江蘇省南通市2020屆高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研測(cè)試試題（通用）

1、江蘇省南通市2020屆高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研測(cè)試試題注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1 本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。2 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上。3 作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗，描寫清楚。參考公式：柱體的體積公式，其中為柱體的底面積，為高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在答題

2、卡相應(yīng)位置上1 已知集合，則 2 已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 i 4ii+1結(jié) 束NY（第4題）SS5輸出S開始S1i13 某班40名學(xué)生參加普法知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)都在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖所示， 則成績(jī)不低于60分的人數(shù)為 成績(jī)/分4050607080901000.0050.0100.0150.0250.030（第3題）4 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值為 5 在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，以線段AC，BC為鄰邊作矩形，則該矩形的面積 大于32 cm2的概率為 6 在中，已知，則的長(zhǎng)為 7 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)

3、，則雙曲線的焦距為 8 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角的始邊均為x軸的非負(fù)半軸，終邊分別經(jīng)過點(diǎn) ，則的值為 9 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為若成等差數(shù)列，且，則的值為 10已知均為正數(shù)，且，則的最小值為 11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動(dòng)圓上的點(diǎn)都在不等式組表示的平面區(qū)域 內(nèi)，則面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 12設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 13在平面四邊形中，已知，則的值為 14已知為常數(shù)，函數(shù)的最小值為，則的所有值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)

4、系中，設(shè)向量，（1）若，求的值；（2）設(shè)，且，求的值16（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上（均異于端點(diǎn)），且ABE=ACF，AEBB1，AA1B1C1BCFE（第16題）AFCC1求證：（1）平面AEF平面BB1C1C；（2）BC /平面AEF 17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B1，B2是橢圓的短軸端點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)B1，B2的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)直線PB1的方程為時(shí)，線段PB1的長(zhǎng)為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（第17題）0B1B2PQOPxy（2）設(shè)點(diǎn)Q滿足：求證：PB1B2與QB1B2的面積之比為定值18

5、（本小題滿分16分）將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形（B，C全等），用來制成一個(gè)柱體現(xiàn)有兩種方案：方案：以為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓 柱的兩個(gè)底面；方案：以為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形 （各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個(gè)底面 （1）設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；l1l 2ABC（第18題）0（2）設(shè)的長(zhǎng)為dm，則當(dāng)為多少時(shí)，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？19（本小題滿分16

6、分）設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1，b2，b3，b4的公差為d，且記（i = 1，2，3，4） （1）求證：數(shù)列不是等差數(shù)列； （2）設(shè)，若數(shù)列是等比數(shù)列，求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域； （3）數(shù)列能否為等比數(shù)列？并說明理由20（本小題滿分16分） 設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，是的導(dǎo)函數(shù) 若對(duì)任意的，求證：存在使； 若，求證：（附加題）注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1本試卷共2頁，均為非選擇題（第2123題）。本卷滿分為40分，考試時(shí)間為30分鐘。 考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。2答題前，請(qǐng)您務(wù)

7、必將自己的姓名、考試證號(hào)等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在 答題卡上，并用2B鉛筆正確填涂考試號(hào)。3作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置 作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗，描寫清楚。21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟ABDOC（第21A題）A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，A，B，C是O上的3個(gè)不同的點(diǎn)，半徑OA交弦BC于點(diǎn)D 求證：B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面

8、直角坐標(biāo)系xOy中，已知設(shè)變換，對(duì)應(yīng)的矩陣分別為，求對(duì)ABC依次實(shí)施變換，后所得圖形的面積C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分） 在極坐標(biāo)系中，求以點(diǎn)為圓心且與直線：相切的圓的極坐標(biāo)方程 D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分） 已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且，求證：【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）（第22題）在某公司舉行的年終慶典活動(dòng)中，主持人利用隨機(jī)抽獎(jiǎng)軟件進(jìn)行抽獎(jiǎng)：由電腦隨機(jī)生成一張如圖所示的33表格，其中1格設(shè)獎(jiǎng)300元，4格各設(shè)獎(jiǎng)200元，其余4格各設(shè)獎(jiǎng)100元，

