高考數(shù)學專題復習（精選精講）練習4-三角函數(shù)典型考題習題精選精講

1、三角函數(shù)典型考題歸類解析三角函數(shù)典型考題歸類解析 三角函數(shù)是中學數(shù)學學習中重要的基本初等函數(shù)之一，與代數(shù)、幾何有著密切的聯(lián)系，是解決數(shù)學問題的一種有利工具.三角函數(shù) 作為中學數(shù)學的基礎內(nèi)容，在高考試題中年年呈現(xiàn)，多數(shù)以中低檔題出現(xiàn)，可以獨立命題，也可以與其它知識綜合滲透.下面就 07 年全 國高考中解答題進行梳理歸類，供讀者學習時參考： 1根據(jù)解析式研究函數(shù)性質 例 1（天津理）已知函數(shù)( )2cos (sincos ) 1f xxxxxR， （）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值( )f x( )f x 3 84 ， 解析：（） ( )2cos (sincos ) 1si

2、n2cos22sin 2 4 f xxxxxxx 因此，函數(shù)的最小正周期為( )f x （）解法一：因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又， ( )2sin 2 4 f xx 3 88 ， 3 3 84 ， 0 8 f ， 3 2 8 f 33 2sin2cos1 4244 f 故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為( )f x 3 84 ，21 解法二：作函數(shù)在長度為一個 ( )2sin 2 4 f xx 周期的區(qū)間上的 9 84 ， 圖象如下：由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大( )f x 3 84 ， 值為，2 最小值為 3 1 4 f 點評：本題考查三角函數(shù)中的誘導公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角

3、和與差公式、倍 角公式、函數(shù)的性質等基礎知識，考查基本運算能力利用三角公式將所給函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)，然后借sin()yAx 助其性質直接求解是研究三角函數(shù)的性質的常規(guī)思路.憑借函數(shù)圖象研究函數(shù)性質，可以使問題得以形象直觀展示出來易于解決. 【相關高考 1】（湖南文）已知函數(shù) 2 ( )12sin2sincos 888 f xxxx 求：（I）函數(shù)的最小正周期；（II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間( )f x( )f x 解析： ( )cos(2)sin(2) 44 f xxx 2sin(2)2sin(2)2cos2 442 xxx （I）函數(shù)的最小正周期是；( )f x 2 2 T （II）當，即（

4、）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)2 22 kxk 2 kxkkZ( )2cos2f xx( )f x y x O 2 2 遞增區(qū)間是（） 2 kk，kZ 【相關高考 2】（湖南理）已知函數(shù)， 2 ( )cos 12 f xx 1 ( )1sin2 2 g xx （I）設是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 0 xx( )yf x 0 ()g x( )( )( )h xf xg x 解析：（I）由題設知 1 ( )1cos(2) 26 f xx 因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，即（） 0 xx( )yf x 0 2 6 x k 0 2 6 xkkZ 所以當為偶數(shù)時， 00

5、 11 ()1sin21sin( ) 226 g xxk k 0 113 ()1sin1 2644 g x 當為奇數(shù)時，k 0 115 ()1sin1 2644 g x （II） 11 ( )( )( )1 cos 21sin2 262 h xf xg xxx 131313 cos 2sin2cos2sin2 2622222 xxxx 13 sin 2 232 x 當，即（）時， 2 22 232 kxk 5 1212 kxk kZ 函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（） 13 ( )sin 2 232 h xx ( )h x 5 1212 kk ，kZ 2根據(jù)函數(shù)性質確定函數(shù)解析式 例 2

6、（江西）如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點，且該函數(shù)的最小正周 2cos()(0 0) 2 yxxR，y(03)， 期為 （1）求和的值； （2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是 0 2 A ，P 00 ()Q xy， 的 中 點 ， 當PA ，時，求的值 0 3 2 y 0 2 x ， 0 x 解 析 ： （ 1 ） 將，代 入 函 數(shù)0 x 3y 2cos()yx ， 因 3 cos 2 為，所以 0 2 6 由已知，且，得T 0 22 2 T （2）因為點，是的中點，所以點的坐標為 0 2 A ， 00 ()Q xy，PA 0 3 2 y P 0 23 2 x ， y x 3 O A P 又

