2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：有理數(shù)的運(yùn)算（含答案）

2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)【挑戰(zhàn)壓軸題】培優(yōu)專題真題培優(yōu)卷

專題03有理數(shù)的運(yùn)算

檢測(cè)時(shí)間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.43（較難）

選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如所示，則"fl一生一~^=（）

ba0c

A.-1B.1C.2D.3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)軸可以得到6<a<0<c,然后將所求式子變形，即可化簡(jiǎn)題目中的式子.

【規(guī)范解答】解：由數(shù)軸可得，

b<a<0<c,

./Ib|c

’而一至一百

a*12*5-bc

a2bc

=1+1-1

=1,

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則，利

用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

2.（2分）下列各式中正確的是（）

A.-7+3=4B.7-（-7）=0

117

C--3.5x（-2）=7D.（_-）H-

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題.

【規(guī)范解答】解：/、?.?-7+3=-4,故選項(xiàng)N錯(cuò)誤；

3、?.?7-（-7）=14,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C、?.?-3.5x（-2）=7,故選項(xiàng)C正確；

110

D.故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

525

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法.

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3.(2分)實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b>0,be<0,—>1,—>1,—<—,則下列結(jié)論正確的是()

acad

A.d<c<a<bB.b<a<c<dC.c<b<d<aD.a<c<d<b

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的條件進(jìn)行分析即可.

【規(guī)范解答】解：??,加<0,

.?力與。異號(hào)，且都不為0,

cd

—>1,—>1,

ac

與c同號(hào)，且a不為0,?>|a|；c與d同號(hào)，且c不為0,

與d同號(hào)，Q與力異號(hào)，

11

??一〈一,

ad

:.d不為0,

：.a,b,c,d均不為0,

'：a+b>0，

.,.當(dāng)Q<0,b〉0時(shí)，c<a,d<c,&fld<c<a<b；

當(dāng)a>0,6<0時(shí)，c>a,d>c,則不符合題意.

ad

故選：A.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是明確清楚各數(shù)的關(guān)系.

4.(2分)對(duì)于整數(shù)a,b,定義一種新的運(yùn)算當(dāng)6為偶數(shù)時(shí)，規(guī)定。Ob=2|a+b|+|q-切；

當(dāng)Q+6為奇數(shù)時(shí)，規(guī)定4。6=2|〃+加一|〃一6|.已知(qOa)Oa=180-5〃，其中a是負(fù)數(shù)，貝！Ja=()

A.-45B.-15C.-30D.-10

【思路點(diǎn)撥】先判斷(Q+Q)的奇偶性，列式計(jì)算結(jié)果為4|Q|是偶數(shù)，求伍。〃)。。轉(zhuǎn)化為求4|Q|。。，將。

的取值分情況討論，再結(jié)合(aOQ)O〃=180-5。，確定。的取值.

【規(guī)范解答】解：?.F+a=2q一定為偶數(shù)，

:.a(3a=2\a+a\+\a-a\=4\a\是偶數(shù)，

①當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，

(aQa)Oa

=4⑷(3a

—21416/1+6/1—141al—u|，

??,a是負(fù)數(shù),

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：.a為負(fù)奇數(shù)，

/.2|—4Q+ci|—|-4Q—Q|=-6Q+5Q——a，

—a-180—5。，

解得a=45〉0,舍去；

②當(dāng)。為偶數(shù)時(shí)，

{aQa)Qa

二4⑷Qa

=2\4\a\+a\+\4\a\-a\，

??F是負(fù)數(shù)，

為負(fù)偶數(shù),

2,|—4。+6?|+|—4Q—a|

=2x(—3a)+(—5Q)

=—11。，

，一11。=180-5。，

解得〃=-30<0,符合題意.

：.a的值為-30.

