高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：代數(shù)解答題選講人教實(shí)驗(yàn)A版（文）知識(shí)精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：代數(shù)解答題選講人教實(shí)驗(yàn)A版（文）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：代數(shù)解答題選講二. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 1. 三角、向量、綜合2. 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、綜合3. 數(shù)列、綜合【典型例題】例1 在中， 所對邊分別為。已知，且。（I）求大小。（II）若求的面積S的大小。解：（I）， 0 （II） 中， 。 的面積 例 2 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，。（I）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；（II）在（I）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；（III）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：（I）由已知得，由，得，。 ， 當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減。 在區(qū)間上的最大值為，。又， 。由題意

2、得，即，得。故，為所求。 （II）解：由（1）得，點(diǎn)在曲線上。（1）當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率， 的方程為，即。 （2）當(dāng)切點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率， 的方程為 。又點(diǎn)在上， ， ， ， ，即，。 切線的方程為。故所求切線的方程為或。 （ 或者：由（1）知點(diǎn)A（0，1）為極大值點(diǎn)，所以曲線的點(diǎn)A處的切線為，恰好經(jīng)過點(diǎn)，符合題意。）（）解： 。 。 二次函數(shù)的判別式為，令，得：令，得 ， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)。 例 3 數(shù)列中，其前項(xiàng)的和為。（）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求的表達(dá)式；（）求證：。

3、（I）證明： ，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列。 （II）解：=， =。 （III）證明： ， 。 。例 4 中，角A、B、C所對的邊分別為、，已知（1）求的值；（2）求的面積。解：（1）由，得為銳角， （2） 又，得， （若通過得出，求出，未舍去，得兩解，扣2分。）例 5 數(shù)列滿足，（），且從第二項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列， 是的前項(xiàng)和。（1）當(dāng)時(shí)，用與表示與； （2）若在與兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是的最小值，試求的取值范圍；（3）若為正整數(shù)，在（2）的條件下，設(shè)取為最小值的概率是，取為最小值的概率是，比較與的大小。解：（1）由已知，當(dāng)時(shí)，即。 。 （2）解法一：由已知，當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，公差為，數(shù)列遞

4、增。若是的最小值，則，即，得。 若是的最小值，則，即，得。 當(dāng)與兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是的最小值時(shí)，的取值范圍是。 （2）解法二：由（1），當(dāng)時(shí)，且也滿足此式， 在與兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是的最小值， ， 解得，從而的取值范圍是。 （3）由（2）知，26，若是的最小值，則，即 若是的最小值，即 。例 6 已知二次函數(shù)（）。（1）當(dāng)時(shí)，（）的最大值為，求的最小值；（2）對于任意的，總有|。試求的取值范圍；（3）若當(dāng)時(shí)，記，令，求證：成立。解：由知故當(dāng)時(shí)取得最大值為，即，所以的最小值為； 對于任意的，總有|，令，則命題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，使成立； 當(dāng)時(shí)，有 對于任意的恒成立；，則，故要使式成立，則有，

5、又，故要使式成立，則有，由題。綜上，為所求。 （3）由題意，令則在時(shí)單調(diào)遞增，。 又，綜上，原結(jié)論成立。 例 7 已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小解：解法一 由得所以即因?yàn)樗裕瑥亩芍?從而。由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即 因?yàn)?，所以由從而，知B+2C=不合要求。再由，得 所以例 8 在公差為d（d0）的等差數(shù)列an和公比為q的等比數(shù)列bn中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3。 （1）求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式； （2）令，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn。 解：（1）由條件得： （2） 6Tn=6+662

6、+1163+（5n4）6n ： 例 9 定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，方程在R上恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。 （1）求x0時(shí)，函數(shù)的解析式； （2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：（1）設(shè)x0為偶函數(shù)， （2）為偶函數(shù)，=0的根關(guān)于0對稱。 由=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，知5個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根。 且兩個(gè)正根和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù) 原命題圖像與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)下面研究x0時(shí)的情況 即 為單調(diào)增函數(shù)，故不可能有兩實(shí)根 a0 令當(dāng)遞減， 處取到極大值 又當(dāng)要使軸有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)0解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，）方法二：（2）為偶函數(shù)， =0的根關(guān)于0對稱。 由=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解知5個(gè)實(shí)根中有

7、兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根。 且兩個(gè)正根和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù) 原命題圖像與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)下面研究x0時(shí)的情況與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 當(dāng)時(shí)，遞增與直線y=ax下降或是x國，故交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，不合題意 a0由幾何意義知與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y=ax的變化應(yīng)是從x軸到與相切之間的情形。 設(shè)切點(diǎn) 切線方為 由切線與y=ax重合知故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，）例 10 已知函數(shù)，。（1）求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取到最大值，求的值；（3）若（），求證：方程在內(nèi)沒有實(shí)數(shù)解。（參考數(shù)據(jù)：，）解：（1）， 令（）則，由于，則在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（注：將單調(diào)遞增區(qū)間寫成的形

