數(shù)學歸納法(上課)ppt.ppt

1、2.3 數(shù)學歸納法,問題1：在儀容儀表檢查中，如何斷定我們班的所有同學不戴耳環(huán)？,方法一： 檢查每位同學，確認每位同學不戴耳環(huán)。,完全歸納法,方法二： 檢查部分同學，確認他們不戴耳環(huán)。,不完全歸納法,定義： 由一系列有限的特殊事例得出 一般結論的推理方法叫歸納法。, 用完全歸納法得到的結論正確嗎？ 不完全歸納法呢？ 如果一個問題中的元素有無限多個 （如與自然數(shù)有關的命題），怎樣 歸納出其結論的正確性？,：問題2：,可 靠,不可靠,不可行,可 行,問題3：多米諾骨牌游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？,（1）、第一塊骨牌倒下,（2）、前一塊骨牌倒下一定導致后一塊骨牌倒下,五彩濱紛、排

2、山倒海、令人嘆為觀止,（1）、第一塊骨牌倒下,（2）、前一塊骨牌倒下一定導致后一塊骨牌倒下,多米諾骨牌 數(shù)學命題證明,目標 每片骨牌倒下,要求 （1）第一片要倒下 （2）若前片倒下， 則后片也倒下,結論 由（1）（2）知 游戲成功,神奇的對比,每個n值都成立,（1） n=1時要成立 （2）若n=k時成立 則n=k+1時也成立,由（1）（2）知 命題成立,一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題，可按下列步驟進行：,（1）證明當n取第一個值n0(例如n0=1) 時命題 成立; （2）假設當n=k(kN* ,k n0)時命題成立 證明當n=k+1時命題也成立. 由(1),(2)可知，命題對從n0開

3、始的所有正整數(shù)都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學歸納法,數(shù)學歸納法,(歸納遞推) 遞推的依據(jù),(歸納奠基) 遞推的基礎,例1.用數(shù)學歸納法證明 證明: (1)當n=1時,左=12=1，右= n=1時，等式成立 (2)假設n=k時，等式成立，即 那么，當n=k+1時 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1時，等式也成立 由(1)、(2)可知，當nN*時，等式都成立,步驟： 遞推基礎不可少，（基礎） 歸納假設要用到，（依據(jù)） 結論寫明莫忘掉。（結論）,例1.用數(shù)學歸納法證明 證明: (1)當n=1時,左=12=1，右= n=1時，等式成立 (2)假設n=k時，等式成立，即 那么，當n

4、=k+1時 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1時，等式也成立 由(1)、(2)可知，當nN*時，等式都成立,例2：下列等式是否成立？證明方法是否正確？為什么？,理由：因為是不完全歸納法，缺乏遞推的依據(jù)，結論不可靠，即使驗證 了100個正確也是不嚴密的。,解：等式成立。證明如下：, 135(2n1), 135(2n1)n21,解：等式成立。證明如下：,假設當n=k時等式成立，即135(2k1)k21則當n=k+1時，135(2k1)(2k1)k21(2k1) (k1)21當n=k+1時等式也成立對nN等式都成立,理由：第一步?jīng)]有證明正確，缺乏遞推的基礎，從而假設沒有根據(jù)。,強調(diào)：, 兩個步驟缺一不可，因為,有第一步無第二步，就是不完全歸納法，結論就不可靠；,有第二步而無第一步，第二步中的假設就失去了基礎。, 第二步的證明n=k+1成立中必須用歸納假設， 并且證明必須詳細。,1、用數(shù)學歸納法證明 35(2n1)n1n1時， 第一步應驗證n_時，等式成立。,思考與練習：,2,B,(2k+1)+(2k+2),2、數(shù)學歸納法：證明與自然數(shù)n有關的命題。,小結：,今天我們學習了,1、由特殊到一般的歸納思想。,步驟： 證明當n取第一個