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

5.(2分)2024年央視春晚，劉謙的魔術(shù)表演再次風(fēng)靡全國(guó)，小明也學(xué)起劉謙表演了一個(gè)“魔術(shù)”，他先

在投影上展示了從1開(kāi)始連續(xù)的2024個(gè)自然數(shù)，然后對(duì)它們進(jìn)行操作，規(guī)則如下：每次擦掉三個(gè)數(shù)，再添

上所擦掉三數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字，若經(jīng)過(guò)多次操作后，最后剩下兩個(gè)數(shù)，當(dāng)一位同學(xué)說(shuō)出其中一個(gè)數(shù)是17時(shí),

小明馬上說(shuō)出另一個(gè)數(shù)是()

A.1B.3C.11D.13

【思路點(diǎn)撥】由個(gè)位數(shù)字總是被保留的，因此從1加到2024的總和的個(gè)位數(shù)字和每三個(gè)相加保留的個(gè)位數(shù)

字是相等的，根據(jù)題中的操作確定出另一個(gè)數(shù)即可.

2024x20241

【規(guī)范解答】解：1+2+3+...+2024=<+)=2049300,

2

...這些數(shù)字的個(gè)位最后保留為0,

現(xiàn)在其中一個(gè)數(shù)是17,另一個(gè)數(shù)為個(gè)位數(shù)，

?.?它一定是三數(shù)之和的個(gè)位數(shù)，且與17的和個(gè)位數(shù)為0,

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，這個(gè)數(shù)只能為3.

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的規(guī)則是解本題的關(guān)鍵.

ababx+1X

6.（2分）形如的式子叫做二階行列式，其運(yùn)算法則是=ad-be,依止匕法貝I計(jì)算的

ddXX-1

結(jié)果為（）

A.-1B.0C.1D.2

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意列出算式，然后再化簡(jiǎn)即可.

x+1X

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得:=(x+l)(x-l)-X2=X2-l-x2

Xx-1

故選：A.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和公式是解本題的關(guān)鍵.

7.（2分）在計(jì)算一22+5+（-2）x（1-9x（2-31-67時(shí)，有四位同學(xué)給出了以下四種計(jì)算步驟，其中正確的

是（）

112

A.原式=l+(—2)x——9x(2------)

239

1?

B.=-4+5^(-1-9)x(2----)

C.原式=-4+5+(-2)x；-18+3+2

D.原式=4+5+(—2)xg-18+3+2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序”先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的，乘法運(yùn)

算律在有理數(shù)范圍依舊適用”即可解答.

1121

【規(guī)范解答】解：-22+5-(-2)x--9x(2----)=-4+5-(-2)x--18+3+2,

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.

。/c八、、九20042-2003X(20042+2005),20053-2004x(20052+2006)*A口

8.(2分)設(shè)0=-----------一-----------，b=-----------—-----------貝6的大小關(guān)系是

2003x(20022-2001)-200232004x(20032-2002)-20033

)

A.a>bB.a=bC.a<bD.無(wú)法確定

【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)a、b,再根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法進(jìn)行比較即可求解.

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2004*2-2003x(20042+2005)

【規(guī)范解答】解:

2003x(20022-2001)-20023

20042(1-2003)-2003x2005

―2003x20022-2003x2001-2002'

2004,一2004?x2003-(2004-1)x(2004+1)

2003x20022-2003x2001-20023

2004之一zoo,*2003二20042±1

20022x(2003-2002)-(2002+l)x(2002-1)

-20042x2003+1

20022-20022+1

=-20042x2003+1<0,

,20053-2004x(20052+2006)

2004x(20032-2002)-20033

20053-2004x20052-2004x2006

―2004x20032-2004x2002-ZOttf

_20052x(2005-2004)-(2005-1)x(2005+1)

"(2004-2003)x20032-(2003+1)x(2003-1)

20052-20052+1

-20032-20032+l

=1>0,

a<b.

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)大小比較，關(guān)鍵是化簡(jiǎn)求出。、b的值.

9.（2分）定義一種關(guān)于整數(shù)〃的“產(chǎn)”運(yùn)算：

（1）當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3〃+5；

（2）當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是;（其中左是使;是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.

