．9 B．20 C．54 D．【變式2.1】（2425高三上·江蘇徐州·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長(zhǎng)沙四個(gè)城市中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過(guò)北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（

）A．18種 B．48種 C．108種 D．192種【變式2.2】（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）學(xué)校為豐富高中生的課外生活，開(kāi)設(shè)了興趣小組，有3名學(xué)生想要報(bào)名書(shū)法、繪畫(huà)、籃球、羽毛球興趣小組，每人限報(bào)1項(xiàng)、則不同的報(bào)名方式種數(shù)有（

）A．34 B．36 C．24 D．模塊二模塊二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用1．兩類計(jì)數(shù)問(wèn)題的求解思路：(1)“類中有步”計(jì)數(shù)問(wèn)題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.(2)“步中有類”計(jì)數(shù)問(wèn)題：完成一件事的過(guò)程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.2．特元特位問(wèn)題(特殊優(yōu)先原則)(1)排列時(shí)，某個(gè)(或某些)元素一定在(或一定不在)某個(gè)(或某些)位置.(2)基本原則：特殊元素(特殊位置)優(yōu)先.(3)解題思路①以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮附加條件，正難則反.3．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用主要包括五個(gè)方面：(1)實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)問(wèn)題；(2)代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題；(3)幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題；(4)數(shù)字排列問(wèn)題；(5)涂色問(wèn)題.【題型3特元特位問(wèn)題】【例3.1】（2324高二下·浙江·期中）定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如116，431，則所有幸運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．35 D．36【例3.2】（2425高三上·重慶·階段練習(xí)）如圖，無(wú)人機(jī)光影秀中，有8架無(wú)人機(jī)排列成如圖所示，每架無(wú)人機(jī)均可以發(fā)出4種不同顏色的光，1至5號(hào)的無(wú)人機(jī)顏色必須相同，6、7號(hào)無(wú)人機(jī)顏色必須相同，8號(hào)無(wú)人機(jī)與其他無(wú)人機(jī)顏色均不相同，則這8架無(wú)人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有（

）種燈光組合.A．48 B．12 C．18 D．36【變式3.1】（2324高二下·新疆克拉瑪依·期中）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）個(gè)A．44 B．45 C．54 D．55【變式3.2】（2324高二下·山東青島·期中）在如圖所示的九宮格中填入數(shù)字和字母，已知三個(gè)字母：a,b,c都填到九宮格中且不能在同一行同一列，其他每格只能從數(shù)字1,2,3中選擇一個(gè)填入，有公共邊的兩個(gè)格數(shù)字不相同，則不同的填法種數(shù)為（

）A．5230 B．3619 C．4758 D．5184【題型4代數(shù)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例4.1】（2324高二下·廣東廣州·期末）2025有（

）個(gè)不同的正因數(shù).A．8 B．10 C．12 D．15【例4.2】（2024·陜西西安·三模）方程xy=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．12【變式4.1】（2425高二·全國(guó)·單元測(cè)試）如果正整數(shù)a的各位數(shù)字之和等于6，那么稱a為“好數(shù)”(如：6，24，2013等均為“好數(shù)”)，將所有“好數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，則n＝（

）A．50 B．51 C．52 D．53【變式4.2】（2324高二下·重慶·期末）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀.比如，一副描繪廈門(mén)鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天，由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)n′與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142.則所有6位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

A．900個(gè) B．891個(gè) C．810個(gè) D．648個(gè)【題型5幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例5.1】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個(gè)構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）A．105種 B．225種 C．315種 D．420種【例5.2】（2425高二上·湖北黃石·期末）過(guò)三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對(duì)數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．54【變式5.1】（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知直線ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{?2,?1,0,1,2}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．【變式5.2】（2006·上海·高考真題）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”，在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是.【題型6數(shù)字排列問(wèn)題】【例6.1】（2324高二下·河南洛陽(yáng)·期中）用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有（

）A．48個(gè) B．24個(gè) C．18個(gè) D．12個(gè)【例6.2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比4000大的偶數(shù)共有（）A．48個(gè) B．56個(gè)C．60個(gè) D．72個(gè)【變式6.1】（2425高三·上?！ふn堂例題）用0、1、2、3、…、9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的：(1)三位數(shù)；(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；(3)小于500且無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)．【變式6.2】（2324高二下·四川眉山·期中）已知0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字．(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的小于1000的自然數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)？【題型7涂色問(wèn)題】【例7.1】（2324高二下·安徽池州·期中）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）

