2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 思想3.3 數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)案 文

1、思想3.3數(shù)字和形狀的結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想反映在每年的高考中。它常用于研究方程的根，討論函數(shù)的值域和變量的值域等。數(shù)字和形狀的組合對(duì)于這類內(nèi)容的選擇題和填空題尤其有效。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。以各種函數(shù)圖像和方程曲線為載體，考察數(shù)形結(jié)合的思想方法。以試題的形式，不僅僅是考試的次數(shù)，還會(huì)有許多小問題來檢驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思維方法。在復(fù)習(xí)中，我們要提高用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的意識(shí)，畫圖不要太粗心，要善于準(zhǔn)確地確定有特殊數(shù)或特殊點(diǎn)的圖形之間的位置關(guān)系。用表格幫助數(shù)字(用表格解決問題)借助圖形的生動(dòng)性和直觀性，闡述了數(shù)字與圖形的關(guān)系，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字，即以圖形為手段，以數(shù)字為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)

2、思想。數(shù)與形相結(jié)合的思想通過“用形幫助數(shù)，用數(shù)補(bǔ)充形”來簡(jiǎn)化復(fù)雜的問題和具體化抽象的問題。它能把抽象思維變成形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合。數(shù)字輔助表格(表格數(shù)字解)借助數(shù)字的精確性、規(guī)范性和嚴(yán)密性，闡述了形狀的一些屬性，即以數(shù)字為手段、以形狀為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想。1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：它包括“以形輔數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可分為兩種情況：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系，即以形為手段，以數(shù)為目的，如用函數(shù)的形象直觀地說明函數(shù)的本質(zhì)；其次，借助于數(shù)字的精確性和規(guī)范性，闡明了形狀的一些屬性，即以數(shù)字為手段，以形狀為目的，例如

3、，應(yīng)用曲線方程精確地闡明了曲線的幾何性質(zhì)。2.用數(shù)形結(jié)合的思想分析和解決問題應(yīng)遵循三個(gè)原則：(1)等價(jià)原則。當(dāng)組合數(shù)和形時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的變換必須是等價(jià)的，否則在解決問題時(shí)會(huì)有漏洞。有時(shí)，由于圖形的限制，數(shù)字的一般性不能完全表達(dá)出來。這時(shí)，圖形的本質(zhì)只能是一種直觀而簡(jiǎn)單的解釋，而應(yīng)該注意它的負(fù)面影響。(2)二元性原則。代數(shù)問題的幾何分析容易出錯(cuò)。(3)簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)字和形狀的組合”而組合數(shù)字和形狀。首先，考慮在具體應(yīng)用中是否可行和有益；第二，要選擇好突破口，正確設(shè)置參數(shù)，使用參數(shù)，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化工作；第三，要挖掘隱藏條件，準(zhǔn)確定義參數(shù)范圍，特別是在使用函數(shù)圖像時(shí)，要盡量選擇

4、移動(dòng)直線和確定二次曲線。3.數(shù)字和形狀相結(jié)合解決的問題通常如下：(1)建立函數(shù)模型，結(jié)合圖像計(jì)算參數(shù)取值范圍；(2)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)模型，用其圖像研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合圖像研究量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)造函數(shù)模型，研究函數(shù)的最大值，并根據(jù)其幾何意義證明不等式；(5)構(gòu)造實(shí)體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)造解析幾何中的斜率、截距、距離等模型來研究最大值問題；(7)建立方程模型，計(jì)算根數(shù)；(8)研究形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。4.數(shù)與形的結(jié)合主要有以下幾種5.數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題，特別是解決選擇題和填空題的常用方法和技巧，這就要求我們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高解題的能