2k2k

例如：取〃=58,第一次經(jīng)廠運(yùn)算是29,第二次經(jīng)尸運(yùn)算是92,第三次經(jīng)尸運(yùn)算是23,第四次經(jīng)產(chǎn)運(yùn)算

是74…；若〃=9,則第2017次運(yùn)算結(jié)果是（）

A.1B.2C.7D.8

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)于整數(shù)〃的“尸”運(yùn)算：探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題；

【規(guī)范解答】解：由題意〃=9時(shí)，第一次經(jīng)廠運(yùn)算是32,第二次經(jīng)尸運(yùn)算是1,第三次經(jīng)廠運(yùn)算是8,第

四次經(jīng)尸運(yùn)算是1...

以后出現(xiàn)1、8循環(huán)，奇數(shù)次是8,偶數(shù)次是1,

.?.第2017次運(yùn)算結(jié)果8,

故選：D.

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【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)于整數(shù)〃的“尸”運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，循環(huán)從特

殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考選擇題中的壓軸題.

111111

10.(2分)設(shè)/=48x(.2+2++2■）,利用等式■)(nfB),則與4最

3-44-4,"100-4"—4〃+2

接近的正整數(shù)是（）

A.18B.20C.24D.25

1工一1〃1

【思路點(diǎn)撥】利用等式2+2）5曲），代入原式得出數(shù)據(jù)的規(guī)律性，從而求出.

?2-4

111

【規(guī)范解答】解：利用等式-）（〃開(kāi)3），代入原式得:

n2-4〃+2

111

^=48x(-32-4+42-4+,"+1002-4)

1111111

=48x-(z----------------1--------------------F...+)

43-23+24-24+2100-2100+2

11、

=12x(]-----1---------1---------F...H------------)

5263798102

IIII、/II

=l2x[rz(iI+-+-+—++——)+——)]

2349856102

1II111

=12xz(1H----1---1—

234荻Too-101102

1111_1_1

而12x(1+—+—+——」、*25

23499-100~101102

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了數(shù)的規(guī)律，關(guān)鍵是運(yùn)用已知發(fā)現(xiàn)規(guī)律，題目規(guī)律性比較強(qiáng).

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）一個(gè)酒瓶里面深30厘米，底面直徑是10厘米，瓶里酒深15厘米.將酒瓶塞緊后使其倒立,

此時(shí)酒深25厘米，酒瓶的容積為15酒厘米3（萬(wàn)取3）.

A1

>30cm

15cm*25cm

10cmVJ

【思路點(diǎn)撥】分析］由于瓶中酒的體積不變，正放時(shí)酒深15厘米，倒放時(shí)酒深25厘米，倒放時(shí)空著部分的

高是30-25=5厘米，底面直徑是10厘米的空氣柱的體積，因此酒瓶的容積就相當(dāng)于高為15+5=20厘米,

底面直徑是10厘米的圓柱的體積，根據(jù)圓柱的容積一底面積X高，列式為：3x（10+2）2x20,據(jù)此解答.

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【規(guī)范解答】解：3X(10+2)2X[15+(30-25)]

=3.x25x[15+5]

=75x20

=1500（立方厘米）

答：酒瓶的容積是1500立方厘米.

故答案為：1500.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查圓柱的容積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式.

12.(2分)計(jì)算：(-X1--0.25X—+-+10)x15=163-.

813264—81

【思路點(diǎn)撥】先算括號(hào)內(nèi)的乘法，再算加減法，然后根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可.

1553

【規(guī)范解答】解：(-X1—-0.25X—+-+10)x15

813264

1X^-1XA+2+10)X15

8134264

953

=(-----------+-+10)x15

521044

也-二+e+10)x15

104104104

91

=(——+10)x15

104

7

=-xl5+10xl5

8

二4。

=13-+150

8

=163-,

8

故答案為：163」.

8

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

13.（2分）若x,y是有理數(shù)，我們定義新的運(yùn)算*，使得》*了=中-/，例如：1*2=1X2-22=-2,則

-2*[3*(-1)]=_-8

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義新的運(yùn)算列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：,.,％*》=町一＞2,

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.-.-2*[3*(-1)]=-2*[3x(-1)-(-1)2]

=-2*(-4)

=-2x(-4)-(-4)2

二—8,

故答案為：-8.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握新定義以及相關(guān)運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.

