江蘇省句容市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期 三角函數(shù)與解三角形 16正弦定理與余弦定理綜合應(yīng)用教學(xué)案（無(wú)答案）（通用）

1、正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】在各種應(yīng)用問(wèn)題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法 【教學(xué)重點(diǎn)】利用數(shù)學(xué)建模的思想，結(jié)合三角形的知識(shí)，解決生產(chǎn)實(shí)踐中的相關(guān)問(wèn)題【教學(xué)難點(diǎn)】掌握利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟【教學(xué)過(guò)程】一、知識(shí)梳理：1 測(cè)量問(wèn)題的有關(guān)名詞：（1）仰角和俯角：是指與目標(biāo)視線在同一垂直平面內(nèi)的水平視線的夾角其中目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫做俯角（2）方向角：是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角，如北偏東30，南偏西45（3）方位角：是指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角（4）坡角：是指坡面與水平面所成的角2 求解三角形

2、實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：（1）分析：理解題意，弄清已知和未知，畫(huà)出示意圖；（2）建模：根據(jù)條件和目標(biāo)，構(gòu)建三角形，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；（3）求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求數(shù)學(xué)模型的解；（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的角是否符合實(shí)際意義，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解二、基礎(chǔ)自測(cè)：1如下左圖，ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C _2如上右圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)m 三、典型例題：例1在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c ，且a2(bc)2

3、(2)bc，sin Asin Bcos2，BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為（1）求角A和角B的大??； （2）求ABC的面積 例2隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C、D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得 反思：ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離【變式拓展】如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里問(wèn)：乙船每小時(shí)航行多少海里？ 例3

4、如圖，在海岸線l一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設(shè)立了A，B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A，B，C中任意兩點(diǎn)間的距離為10 km.公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A，B兩處游客分別乘車(chē)集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處(點(diǎn)D異于A，B兩點(diǎn))，然后乘同一艘游輪前往C島據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車(chē)2輛，B處需發(fā)車(chē)4輛，每輛汽車(chē)每千米耗費(fèi)2元，游輪每千米耗費(fèi)12元設(shè)CDA，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本為S元（1）寫(xiě)出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）問(wèn)：中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最??？四、課堂反饋：1如圖，海岸線上有相距5 n mile的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向海 上

5、停泊著兩艘輪船，甲位于燈塔A的北偏西75方向，與A相距3 n mile的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60方向，與B相距5 n mile的C處，則兩艘船之間的距離為_(kāi)n mile.2在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？ 五、課后作業(yè)： 學(xué)生姓名：_1如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測(cè)得山頂C的仰角為60，在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45，已知塔高AB20 m，求

6、山高CD.2如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得BDC45，求塔AB的高度3如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上 （1）求漁船甲的速度； （2）求sin 的值 4某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60，在A地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340米/秒)5如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)