5、力和速度。具體操作中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖像，注意函數(shù)的定義域；(2)用鏡像法討論方程(特別是帶參數(shù)的方程)解的個(gè)數(shù)是一種有效的方法。值得注意的是，方程兩邊的代數(shù)表達(dá)式應(yīng)被視為兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整以方便繪圖)，然后兩個(gè)函數(shù)的圖像由圖形生成和求解；(3)在解題中，探索解題思維時(shí)要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，不能用形狀的直覺代替相關(guān)的計(jì)算和推理。熱點(diǎn)分類突破第一類利用數(shù)形結(jié)合的思想討論方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)例1。讓域成為一個(gè)函數(shù)。如果方程有7個(gè)不同的實(shí)解，那么()A.6B.4或6C.6或2D.2分析：首先，這個(gè)方程有七個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。根據(jù)解析式畫出的圖像，可以得出方程有兩個(gè)不

6、等的實(shí)根，一個(gè)是4，另一個(gè)是存在的，可以解決這個(gè)問題。答案 D構(gòu)建不平等解決方案?！疽?guī)則概述】利用函數(shù)圖像討論方程(特別是具有指數(shù)、對(duì)數(shù)、根、三角形等參數(shù)的復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思維方法?；舅枷胧鞘紫葘⒎匠虄蛇叺拇鷶?shù)表達(dá)式視為兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(當(dāng)不熟悉時(shí)，需要通過適當(dāng)?shù)淖冃螌⑺鼈冝D(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中制作兩個(gè)函數(shù)圖像。圖像交點(diǎn)的數(shù)量是方程解的數(shù)量。用數(shù)形結(jié)合的方法求解方程解(或函數(shù)零點(diǎn))應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)在討論方程解(或函數(shù)零點(diǎn))時(shí)，可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為討論兩條曲線的交點(diǎn)。然而，用這種方法討論方程解時(shí)，我們必須注意圖像的準(zhǔn)確性和全面性，否則會(huì)得

7、到錯(cuò)誤的解。(2)制作兩種功能的正確圖像是解決這類問題的關(guān)鍵。通過類比2018安徽阜陽(yáng)一中二號(hào)模型如果點(diǎn)是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，線段恰好是原點(diǎn)，則稱之為兩個(gè)函數(shù)的一對(duì)“孿生點(diǎn)”。如果是這樣，這兩個(gè)函數(shù)的“孿生點(diǎn)”共享()A.右乙右丙右丁右回答乙類型2使用數(shù)字和形狀相結(jié)合的思想來解決不等式或找到參數(shù)范圍例2。2018安徽阜陽(yáng)一中第二模型據(jù)了解，如果方程有不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮饹Q議*、何時(shí)或規(guī)則摘要尋找參數(shù)范圍或解決不等式問題通常取決于函數(shù)的圖像。根據(jù)不等式中數(shù)量的特點(diǎn)，選擇兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖像的上下位置關(guān)系來轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往

8、可以避免繁瑣的運(yùn)算，得到簡(jiǎn)單的解。數(shù)形結(jié)合解不等式應(yīng)注意的問題：在求解帶參數(shù)的不等式時(shí)，往往需要對(duì)其進(jìn)行討論，這導(dǎo)致了繁瑣冗長(zhǎng)的運(yùn)算過程。如果問題與幾何圖形有關(guān)，可以用數(shù)形結(jié)合的方法順利解決。通過類比已知函數(shù)，其中如果有一個(gè)唯一的整數(shù)，則的值范圍是。(這是自然對(duì)數(shù)的基數(shù))回答resolution假設(shè)，從這個(gè)問題的意義來看，有一個(gè)唯一的整數(shù)，所以在這條直線下，在那個(gè)時(shí)候，在那個(gè)時(shí)候，g(x)0，在那個(gè)時(shí)候，取最小值，在那個(gè)時(shí)候，在那個(gè)時(shí)候，這條直線總是穿過不動(dòng)點(diǎn)，斜率是，所以它被解決了。類型3使用數(shù)字和形狀相結(jié)合的思想來尋找最大值“形”可以具體化一些抽象的問題，而“數(shù)”答案 D【定律概要】用數(shù)形