14.(2分)如圖，在甲，乙兩個(gè)十字路口各方向均設(shè)有人行橫道和交通信號(hào)燈，小宇在甲路口西南角的/

處，需要步行到位于乙路口東北角5處附近的餐館用餐，已知兩路口人行橫道交通信號(hào)燈的切換時(shí)間及小

宇的步行時(shí)間如表所示：

人行橫道交通信號(hào)燈的切換時(shí)間小宇的步行時(shí)間

北

0111\B甲路口每\rnin沿人行橫道穿過(guò)任0.5mm

ll

l7l

=m=ll

ll

1甲1ll

ll一條馬路

ti

A1憶D'1

乙路口每2min在甲、乙兩路口之間5min

(CD段)

假定人行橫道的交通信號(hào)燈只有紅、綠兩種，且在任意時(shí)刻，同一十字路口東西向和南北向的交通信號(hào)燈

顏色不同，行人步行轉(zhuǎn)彎的時(shí)間可以忽略不計(jì)，若小宇在N處時(shí)，甲、乙兩路口人行橫道東西向的交通信

號(hào)燈均恰好轉(zhuǎn)為紅燈，小宇從/處到達(dá)3處所用的最短時(shí)間為7min.

【思路點(diǎn)撥】(1)甲路口出發(fā)向北走0.5加〃,(2)等紅燈0.5加〃，(3)向東走0.5加“，(4)走過(guò)C06加"，

(5)乙路口向東走0.5加比,進(jìn)而可得結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：由已知得:0.5+0.5+0.5+5+0.5=7(刈汕，

故答案為：7.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算.解決本題的關(guān)鍵是理解題意.

15.(2分)閱讀理解)我們把由4個(gè)數(shù)a,b,c,4組成的形如“b的式子稱為二階行列式.規(guī)定它

ca

的運(yùn)算法則為"b=ad-bc,若x-2，尤+1=13,貝Ux=_-1.5

cdx+3,x-2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)"b=ad-bcx—2,x+1

=13,可以歹U出方程(x—2)(x—2)—(x+l)(x+3)=13,然

cdx+3,x—2

第8頁(yè)共21頁(yè)

后求解即可.

【規(guī)范解答】解："b=ad-bc,x—2，x+1=13,

cdx+3,x-2

（x-2）（x-2）-（x+l）（x+3）=13,

化簡(jiǎn)，得：-8x=12,

解得x=-1.5,

故答案為：-1.5.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查新定義，解方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程.

16.（2分）如圖，定義一種對(duì)正整數(shù)〃的“月運(yùn)算”：①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3〃+5；②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

結(jié)果為g（其中人是使學(xué)為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取〃=26,第三次“廠運(yùn)算”的

結(jié)果是11.若“=449,則第449次“尸運(yùn)算”的結(jié)果是8.

回.一型一w尸②，口一巡一日-

I--1第一次I--1第二I--1第三次I--1

【思路點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的數(shù)的有關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，只有轉(zhuǎn)化成功,

才能有的放矢.

【規(guī)范解答】解：本題提供的“尸運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)〃分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于〃=449

為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行尸①運(yùn)算，

即3x449+5=1352（偶數(shù)）,

需再進(jìn)行F②運(yùn)算，

即1352+2,=169（奇數(shù)），

再進(jìn)行尸①運(yùn)算，得到3x169+5=512（偶數(shù)），

再進(jìn)行尸②運(yùn)算，即512+29=1（奇數(shù)），

再進(jìn)行尸①運(yùn)算，得到3x1+5=8（偶數(shù)），

再進(jìn)行B②運(yùn)算，即8:23=1,

再進(jìn)行尸①運(yùn)算，得到3xl+5=8（偶數(shù)），...，

即第1次運(yùn)算結(jié)果為1352,…，

第4次運(yùn)算結(jié)果為1,第5次運(yùn)算結(jié)果為8,…，

可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為1,第7次運(yùn)算結(jié)果為8,

從第4次運(yùn)算結(jié)果開(kāi)始循環(huán)，且奇數(shù)次運(yùn)算的結(jié)果為8,偶數(shù)次為1,而第499次是奇數(shù)，

第9頁(yè)共21頁(yè)

這樣循環(huán)計(jì)算一直到第449次“尸運(yùn)算”，得到的結(jié)果為8.