A．120 B．26C．340 D．420【例7.2】（2324高二下·湖北黃岡·期中）某市的5個(gè)區(qū)縣A，B，C，D，E地理位置如圖所示，給這五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【變式7.1】（2324高二下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，已知四棱錐S?ABCD.(1)從5種顏色中選出3種顏色，涂在四棱錐S?ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)涂1種顏色，并使同一條棱上的2個(gè)頂點(diǎn)異色，求不同的涂色方法數(shù)；(2)從5種顏色中選出4種顏色，涂在四棱錐S?ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)涂1種顏色，并使同一條棱上的2個(gè)頂點(diǎn)異色，求不同的涂色方法數(shù).【變式7.2】（2425高二·湖北荊州·課后作業(yè)）用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色，如圖，要求在①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色.（1）若n＝6，為甲著色時(shí)共有多少種不同的方法？（2）若為乙著色時(shí)共有120種不同的方法，求n的值.【題型8兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例8.1】（2324高二下·陜西西安·階段練習(xí)）個(gè)袋子里裝有10張不同的中國(guó)移動(dòng)卡，另一個(gè)袋子里裝有12張不同的中國(guó)聯(lián)通卡.(1)某人要從兩個(gè)袋子中任取一張供自己使用的卡，共有多少種不同的取法?(2)某人是雙卡雙待機(jī)，想得到一張移動(dòng)卡和一張聯(lián)通卡供自己今后使用，問(wèn)一共有多少種不同的取法?【例8.2】（2324高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)．(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？【變式8.1】（2324高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）高二（1）班、（48）班、（62）班分別有7，5，9人參加創(chuàng)新技能大賽筆試．(1)如果選一人當(dāng)組長(zhǎng)，那么有多少種不同的選法？(2)如果老師任組長(zhǎng)，每班選一名副組長(zhǎng)，那么有多少種不同的選法？(3)如果推選兩名學(xué)生參賽，要求這兩人來(lái)自不同的班級(jí)，那么有多少種不同的選法？【變式8.2】（2324高二下·吉林延邊·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，其中一、二、三、四組分別有3人、4人、5人、6人.(1)選1人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每組選1名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？(3)推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，有多少種不同的選法？一、單選題1．（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)參觀某博物館，該博物館共有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)門(mén)，若規(guī)定編號(hào)為1，2，3，4的四位同學(xué)進(jìn)入博物館不能走與自己編號(hào)相同的門(mén)，則四位同學(xué)用不同的方式進(jìn)入博物館的方法種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．81 D．2562．（2425高二上·江西·階段練習(xí)）某大學(xué)開(kāi)設(shè)籃球、足球等5門(mén)球類選修課，要求每個(gè)學(xué)生都必須選擇其中的一門(mén)課程.現(xiàn)有小明、小強(qiáng)、小豆3位同學(xué)進(jìn)行選課，其中小明不選籃球和足球，則不同的選課方法共有（

）A．36種 B．60種C．75種 D．85種3．（2324高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．76 B．38 C．36 D．304．（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某農(nóng)學(xué)院計(jì)劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示五塊實(shí)驗(yàn)田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實(shí)驗(yàn)田中，其他三塊實(shí)驗(yàn)田選種水稻品種，則不同種法有（

）12345A．30240種 B．60480種 C．120960 D．241920種5．（2324高二下·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖，現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域不同色，有多少種不同涂色方法（

）13425A．120 B．72 C．288 D．1446．（2324高二下·河南商丘·期中）數(shù)學(xué)中“凸數(shù)”是一個(gè)位數(shù)不低于3的奇位數(shù)，是最中間的數(shù)位上的數(shù)字比兩邊的數(shù)字都大的數(shù)，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．147 B．112 C．65 D．507．（2324高二下·河北張家口·期末）求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時(shí)可將其改寫(xiě)成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，例如12=31×22，12的正整數(shù)因數(shù)只需分別從3A．8 B．10 C．15 D．168．（2324高二下·海南儋州·期中）為了紀(jì)念我國(guó)成功舉辦北京冬奧會(huì)，中國(guó)郵政發(fā)行《北京舉辦2022年冬奧會(huì)成功紀(jì)念》郵票，圖案分別為冬奧會(huì)會(huì)徽“冬夢(mèng)”、冬殘奧會(huì)會(huì)徽“飛躍”、冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”，現(xiàn)將一套5枚郵票任取3枚，要求取出的郵票既含會(huì)徽郵票又含吉祥物郵票，則不同的取法種數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．18二、多選題9．（2425高三·上?！るS堂練習(xí)）有4名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）．A．每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34B．每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有3310．（2324高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）用n種不同的顏色給如圖所示的四塊區(qū)域A，B，C，D涂色，要求相鄰域涂不同顏色，不同的涂色方法的總數(shù)記作sn，則（

A．s3=6 B．s4=36 C．11．（2324高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)9站的地鐵票價(jià)如下表：現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時(shí)從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論正確的是（

）站數(shù)x0<x≤33<x≤66<x≤9票價(jià)/元234A．若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種B．若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種C．若小明、小華兩人共花費(fèi)