9、結(jié)合的思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：要透徹理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，分析數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論。它的幾何意義和代數(shù)意義；合理設(shè)置參數(shù)，合理建立關(guān)系，以數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)換；應(yīng)正確確定參數(shù)范圍。通過數(shù)字和形狀的組合找到最大值的方法步驟如下：第一步：分析數(shù)學(xué)特征，確定目標(biāo)問題的幾何意義。一般來說，從圖形結(jié)構(gòu)和幾何意義上分析代數(shù)表達(dá)式是否具有幾何意義；第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題，將代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為具有直觀幾何意義的幾何圖形，如y=kx b代表直線的斜率和直線在軸上的截距；(2)作為直線的斜率，它轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之和的連線的斜率，特別適合于固定點(diǎn)和移動(dòng)點(diǎn)(移動(dòng)

10、點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域內(nèi))的形式；或：它被認(rèn)為是兩點(diǎn)之間的距離和距離的平方；導(dǎo)數(shù)代表一點(diǎn)切線的斜率。其他具有幾何意義的概念可以用相關(guān)的幾何圖形直觀地進(jìn)行分析和判斷，例如：對(duì)于向量問題，可以考慮利用向量圖形的大小和方向以及向量運(yùn)算的幾何意義來構(gòu)造圖形，直觀地解決問題；復(fù)數(shù)與復(fù)平面中點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)可以將復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形。第三步：解決幾何問題；第四步：回歸代數(shù)問題；第五步：回顧和反思。將幾何意義與數(shù)、形結(jié)合起來解決問題，需要熟悉常見幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要包括：(1)的比值可以考慮直線的斜率；(2)在二元線性公式中可以考慮直線的截距；(3)根分?jǐn)?shù)可以考慮從點(diǎn)到直線的距離；(4)根公式可以考慮兩點(diǎn)之間的距

11、離。通過類比1.對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)，取三個(gè)值中的最小值，那么最大值是_ _ _ _ _ _ _ _。答案 3。類型4通過使用數(shù)與形相結(jié)合的思想來解決解析幾何中的問題例4。在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為，圓和圓是外切的，切點(diǎn)為。(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)讓一條平行于圓的直線在一點(diǎn)相交，并求出直線方程；(3)設(shè)定點(diǎn)滿意度：圓上有兩個(gè)和，這就形成了現(xiàn)實(shí)數(shù)字的取值范圍。試題分析：(1)切點(diǎn)在圓上，把它代入圓方程就可以得到。因?yàn)檫@兩個(gè)圓是外切的，在直線上，圓的半徑是0。因此，通過求解方程可以獲得中心坐標(biāo)，并且可以獲得圓方程。注意根的選擇。(2)這實(shí)際上是一個(gè)弦長(zhǎng)問題。根據(jù)垂直直徑定理，列出了等價(jià)關(guān)系：讓

12、直線方程為，然后，得到或。(3)有共同點(diǎn)，所以得到了解決方案。因此，實(shí)數(shù)的范圍是。注釋：確定圓的方程法：(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接計(jì)算圓心坐標(biāo)和半徑，然后寫出方程。(2)待定系數(shù)法(1)如果已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，讓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b和r的方程，然后計(jì)算a，b和r的值；如果在已知條件下沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，根據(jù)已知條件列出D、E和F的方程，從而得到D、E和F的值。在數(shù)與形的結(jié)合中，既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象探索，二者相輔相成。是d被稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，它是雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是上點(diǎn)和軸，穿過點(diǎn)的直線與點(diǎn)處的線段相交，與點(diǎn)處的軸相交，直線與點(diǎn)處的軸相交。如果是，偏心率為()A.不列顛哥倫比亞省回答答一般來說，“數(shù)形結(jié)合”的思想是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要途徑，它能使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、精確化、形象化。很好地運(yùn)用數(shù)與形的結(jié)合可以使我們更深刻、更準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)問題。1.在數(shù)學(xué)中，函數(shù)的圖像、方程的曲線、不等式表示的平面面積、向量的幾何意義和復(fù)數(shù)的幾何意義都實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法。當(dāng)試題中涉及到這些問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以通過圖形來分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的。2.對(duì)于一些圖形問題，我們不能簡(jiǎn)單地從圖形中看到問題的結(jié)論，因此有必要對(duì)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行分析，借助于數(shù)