故答案為：8.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法.

17.(2分)我們規(guī)定：若有理數(shù)a,b滿足.+6=仍，則稱a,6互為“等和積數(shù)”，其中〃叫做6的“等

和積數(shù)”，6也叫“的“等和積數(shù)”.例如：i+(-l)=-l,=所以L+(_l)=Lx(_l),則

222222

與-1互為“等和積數(shù)”.

2

若加的“等和積數(shù)”是3,"的“等和積數(shù)”是M貝心”+2〃的值為_(kāi)-11_.

45

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“等和積數(shù)”的定義，計(jì)算加和〃的值，代入求值即可.

【規(guī)范解答】解：的“等和積數(shù)”是3,〃的“等和積數(shù)”是

45

3344

mH--=—m,nH——=—n,

4455

m=—3,〃=-4,

m+=-3+2x(-4)=-11.

故答案為：-11.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、“等和積數(shù)”的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

18.(2分)求1+3+32+3'+…+32°19的值，可令5=1+3+32+33+…+32°"①，①式兩邊都乘以3,則

3s=3+32+33+3,+…+32°2。②，(2)-@35-S=32020-1.則8=^——,仿照以上推理，計(jì)算出

2

^2020_1

1+5+52+53+54+---+52019的值為—

—4—

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題干中的方法令5=1+5+52+53+5"+…+5加9,則5s=5+52+53+5,+…+5加9+5皿。，

作差即可求解.

【規(guī)范解答】解：4-5=1+5+52+53+54+---+52019,

Wl5S=5+52+53+54+---+52019+52020,

5S-S=52020-l，

。52020-1

S—,

4

4-2020_1

故答案為：

4

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的錯(cuò)位相減法簡(jiǎn)便運(yùn)算，理解題干中的方法是解題的關(guān)鍵.

第10頁(yè)共21頁(yè)

19.(2分)規(guī)定“g”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

(1)g(1)=2,g(2)=-3,g(3)=4,g(4)=-5,...

(2)g(；)=Lg(1)=2，g(；)=3，g(1)=4,...

利用以上規(guī)律計(jì)算：?-g(2023)=_-2_；

②根據(jù)(1)的規(guī)律求g(")=—("為正整數(shù)).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知運(yùn)算結(jié)果，得出相應(yīng)的規(guī)律：g(〃)=(-l)"M(〃+l)、g(l)=?+-l,據(jù)此計(jì)算即可得

n

到答案.

【規(guī)范解答】解：由(1)可知，當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，g(〃)符號(hào)為正，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，g(〃)符號(hào)為負(fù)，且數(shù)值為

n+1,

即g(〃)=(-i嚴(yán)3+1)；

由(2)可知，g(3數(shù)值為工的倒數(shù)減1，

nn

即g(—)=n-l,

n

①g(^^)-g(2023)=(2023-1)-(-l)2023+1x(2023+1)=2022-2024=-2,

故答案為：-2；

②根據(jù)⑴的規(guī)律求g(〃)=(T)x(〃+1)("為正整數(shù))，

故答案為：(-1)用("+1).

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，掌握運(yùn)算規(guī)律是關(guān)鍵.