9、 點(diǎn)擊某一格即顯示相應(yīng)金額某人在一張表中隨機(jī)不重復(fù)地點(diǎn)擊3格，記中獎(jiǎng)總金額為X元（1）求概率；（2）求的概率分布及數(shù)學(xué)期望23（本小題滿分10分） 已知，記 （1）求的值；（2）化簡(jiǎn)的表達(dá)式，并證明：對(duì)任意的，都能被整除參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分1 已知集合，則 【答案】2 已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 【答案】3 某班40名學(xué)生參加普法知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)都在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖i 4ii+1結(jié) 束NY（第4題）SS5輸出S開始S1i1 所示，則成績(jī)不低于60分的人數(shù)為 成績(jī)/分4050607080901000.0050.0100.0

10、150.0250.030（第3題）【答案】304 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值為 【答案】1255 在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，以線段AC，BC為鄰邊作矩形，則該矩形的面積大于32 cm2的概率為 【答案】6 在中，已知，則的長(zhǎng)為 【答案】7 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的焦距為 【答案】8 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角的始邊均為x軸的非負(fù)半軸，終邊分別經(jīng)過點(diǎn) ，則的值為 【答案】9 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為若成等差數(shù)列，且，則的值為 【答案】10已知均為正數(shù)，且，則的最小值為 【答案】811在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動(dòng)圓上的點(diǎn)

11、都在不等式組表示的平面 區(qū)域內(nèi)，則面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【答案】12設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有3個(gè)不同的零點(diǎn)， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】13在平面四邊形中，已知，則的值為 【答案】1014已知為常數(shù)，函數(shù)的最小值為，則的所有值為 【答案】二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分15（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，（1）若，求的值；（2）設(shè)，且，求的值解：（1）因?yàn)?，所以，?3分 因?yàn)椋?，即a2 + 2 ab + b2 = 1， 所以，即 6分 （2）因?yàn)?，所?依題意， 8分 因?yàn)?，所?化簡(jiǎn)得，所以 12分 因?yàn)?，所?所以，即 14分16（本小題滿分14分

12、）AA1B1C1BCFE（第16題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上（均異于端點(diǎn)），且ABE=ACF，AEBB1，AFCC1求證：（1）平面AEF平面BB1C1C；（2）BC /平面AEF 證明：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1/CC1 因?yàn)锳FCC1，所以AFBB1 2分 又AEBB1，AEAF，AE，AF平面AEF， 所以BB1平面AEF 5分 又因?yàn)锽B1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C 7分 （2）因?yàn)锳EBB1，AFCC1，ABE =ACF，AB = AC， 所以AEBAFC 所以BE=CF 9分 又由

13、（1）知，BE/ CF 所以四邊形BEFC是平行四邊形 從而BC/EF 11分 又BC平面AEF，EF平面AEF， 所以BC /平面AEF 14分17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B1，B2是橢圓的短軸端點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)B1，B2的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)直線PB1的方程為時(shí)，線段PB1的長(zhǎng)為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q滿足：求證：PB1B2與QB1B2的面積之比為定值（第17題）0B1B2PQOPxy 解：設(shè)， （1）在中，令，得，從而b=3 2分 由 得 所以 4分 因?yàn)椋?所以，解得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6分 （2）方法一： 直線PB1的斜率為， 由所以直線QB1的斜