7、因為點在的圖象上，且，所以，P 2cos 2 6 yx 0 2 x 0 53 cos 4 62 x ，從而得或，即或 0 7519 4 666 x 0 511 4 66 x 0 513 4 66 x 0 2 3 x 0 3 4 x 解析：本題主要考查三角函數(shù)圖象的性質以及識圖的能力.解決本題的關鍵是在于根據(jù)圖象性質確定所給函數(shù)中的參數(shù)的值，根據(jù)題 意圖象與軸相交于點建立等式關系憑借的限制條件就能確定的值；本題的第二問實際是已知三角函數(shù)值求角問題，利y(03)， 用中點公式借助點將點表示出來代入函數(shù)式，憑借特殊角的三角函數(shù)值求角即可. 00 ()Q xy，P 【相關高考 1】（遼寧）已知函數(shù)（其

8、中），（I）求函數(shù) 2 ( )sinsin2cos 662 x f xxxx R，0 的值域； （II）（文）若函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點間的距離為，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)( )f x( )yf x1y 2 ( )yf x 間 （理）若對任意的，函數(shù)，的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，試確定的值（不aR( )yf x(xaa，1y 必證明），并求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間( )yf xxR， 解析：（I） 3131 ( )sincossincos(cos1) 2222 f xxxxxx 由，得， 31 2sincos1 22 xx 2sin1 6 x 1sin1 6 x 32sin11 6 x 可知函數(shù)

9、的值域為( )f x 31 ， （II）（文）由題設條件及三角函數(shù)圖象和性質可知，的周期為，又由，得，即得；( )yf x0 2 2 于是有，再由，解得 ( )2sin 21 6 f xx 2 22 () 262 kxkkZ () 63 kxkkZ 所以的單調(diào)增區(qū)間為( )yf x 63 kk ，()kZ （理）由題設及三角函數(shù)圖象和性質可知，函數(shù)的周期為，而，則 xfy 0 2 即得，21) 6 2sin(2)( xxf 由解得，)( 2 2 6 2 2 2Zkkxk )( 66 Zkkxk 即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. xfy )( 6 , 6 Zkkk 【相關高考 2】（全國）在中，已知內(nèi)角

10、，邊設內(nèi)角，周長為ABCA 2 3BC Bxy （1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求函數(shù)的最大值( )yf x( )yf x 解 析 ： （ 1 ）的 內(nèi) 角 和， 由得 應 用 正 弦 定 理 ， 知ABCABC 00ABC ， 2 0B ，因為， 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A yABBCAC 所以， 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx （2）因為 ， 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx 所以，當，即時，取得最大值x x y6 3 3三角函數(shù)求值 例 3

11、（四川）已知 cos=,cos(-)，且 00，函數(shù) f(x)=2sinx 在上為增函數(shù)，那么的取值范圍是_ 4 , 3 答案：00, 3 2 6 6 3 2 0,-)，其圖象如圖所示。 2 2 (1)求函數(shù) y=f(x)在-，的表達式； 3 2 (2)求方程 f(x)=的解。 2 2 解 ： (1) 由 圖 象 知 A=1 ， T=4()=2 ， = 63 2 1 2 T 在 x-，時 6 3 2 將(，1)代入 f(x)得 f()=sin(+)=1 6 6 6 -=在-，時 f(x)=sin(x+)y=f(x)關于直線 x=-對稱在-，-時f(x)=-sinx 2 2 3 6 3 2 3 6 6 綜上 f(x)= x x sin ) 3 sin( 6 , 3 2 , 6 x x (2)f(x)= 在區(qū)間-，內(nèi)可得 x1= x2= - 2 2 6 3 2 12 5x 12 y=f(x)關于 x= - 對稱=- x4= -f(x)=的解為 x-,-,-, 6 4 4 3 2 2 4 3 4 12 12 5 24、將函數(shù)的圖像向右移個單位后，再作關于軸的對稱變換得到的函數(shù)的圖像，