數(shù)學分析課件函數(shù)的冪級數(shù)展開

1、2函數(shù)的冪級數(shù)展開,由泰勒公式知道,可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個余項的和.如果能將一個滿足適當條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.,返回,二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,一、泰勒級數(shù),一、泰勒級數(shù),在第六章3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點x0,的某鄰域內存在直至n+1階的連續(xù)導數(shù),則,這是泰勒公式帶來的重要結論.,可以由函數(shù)f得到一個冪級數(shù),所要著重討論的問題.請先看一個例子.,例1由于函數(shù),二段末尾),即,上例說明,具有任意階導數(shù)的函數(shù),其泰勒級數(shù)并不,都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個鄰域內.,那么怎樣的函數(shù),其泰勒級數(shù)才能收斂于它

2、本身呢?,本定理的證明可以直接從第六章3泰勒定理推出.,勒級數(shù),并稱等式,開式.,由級數(shù)的逐項求導性質可得:,即冪級數(shù)展開式是惟一的.,這時(3)式就變成,稱為麥克勞林級數(shù).,從定理14.11知道,余項對確定函數(shù)能否展開為冪級,積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便,于后面的討論.它們分別是,二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,例2求k次多項式函數(shù),的冪級數(shù)展開式.,解由于,即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.,例3求函數(shù)f(x)=ex的冪級數(shù)展開式.,解,顯見,對任何實數(shù)x,都有,例4,林級數(shù):,例5,用柯西型余項.此時有,處的泰勒展開式:,其收斂域為,到f的展開式,這已在前面例2中討論過.

3、,考察它的柯西型余項,由比式判別法,于,1,所以在,論如下:,對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有關,其結,一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能,直接從定義出發(fā),并根據定理14.11求得.更多的情,況是從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運,算或逐項求導、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù),的冪級數(shù)展開式.,注求一個函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是確定該冪級數(shù),各項的系數(shù),根據展開式的惟一性,不管用什么方,法得到的系數(shù)都是一樣的.這就是間接展開的根據.,的展開式:,由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求,其他一些函數(shù)的冪級數(shù)展開式是非常方便和有用的,特別是例3例7的結果,對于今后用間接方法求冪,級數(shù)展開十分方便.,式.,用類似方法可得,.(13),大家一定非常熟悉三角函數(shù)表和對數(shù)表,但這些表,是怎樣制作出來的呢?,.為了誤差小于0.0001,就必須計算,級數(shù)前10000項的和,收斂得太慢.為此在(13)式中,估計余項:,因此,最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形式表示某些非初等函,數(shù),這是冪級數(shù)特有的功能.,例10用間接