20.(2分)我們知道，每個(gè)自然數(shù)都有因數(shù)，對(duì)于一個(gè)自然數(shù)°,我們把小于。的正的因數(shù)叫做。的真因

數(shù).如10的正因數(shù)有1、2、5、10,其中1、2、5是10的真因數(shù).把一個(gè)自然數(shù)。的所有真因數(shù)的和除

以a,所得的商叫做a的“完美指標(biāo)”.如10的“完美指標(biāo)”是(l+2+5)+10=g.一個(gè)自然數(shù)的“完

美指標(biāo)”越接近1,我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)越“完美”.如8的“完美指標(biāo)”是(1+2+4)+8=(,10的“完美

指標(biāo)”是因?yàn)楣け?更接近1,所以我們說(shuō)8比10更完美.那么比10大，比20小的自然數(shù)中，最

585

“完美”的數(shù)是16.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“完美指標(biāo)”的意義知道，自然數(shù)的真因數(shù)越多，此數(shù)越完美；因?yàn)樵?1-19的數(shù)中，

11、13、17、19是質(zhì)數(shù)，真因數(shù)只有1,所以先排除這4個(gè)數(shù)，再分別找出12、14、15、16、18的正因

第11頁(yè)共21頁(yè)

數(shù)，再分別找出它們的真因數(shù)，最后再由“完美指標(biāo)”的意義，分別求出“完美指標(biāo)”.

【規(guī)范解答】解：12的正因數(shù)有：1、2、3、4、6、12,其中1、2、3、4、6是真因數(shù)，

_4

完美指標(biāo)：(1+2+3+4+6)+12=§"33,

14的正因數(shù)有：1、2、7、14,其中1、2、7是真因數(shù)，

完美指標(biāo)：(1+2+7)-14=1?0.71,

15的正因數(shù)有：1、3、5、15,其中1、3、5是真因數(shù)，

完美指標(biāo)：(1+3+5)-15=1=0.6,

16的正因數(shù)有：1、2、4、8、16,其中1、2、4、8是真因數(shù)，

完美指標(biāo)：(1+2+4+8)-16=—?0.94.

16

18的正因數(shù)有：1、2、3、6,9、18,其中1、2、3、6、9是真因數(shù)，

—7

完美指標(biāo)：(1+2+3+6+9)-18=-?1.17,

由以上所求的完美指標(biāo)知道，16的完美指標(biāo)最接近1,

所以，比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)是16.

答：比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)是16.

故答案為：16.

【考點(diǎn)評(píng)析】考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出的新的運(yùn)算方法，即完美指標(biāo)的

意義及計(jì)算方法，找出對(duì)應(yīng)的數(shù)，列式解決問(wèn)題.

三.解答題(共8小題，滿分60分)

21.(6分)計(jì)算：

(1)-3+(-4)-(-2)；

(2)-I2+(l-1x0.2)-(-2)3.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解:⑴-3+(-4)-(-2)

=-3-4+2

=-7+2

=-5；

第12頁(yè)共21頁(yè)

(2)-I2+(l-1x0.2)-(-2)3

=T+Q_f+(_8)

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，進(jìn)行正確

計(jì)算.

22.(6分)計(jì)算：(-12卜(：-口1-33.圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被污染了.

(1)如果被污染的數(shù)字是:，請(qǐng)計(jì)算(-12?(|-；)-33；

(2)如果計(jì)算結(jié)果等于-15,求被污染的數(shù)字.

【思路點(diǎn)撥】(1)按照有理數(shù)混合運(yùn)算法則運(yùn)算即可；

(2)設(shè)被污染的數(shù)字為x,列出方程解答即可.

【規(guī)范解答】解：(1)(-12)x(1-1)-33

=(-12)x1-27

=-2-27

=-29；

(2)設(shè)被污染的數(shù)字為x,

2

由題意，得(―12)x(§—%)—3。=—15,

解得X=—

3

所以被污染的數(shù)字是9.

3

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算及解方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

23.(8分)【觀察計(jì)算】用等號(hào)或不等號(hào)填空：

(1)32+32_=_2x3x3；

(2)42+522x4x5；

第13頁(yè)共21頁(yè)

(3)(-21)2+622x(-21)x6；

【猜想說(shuō)明】仿照上面，再任意取幾組數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算比較，你能發(fā)現(xiàn)什么大小關(guān)系，請(qǐng)用不等式進(jìn)行表

達(dá)，并說(shuō)明理由.

