2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 思想3.3 數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)案 文

1、思想3.3數(shù)字和形狀的結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想反映在每年的高考中。它常用于研究方程的根，討論函數(shù)的值域和變量的值域等。數(shù)字和形狀的組合對于這類內(nèi)容的選擇題和填空題尤其有效。數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。以各種函數(shù)圖像和方程曲線為載體，考察數(shù)形結(jié)合的思想方法。以試題的形式，不僅僅是考試的次數(shù)，還會有許多小問題來檢驗數(shù)形結(jié)合的思維方法。在復(fù)習(xí)中，我們要提高用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的意識，畫圖不要太粗心，要善于準(zhǔn)確地確定有特殊數(shù)或特殊點的圖形之間的位置關(guān)系。用表格幫助數(shù)字(用表格解決問題)借助圖形的生動性和直觀性，闡述了數(shù)字與圖形的關(guān)系，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字，即以圖形為手段，以數(shù)字為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)

2、思想。數(shù)與形相結(jié)合的思想通過“用形幫助數(shù)，用數(shù)補充形”來簡化復(fù)雜的問題和具體化抽象的問題。它能把抽象思維變成形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機結(jié)合。數(shù)字輔助表格(表格數(shù)字解)借助數(shù)字的精確性、規(guī)范性和嚴(yán)密性，闡述了形狀的一些屬性，即以數(shù)字為手段、以形狀為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想。1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：它包括“以形輔數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可分為兩種情況：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系，即以形為手段，以數(shù)為目的，如用函數(shù)的形象直觀地說明函數(shù)的本質(zhì)；其次，借助于數(shù)字的精確性和規(guī)范性，闡明了形狀的一些屬性，即以數(shù)字為手段，以形狀為目的，例如

3、，應(yīng)用曲線方程精確地闡明了曲線的幾何性質(zhì)。2.用數(shù)形結(jié)合的思想分析和解決問題應(yīng)遵循三個原則：(1)等價原則。當(dāng)組合數(shù)和形時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的變換必須是等價的，否則在解決問題時會有漏洞。有時，由于圖形的限制，數(shù)字的一般性不能完全表達出來。這時，圖形的本質(zhì)只能是一種直觀而簡單的解釋，而應(yīng)該注意它的負面影響。(2)二元性原則。代數(shù)問題的幾何分析容易出錯。(3)簡單性原則。不要為了“數(shù)字和形狀的組合”而組合數(shù)字和形狀。首先，考慮在具體應(yīng)用中是否可行和有益；第二，要選擇好突破口，正確設(shè)置參數(shù)，使用參數(shù)，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化工作；第三，要挖掘隱藏條件，準(zhǔn)確定義參數(shù)范圍，特別是在使用函數(shù)圖像時，要盡量選擇

4、移動直線和確定二次曲線。3.數(shù)字和形狀相結(jié)合解決的問題通常如下：(1)建立函數(shù)模型，結(jié)合圖像計算參數(shù)取值范圍；(2)構(gòu)造一個函數(shù)模型，用其圖像研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合圖像研究量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)造函數(shù)模型，研究函數(shù)的最大值，并根據(jù)其幾何意義證明不等式；(5)構(gòu)造實體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)造解析幾何中的斜率、截距、距離等模型來研究最大值問題；(7)建立方程模型，計算根數(shù)；(8)研究形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。4.數(shù)與形的結(jié)合主要有以下幾種5.數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題，特別是解決選擇題和填空題的常用方法和技巧，這就要求我們在日常學(xué)習(xí)中加強這方面的訓(xùn)練，提高解題的能