14、率為 于是直線QB1的方程為： 同理，QB2的方程為： 8分 聯(lián)立兩直線方程，消去y，得 10分 因?yàn)樵跈E圓上，所以，從而 所以 12分 所以 14分 方法二： 設(shè)直線PB1，PB2的斜率為k，則直線PB1的方程為 由直線QB1的方程為 將代入，得， 因?yàn)镻是橢圓上異于點(diǎn)B1，B2的點(diǎn)，所以，從而 8分 因?yàn)樵跈E圓上，所以，從而 所以，得 10分 由，所以直線的方程為 聯(lián)立 則，即 12分 所以 14分 18（本小題滿分16分）將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形（B，C全等），用來制成一個(gè)柱體現(xiàn)有兩種方案

15、：方案：以為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面；方案：以為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個(gè)底面 （1）設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；（2）設(shè)的長(zhǎng)為dm，則當(dāng)為多少時(shí)，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？l1l 2ABC（第18題）0解：（1）設(shè)所得圓柱的半徑為 dm， 則， 4分 解得 6分 （2）設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 dm， 則即 9分 方法一： 所得正四棱柱的體積 11分 記函數(shù) 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)

16、，時(shí)， dm3 14分 方法二： ，從而 11分 所得正四棱柱的體積 所以當(dāng)，時(shí)， dm3 14分 答：（1）圓柱的底面半徑為 dm； （2）當(dāng)為時(shí)，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大 16分【評(píng)分說明】 直接“由得，時(shí)正四棱柱的體積最大”給2分； 方法一中的求解過程要體現(xiàn)，凡寫成的最多得5分， 其它類似解答參照給分19（本小題滿分16分）設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1，b2，b3，b4的公差為d，且記（i = 1，2，3，4） （1）求證：數(shù)列不是等差數(shù)列； （2）設(shè)，若數(shù)列是等比數(shù)列，求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域； （3）數(shù)列能否為等比數(shù)列？并說明理由解：（

17、1）假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列， 則，即 因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以從而 2分 又因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以 所以，這與矛盾，從而假設(shè)不成立 所以數(shù)列不是等差數(shù)列 4分 （2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即?6分 由，得，所以且 又，所以，定義域?yàn)?8分 （3）方法一： 設(shè)c1，c2，c3，c4成等比數(shù)列，其公比為q1， 則 10分 將+2得， 將+2得， 12分 因?yàn)?，由得?由得，從而 14分 代入得 再代入，得，與矛盾 所以c1，c2，c3，c4不成等比數(shù)列 16分 方法二： 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則 10分 所以，即 兩邊同時(shí)減1得， 12分 因?yàn)榈缺葦?shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，所以 又，所以，即

18、14分 這與且矛盾，所以假設(shè)不成立 所以數(shù)列不能為等比數(shù)列 16分 20（本小題滿分16分） 設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，是的導(dǎo)函數(shù) 若對(duì)任意的，求證：存在使； 若，求證：解：（1）由題意，對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以?duì)恒成立，因?yàn)椋?，從?3分（2），所以 若，則存在，使，不合題意， 所以 5分 取，則 此時(shí) 所以存在，使 8分依題意，不妨設(shè)，令，則 由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，所以 從而 10分 因?yàn)?，所以?所以 所以 12分 下面證明，即證明，只要證明 設(shè)，所以在恒成立 所以在單調(diào)遞減，故，從而得證 所以， 即 16分?jǐn)?shù)學(xué)（附加題）21【選做題】本題包括

19、A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）ABDC（第21A題）EO如圖，A，B，C是O上的3個(gè)不同的點(diǎn)，半徑OA交弦BC于點(diǎn)D求證：證明：延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E， 則 5分 因?yàn)椋?所以 所以 10分B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知設(shè)變換，對(duì)應(yīng)的矩陣分別為，求對(duì)ABC依次實(shí)施變換，后所得圖形的面積解：依題意，依次實(shí)施變換，所對(duì)應(yīng)的矩陣 5分 則， 所以分別變?yōu)辄c(diǎn) 從而所得圖形的面積為 10分C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，求以點(diǎn)為圓心且與直線：相切的圓的極坐標(biāo)方程 解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系 則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 2分 將直線：的方程變形為：， 化為普通方程得