數(shù)學(xué)歸納法(上課)ppt.ppt

1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法,問題1：在儀容儀表檢查中，如何斷定我們班的所有同學(xué)不戴耳環(huán)？,方法一： 檢查每位同學(xué)，確認(rèn)每位同學(xué)不戴耳環(huán)。,完全歸納法,方法二： 檢查部分同學(xué)，確認(rèn)他們不戴耳環(huán)。,不完全歸納法,定義： 由一系列有限的特殊事例得出 一般結(jié)論的推理方法叫歸納法。, 用完全歸納法得到的結(jié)論正確嗎？ 不完全歸納法呢？ 如果一個(gè)問題中的元素有無限多個(gè) （如與自然數(shù)有關(guān)的命題），怎樣 歸納出其結(jié)論的正確性？,：?jiǎn)栴}2：,可 靠,不可靠,不可行,可 行,問題3：多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？,（1）、第一塊骨牌倒下,（2）、前一塊骨牌倒下一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下,五彩濱紛、排

2、山倒海、令人嘆為觀止,（1）、第一塊骨牌倒下,（2）、前一塊骨牌倒下一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下,多米諾骨牌 數(shù)學(xué)命題證明,目標(biāo) 每片骨牌倒下,要求 （1）第一片要倒下 （2）若前片倒下， 則后片也倒下,結(jié)論 由（1）（2）知 游戲成功,神奇的對(duì)比,每個(gè)n值都成立,（1） n=1時(shí)要成立 （2）若n=k時(shí)成立 則n=k+1時(shí)也成立,由（1）（2）知 命題成立,一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按下列步驟進(jìn)行：,（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1) 時(shí)命題 成立; （2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時(shí)命題成立 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 由(1),(2)可知，命題對(duì)從n0開

3、始的所有正整數(shù)都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法,(歸納遞推) 遞推的依據(jù),(歸納奠基) 遞推的基礎(chǔ),例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),左=12=1，右= n=1時(shí)，等式成立 (2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即 那么，當(dāng)n=k+1時(shí) 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1時(shí)，等式也成立 由(1)、(2)可知，當(dāng)nN*時(shí)，等式都成立,步驟： 遞推基礎(chǔ)不可少，（基礎(chǔ)） 歸納假設(shè)要用到，（依據(jù)） 結(jié)論寫明莫忘掉。（結(jié)論）,例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),左=12=1，右= n=1時(shí)，等式成立 (2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即 那么，當(dāng)n

4、=k+1時(shí) 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1時(shí)，等式也成立 由(1)、(2)可知，當(dāng)nN*時(shí)，等式都成立,例2：下列等式是否成立？證明方法是否正確？為什么？,理由：因?yàn)槭遣煌耆珰w納法，缺乏遞推的依據(jù)，結(jié)論不可靠，即使驗(yàn)證 了100個(gè)正確也是不嚴(yán)密的。,解：等式成立。證明如下：, 135(2n1), 135(2n1)n21,解：等式成立。證明如下：,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即135(2k1)k21則當(dāng)n=k+1時(shí)，135(2k1)(2k1)k21(2k1) (k1)21當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立對(duì)nN等式都成立,理由：第一步?jīng)]有證明正確，缺乏遞推的基礎(chǔ)，從而假設(shè)沒有根據(jù)。,強(qiáng)調(diào)：, 兩個(gè)步驟缺一不可，因?yàn)?有第一步無第二步，就是不完全歸納法，結(jié)論就不可靠；,有第二步而無第一步，第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)。, 第二步的證明n=k+1成立中必須用歸納假設(shè)， 并且證明必須詳細(xì)。,1、用數(shù)學(xué)歸納法證明 35(2n1)n1n1時(shí)， 第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時(shí)，等式成立。,思考與練習(xí)：,2,B,(2k+1)+(2k+2),2、數(shù)學(xué)歸納法：證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題。,小結(jié)：,今天我們學(xué)習(xí)了,1、由特殊到一般的歸納思想。,步驟： 證明當(dāng)n取第一個(gè)