5、力和速度。具體操作中應(yīng)注意以下幾點：(1)準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖像，注意函數(shù)的定義域；(2)用鏡像法討論方程(特別是帶參數(shù)的方程)解的個數(shù)是一種有效的方法。值得注意的是，方程兩邊的代數(shù)表達式應(yīng)被視為兩個函數(shù)的表達式(有時可進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整以方便繪圖)，然后兩個函數(shù)的圖像由圖形生成和求解；(3)在解題中，探索解題思維時要運用數(shù)形結(jié)合的思想，不能用形狀的直覺代替相關(guān)的計算和推理。熱點分類突破第一類利用數(shù)形結(jié)合的思想討論方程的根和函數(shù)的零點例1。讓域成為一個函數(shù)。如果方程有7個不同的實解，那么()A.6B.4或6C.6或2D.2分析：首先，這個方程有七個不同的實數(shù)解。根據(jù)解析式畫出的圖像，可以得出方程有兩個不

6、等的實根，一個是4，另一個是存在的，可以解決這個問題。答案 D構(gòu)建不平等解決方案。【規(guī)則概述】利用函數(shù)圖像討論方程(特別是具有指數(shù)、對數(shù)、根、三角形等參數(shù)的復(fù)雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思維方法?；舅枷胧鞘紫葘⒎匠虄蛇叺拇鷶?shù)表達式視為兩個熟悉函數(shù)的表達式(當(dāng)不熟悉時，需要通過適當(dāng)?shù)淖冃螌⑺鼈冝D(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中制作兩個函數(shù)圖像。圖像交點的數(shù)量是方程解的數(shù)量。用數(shù)形結(jié)合的方法求解方程解(或函數(shù)零點)應(yīng)注意兩點：(1)在討論方程解(或函數(shù)零點)時，可以構(gòu)造兩個函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為討論兩條曲線的交點。然而，用這種方法討論方程解時，我們必須注意圖像的準(zhǔn)確性和全面性，否則會得

7、到錯誤的解。(2)制作兩種功能的正確圖像是解決這類問題的關(guān)鍵。通過類比2018安徽阜陽一中二號模型如果點是函數(shù)圖像上的點，線段恰好是原點，則稱之為兩個函數(shù)的一對“孿生點”。如果是這樣，這兩個函數(shù)的“孿生點”共享()A.右乙右丙右丁右回答乙類型2使用數(shù)字和形狀相結(jié)合的思想來解決不等式或找到參數(shù)范圍例2。2018安徽阜陽一中第二模型據(jù)了解，如果方程有不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答決議*、何時或規(guī)則摘要尋找參數(shù)范圍或解決不等式問題通常取決于函數(shù)的圖像。根據(jù)不等式中數(shù)量的特點，選擇兩個(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖像的上下位置關(guān)系來轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系來解決問題，往往

8、可以避免繁瑣的運算，得到簡單的解。數(shù)形結(jié)合解不等式應(yīng)注意的問題：在求解帶參數(shù)的不等式時，往往需要對其進行討論，這導(dǎo)致了繁瑣冗長的運算過程。如果問題與幾何圖形有關(guān)，可以用數(shù)形結(jié)合的方法順利解決。通過類比已知函數(shù)，其中如果有一個唯一的整數(shù)，則的值范圍是。(這是自然對數(shù)的基數(shù))回答resolution假設(shè)，從這個問題的意義來看，有一個唯一的整數(shù)，所以在這條直線下，在那個時候，在那個時候，g(x)0，在那個時候，取最小值，在那個時候，在那個時候，這條直線總是穿過不動點，斜率是，所以它被解決了。類型3使用數(shù)字和形狀相結(jié)合的思想來尋找最大值“形”可以具體化一些抽象的問題，而“數(shù)”答案 D【定律概要】用數(shù)形