【思考應(yīng)用】

(1)10122+99922024x999(用等號(hào)或不等號(hào)填空)；

(2)已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為16,分別以它的寬和長(zhǎng)(寬和長(zhǎng)不相等)為邊向外畫(huà)正方形，記這兩個(gè)正方

形的面積分別為岳、邑，則岳+邑的取值范圍是—.

$2

Si16

【思路點(diǎn)撥】【猜想說(shuō)明】通過(guò)計(jì)算可判斷大小，用字母代替數(shù)字即可；

(1)根據(jù)規(guī)律，【猜想說(shuō)明】通過(guò)計(jì)算可判斷大小，用字母代替數(shù)字即可;

當(dāng)4=6時(shí)，a2+b2=2ab；

當(dāng)時(shí)，a2+b2>lab；

(2)設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a,寬為6,把面積表示出來(lái)即可.

【規(guī)范解答】通過(guò)計(jì)算可判斷大小，故答案為：=,>,>.

【猜想說(shuō)明】舉例如下：

42+4?=2x4x4,

42+62>2x4x6,

(-4)2+62>2x(-4)x6；

用不等式表示：/+/開(kāi)j仍，理由如下：

?/a2+b2-lab=(a-b，理,

a2+b2TQ.ab.

第14頁(yè)共21頁(yè)

(1)根據(jù)規(guī)律，

當(dāng)。=6時(shí)，a2+b2=2ab；

當(dāng)aw6時(shí)，a2+b2>lab；

???1012^999,

.-.10122+9992>2024x999

故答案為：>.

(2)設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a,寬為6,貝IJ：

S]=/,$2=，且=16,

S]+邑=/+b2TUab,

?.?寬和長(zhǎng)不相等，

:.a豐b，

a1+b2>2ab=2x16=32.

故答案為：S,+S2>32.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查有理數(shù)的平方運(yùn)算，完全平方公式的逆運(yùn)用.

完全平方公式：(a-Z))2=a~+b2-"lab,

完全平方公式的逆運(yùn)用：a2+b2-2ab-(a-b)2.

24.(8分)《如何選擇合適的話費(fèi)套餐》

【背景素材】

某通信運(yùn)營(yíng)商提供5G融合套餐，一人付費(fèi)全家享，其中兩種套餐的具體內(nèi)容如下:

/套餐3套餐

每月基本服務(wù)費(fèi)169元199元

每月免費(fèi)國(guó)內(nèi)通用流量40GB60GB

每月免費(fèi)國(guó)內(nèi)通話時(shí)間800分鐘1000分鐘

超出后通話收費(fèi)0.15元/分鐘

超出后流量收費(fèi)3元JGB,不足1G8按1G8收費(fèi)

【問(wèn)題解決】若某用戶目前使用N套餐.

第15頁(yè)共21頁(yè)

任務(wù)1:12月全家使用流量45G8,通話時(shí)長(zhǎng)850分鐘，請(qǐng)計(jì)算該用戶12月份的套餐費(fèi)用.

任務(wù)2：該用戶查看全家近半年通話時(shí)長(zhǎng)及流量使用情況，發(fā)現(xiàn)每月通話時(shí)長(zhǎng)基本在850分鐘左右，但流量

使用波動(dòng)較大.視該用戶每月通話時(shí)長(zhǎng)為850分鐘，設(shè)其每月使用流量為"zG3(僅為正整數(shù)).

(1)請(qǐng)表示該用戶每月所需支付的費(fèi)用.

(2)請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明，該用戶何時(shí)需要調(diào)整套餐.

【思路點(diǎn)撥】任務(wù)1：根據(jù)基本服務(wù)費(fèi)加超出的通話費(fèi)加超出的流量收費(fèi)，即可求解；

任務(wù)2:(1)根據(jù)基本服務(wù)費(fèi)加超出的通話費(fèi)加超出的流量收費(fèi)，即可表示出該用戶每月所需支付的費(fèi)用；

(2)由(1)知，當(dāng)/套餐的費(fèi)用等于3套餐的基本服務(wù)費(fèi)時(shí)，列出方程求出加即可作出說(shuō)明.