8、式扣1分）（2）依題意，（），由周期性，；（3）函數(shù)（）為單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，由于，而， 則有，即，即，而函數(shù)的最大值為，且（）為單調(diào)增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒有，綜上，在恒有，即方程在內(nèi)沒有實(shí)數(shù)解。 例 11 已知函數(shù)（）的圖象為曲線。（1）求過曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍；（2）若在曲線上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由。解：（1），則，即過曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是；（2）由（1）可知，解得或，由或得：；（3）設(shè)存在過

9、點(diǎn)A的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B，則切線方程是：， 化簡得：， 而過B的切線方程是， 由于兩切線是同一直線， 則有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但當(dāng)時(shí)，由得，這與矛盾。 所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)。-例12 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，數(shù)列是等差數(shù)列，令集合，。將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為。（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，求滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。解：（1）若，因?yàn)?，6，7 ，則5，6，7，由此可見，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項(xiàng)，所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項(xiàng)， 若，則， 若，則，若，則；（注：寫出一個(gè)或兩

10、個(gè)通項(xiàng)公式得2分，全部寫出得4分）（2）首先對元素2進(jìn)行分類討論： 若2是數(shù)列的第2項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，這顯然不可能； 若2是數(shù)列的第3項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，因?yàn)閿?shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的，所以，則，因此數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，2，4，這樣，則數(shù)列的前9項(xiàng)分別為1，2，4，8，上述數(shù)列符合要求； 若2是數(shù)列的第項(xiàng)（），則，即數(shù)列的公差，所以，1，2，4，所以1，2，4在數(shù)列的前8項(xiàng)中，由于，這樣，以及1，2，4共9項(xiàng)，它們均小于8，即數(shù)列的前9項(xiàng)均小于8，這與矛盾。綜上所述，其次，當(dāng)時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以，所以，此時(shí)的不符合要求。

11、所以符合要求的一共有5個(gè)?！灸M試題】（答題時(shí)間：50分鐘）1. 已知銳角三角形的三邊為連續(xù)整數(shù)，且角、滿足。（1） 求角的取值范圍及三邊的長；（2） 求的面積。（1） 設(shè)的三邊為，（，），由題設(shè)，2. 已知函數(shù)，且。（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得關(guān)于的方程分別為： 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解； 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解； 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。3. 已知向量，若，且。（）試求出和的值； （）求的值。4. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，又（）求k的值； （）求；（）是否存在正整數(shù)m，n，使成立？若存在求出這樣的正整數(shù)；若不存在，請說明理由。5

12、. 已知，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。6. 數(shù)列滿足遞推式，其中，（1）求； （2）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得為等差數(shù)列，求值； （3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和。7. 已知函數(shù)（1）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍。（2）若存在實(shí)數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)處的切線斜率為0，若存在，求出一組實(shí)數(shù)a， b， c，若不存在，說明理由。8. 已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，它滿足條件。數(shù)列中，。（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若對一切都有，求的取值范圍。9. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，為等比數(shù)列，且（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。試題答案1. 解：由題意，即，得。 當(dāng)時(shí)，得，故角所對的邊為，角所對的邊為，于是有，得，

13、又，得，解得，舍去； 當(dāng)時(shí)，得，故角所對的邊為，角所對的邊為，于是有，得，又，得，解得，故的三邊長為，。2. 解：（1）由，得， ， 。 （2）由（1），從而，只需研究在上的單調(diào)性。當(dāng)時(shí)，。設(shè)，且，則， ， ， ，即。 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。 （3）原方程即為 恒為方程的一個(gè)解。 若時(shí)方程有解，則，解得，由，得 ； 若且時(shí)方程有解，則，解得， 由且，得或。 綜上可得，當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解； 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同解； 當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同解。 3. 解：（I） 即 （II）又4. 解：（I） 又 （II）由（I）知 當(dāng)時(shí)， 得 又，且， 于是是等比數(shù)列，公比為 所以 （III）由（II）知不等式 整理得 假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使成立，由于為偶數(shù)，為整數(shù) 所以只能有 因此存在正整數(shù)；或，使成立5. 解：=。記只需討論的正負(fù)即可。（1）當(dāng)當(dāng)（2）當(dāng)，當(dāng)在此區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間在此區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)在區(qū)間在此區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間在此區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)處連續(xù)， 在上是減函數(shù)；當(dāng)，在區(qū)間在此區(qū)間上是減函數(shù)； 在區(qū)間在此區(qū)間上是增函數(shù)。6. 解：（1）由，知 （2） （3）由（2）得先求由上兩式相減7. 解：（1）當(dāng) 上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即上存在子區(qū)間使 （i）當(dāng)是開口向上的拋物線