9、結(jié)合的思想分析和解決問題時，要注意三點：要透徹理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，分析數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論。它的幾何意義和代數(shù)意義；合理設(shè)置參數(shù)，合理建立關(guān)系，以數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)換；應(yīng)正確確定參數(shù)范圍。通過數(shù)字和形狀的組合找到最大值的方法步驟如下：第一步：分析數(shù)學(xué)特征，確定目標(biāo)問題的幾何意義。一般來說，從圖形結(jié)構(gòu)和幾何意義上分析代數(shù)表達式是否具有幾何意義；第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題，將代數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為具有直觀幾何意義的幾何圖形，如y=kx b代表直線的斜率和直線在軸上的截距；(2)作為直線的斜率，它轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中兩點之和的連線的斜率，特別適合于固定點和移動點(移動

10、點在一個區(qū)域內(nèi))的形式；或：它被認(rèn)為是兩點之間的距離和距離的平方；導(dǎo)數(shù)代表一點切線的斜率。其他具有幾何意義的概念可以用相關(guān)的幾何圖形直觀地進行分析和判斷，例如：對于向量問題，可以考慮利用向量圖形的大小和方向以及向量運算的幾何意義來構(gòu)造圖形，直觀地解決問題；復(fù)數(shù)與復(fù)平面中點的一一對應(yīng)可以將復(fù)數(shù)的相關(guān)運算轉(zhuǎn)化為圖形。第三步：解決幾何問題；第四步：回歸代數(shù)問題；第五步：回顧和反思。將幾何意義與數(shù)、形結(jié)合起來解決問題，需要熟悉常見幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要包括：(1)的比值可以考慮直線的斜率；(2)在二元線性公式中可以考慮直線的截距；(3)根分?jǐn)?shù)可以考慮從點到直線的距離；(4)根公式可以考慮兩點之間的距

11、離。通過類比1.對于每個實數(shù)，取三個值中的最小值，那么最大值是_ _ _ _ _ _ _ _。答案 3。類型4通過使用數(shù)與形相結(jié)合的思想來解決解析幾何中的問題例4。在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為，圓和圓是外切的，切點為。(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)讓一條平行于圓的直線在一點相交，并求出直線方程；(3)設(shè)定點滿意度：圓上有兩個和，這就形成了現(xiàn)實數(shù)字的取值范圍。試題分析：(1)切點在圓上，把它代入圓方程就可以得到。因為這兩個圓是外切的，在直線上，圓的半徑是0。因此，通過求解方程可以獲得中心坐標(biāo)，并且可以獲得圓方程。注意根的選擇。(2)這實際上是一個弦長問題。根據(jù)垂直直徑定理，列出了等價關(guān)系：讓

12、直線方程為，然后，得到或。(3)有共同點，所以得到了解決方案。因此，實數(shù)的范圍是。注釋：確定圓的方程法：(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接計算圓心坐標(biāo)和半徑，然后寫出方程。(2)待定系數(shù)法(1)如果已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，讓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b和r的方程，然后計算a，b和r的值；如果在已知條件下沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，根據(jù)已知條件列出D、E和F的方程，從而得到D、E和F的值。在數(shù)與形的結(jié)合中，既要進行幾何直觀分析，又要進行代數(shù)抽象探索，二者相輔相成。是d被稱為坐標(biāo)原點，它是雙曲線的左焦點，雙曲線的左頂點和右頂點分別是上點和軸，穿過點的直線與點處的線段相交，與點處的軸相交，直線與點處的軸相交。如果是，偏心率為()A.不列顛哥倫比亞省回答答一般來說，“數(shù)形結(jié)合”的思想是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要途徑，它能使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、精確化、形象化。很好地運用數(shù)與形的結(jié)合可以使我們更深刻、更準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)問題。1.在數(shù)學(xué)中，函數(shù)的圖像、方程的曲線、不等式表示的平面面積、向量的幾何意義和復(fù)數(shù)的幾何意義都實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法。當(dāng)試題中涉及到這些問題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以通過圖形來分析這些數(shù)量關(guān)系，達到解題的目的。2.對于一些圖形問題，我們不能簡單地從圖形中看到問題的結(jié)論，因此有必要對圖形的個數(shù)進行分析，借助于數(shù)