【規(guī)范解答】解：任務(wù)1:

解：169+(850-800)x0.15+(45-40)x3=191.5(元)；

答：該用戶12月份的套餐費(fèi)用為191.5元.

任務(wù)2:

(1)169+(850-800)x0.15+(w-40)x3=(56.5+3>ni)元；

答：該用戶每月所需支付的費(fèi)用為(56.5+3小)元；

(2)由題意得：56.5+3加=199,

解得：m=47.5,

由于加為正整數(shù)，故a=48,

答：每月使用流量為48GB時(shí)，需要調(diào)整套餐.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出有理數(shù)混合運(yùn)算

的式子是解題的關(guān)鍵.

25.(8分)如圖，A,3兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a,b,且點(diǎn)/在點(diǎn)B的左邊，|a|=10,a+6=80,

ab<Q.

(1)求出a,6的值；

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻尸從點(diǎn)/出發(fā)，以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻。從點(diǎn)B

出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng).

①設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C相遇，求出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？

②經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度？

------1?-------->

AB

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意可以。、6的符號(hào)相反、可得。=-10,根據(jù)“+6=80可得6的值，本題得以解

第16頁(yè)共21頁(yè)

決；

(2)①根據(jù)題意可以求得兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C相遇是點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)值；

②根據(jù)題意和分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題.

【規(guī)范解答】解：(I)；/,3兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0,6,且點(diǎn)/在點(diǎn)B的左邊，a+6=80,

ab<0,

a=—10,b=90J

即a的值是-10,6的值是90；

(2)①由題意可得，

點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是：90-[90-(-10)]-^(3+2)x2=90-100^-5x2=90-40=50,

即點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為：50；

②設(shè)相遇前，經(jīng)過(guò)加秒時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，

[90-(-10)-20]-(3+2)

=80+5

=16(秒)，

設(shè)相遇后，經(jīng)過(guò)〃秒時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，

[90-(-10)+20]-(3+2)

=120+5

=24(秒)，

由上可得，經(jīng)過(guò)16秒或24秒的時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查有理數(shù)的乘法、絕對(duì)值、數(shù)軸、有理數(shù)的加法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問(wèn)題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

26.(8分)概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運(yùn)算叫做除方，如2+2+2,(_3)+(-3)+(-3)+(-3)等.類

比有理數(shù)的乘方，我們把2?2+2記作2③，讀作“2的圈3次方"，(—3)+(-3)+(-3)+(-3)記作(-3)④，

讀作"-3的圈4次方”，一般地，把a(bǔ)?w0)記作a?,讀作“a的圈〃次方”.

〃個(gè)a

初步探究

(1)直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：2③=_g_,(-3嚴(yán)=—；

(2)關(guān)于除方，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是—

第17頁(yè)共21頁(yè)

/.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B.對(duì)于任何正整數(shù)"，1?=1；

C.3?=4?

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).

深入思考

我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如

何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？

(1)試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成幕的形式.(-3嚴(yán)=—；5?=—；(-1)?=—.

(2)想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)。的圈〃次方寫(xiě)成幕的形式等于—；

【思路點(diǎn)撥】初步探究

(1)根據(jù)新定義計(jì)算；

(2)根據(jù)新定義可判斷C錯(cuò)誤；

深入思考

(1)把有理數(shù)的除方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算；

(2)利用新定義求解；

(3)先把除方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算.

【規(guī)范解答】解：初步探究

(1)2③=g,(一g)⑤=一8；

(2)C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

深入思考

(1)(一3)④=(；5?=^；(-1)?=28.

(2)a=-；

a"-2

(3)M^-122^32X(-23)-34^33

第18頁(yè)共21頁(yè)

=-131.

故答案為-8,C,~,二，28,

23254廣2

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左

到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的

運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化.

27.（8分）觀察算式：

（1）按規(guī)律填空:

11114

①□_十___十

1^22x33x44x55

11111

②_|____十□_____?|_+...+

1x22x33x44x599x100

③如果〃為正整數(shù)’那么上+△+￡+△+.?.+—

（2）計(jì)算（由此拓展寫(xiě)出具體過(guò)程）：

111

-----+------+-----