2018高考數學二輪復習 思想3.3 數形結合思想教學案 文

1、思想3.3數字和形狀的結合數形結合的思想反映在每年的高考中。它常用于研究方程的根，討論函數的值域和變量的值域等。數字和形狀的組合對于這類內容的選擇題和填空題尤其有效。數形結合的重點是研究“以形助數”。以各種函數圖像和方程曲線為載體，考察數形結合的思想方法。以試題的形式，不僅僅是考試的次數，還會有許多小問題來檢驗數形結合的思維方法。在復習中，我們要提高用數形結合的思想解決問題的意識，畫圖不要太粗心，要善于準確地確定有特殊數或特殊點的圖形之間的位置關系。用表格幫助數字(用表格解決問題)借助圖形的生動性和直觀性，闡述了數字與圖形的關系，將圖形轉化為數字，即以圖形為手段，以數字為目的解決數學問題的數學

2、思想。數與形相結合的思想通過“用形幫助數，用數補充形”來簡化復雜的問題和具體化抽象的問題。它能把抽象思維變成形象思維，有助于把握數學問題的本質。它是數學的規(guī)律性和靈活性的有機結合。數字輔助表格(表格數字解)借助數字的精確性、規(guī)范性和嚴密性，闡述了形狀的一些屬性，即以數字為手段、以形狀為目的解決問題的數學思想。1.數形結合的數學思想：它包括“以形輔數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可分為兩種情況：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的關系，即以形為手段，以數為目的，如用函數的形象直觀地說明函數的本質；其次，借助于數字的精確性和規(guī)范性，闡明了形狀的一些屬性，即以數字為手段，以形狀為目的，例如

3、，應用曲線方程精確地闡明了曲線的幾何性質。2.用數形結合的思想分析和解決問題應遵循三個原則：(1)等價原則。當組合數和形時，代數性質和幾何性質的變換必須是等價的，否則在解決問題時會有漏洞。有時，由于圖形的限制，數字的一般性不能完全表達出來。這時，圖形的本質只能是一種直觀而簡單的解釋，而應該注意它的負面影響。(2)二元性原則。代數問題的幾何分析容易出錯。(3)簡單性原則。不要為了“數字和形狀的組合”而組合數字和形狀。首先，考慮在具體應用中是否可行和有益；第二，要選擇好突破口，正確設置參數，使用參數，建立關系，做好轉化工作；第三，要挖掘隱藏條件，準確定義參數范圍，特別是在使用函數圖像時，要盡量選擇

4、移動直線和確定二次曲線。3.數字和形狀相結合解決的問題通常如下：(1)建立函數模型，結合圖像計算參數取值范圍；(2)構造一個函數模型，用其圖像研究方程根的范圍；(3)構建函數模型，結合圖像研究量之間的大小關系；(4)構造函數模型，研究函數的最大值，并根據其幾何意義證明不等式；(5)構造實體幾何模型研究代數問題；(6)構造解析幾何中的斜率、截距、距離等模型來研究最大值問題；(7)建立方程模型，計算根數；(8)研究形狀、位置關系、性質等。4.數與形的結合主要有以下幾種5.數形結合思想是解決高考數學試題，特別是解決選擇題和填空題的常用方法和技巧，這就要求我們在日常學習中加強這方面的訓練，提高解題的能

5、力和速度。具體操作中應注意以下幾點：(1)準確繪制函數圖像，注意函數的定義域；(2)用鏡像法討論方程(特別是帶參數的方程)解的個數是一種有效的方法。值得注意的是，方程兩邊的代數表達式應被視為兩個函數的表達式(有時可進行適當的調整以方便繪圖)，然后兩個函數的圖像由圖形生成和求解；(3)在解題中，探索解題思維時要運用數形結合的思想，不能用形狀的直覺代替相關的計算和推理。熱點分類突破第一類利用數形結合的思想討論方程的根和函數的零點例1。讓域成為一個函數。如果方程有7個不同的實解，那么()A.6B.4或6C.6或2D.2分析：首先，這個方程有七個不同的實數解。根據解析式畫出的圖像，可以得出方程有兩個不

6、等的實根，一個是4，另一個是存在的，可以解決這個問題。答案 D構建不平等解決方案。【規(guī)則概述】利用函數圖像討論方程(特別是具有指數、對數、根、三角形等參數的復雜方程)的解的個數是一種重要的思維方法。基本思想是首先將方程兩邊的代數表達式視為兩個熟悉函數的表達式(當不熟悉時，需要通過適當的變形將它們轉化為兩個熟悉的函數)，然后在同一坐標系中制作兩個函數圖像。圖像交點的數量是方程解的數量。用數形結合的方法求解方程解(或函數零點)應注意兩點：(1)在討論方程解(或函數零點)時，可以構造兩個函數，從而將問題轉化為討論兩條曲線的交點。然而，用這種方法討論方程解時，我們必須注意圖像的準確性和全面性，否則會得

7、到錯誤的解。(2)制作兩種功能的正確圖像是解決這類問題的關鍵。通過類比2018安徽阜陽一中二號模型如果點是函數圖像上的點，線段恰好是原點，則稱之為兩個函數的一對“孿生點”。如果是這樣，這兩個函數的“孿生點”共享()A.右乙右丙右丁右回答乙類型2使用數字和形狀相結合的思想來解決不等式或找到參數范圍例2。2018安徽阜陽一中第二模型據了解，如果方程有不等的實數根，則實數的取值范圍為_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮饹Q議*、何時或規(guī)則摘要尋找參數范圍或解決不等式問題通常取決于函數的圖像。根據不等式中數量的特點，選擇兩個(或多個)函數，利用兩個函數圖像的上下位置關系來轉換數量關系來解決問題，往往

8、可以避免繁瑣的運算，得到簡單的解。數形結合解不等式應注意的問題：在求解帶參數的不等式時，往往需要對其進行討論，這導致了繁瑣冗長的運算過程。如果問題與幾何圖形有關，可以用數形結合的方法順利解決。通過類比已知函數，其中如果有一個唯一的整數，則的值范圍是。(這是自然對數的基數)回答resolution假設，從這個問題的意義來看，有一個唯一的整數，所以在這條直線下，在那個時候，在那個時候，g(x)0，在那個時候，取最小值，在那個時候，在那個時候，這條直線總是穿過不動點，斜率是，所以它被解決了。類型3使用數字和形狀相結合的思想來尋找最大值“形”可以具體化一些抽象的問題，而“數”答案 D【定律概要】用數形

9、結合的思想分析和解決問題時，要注意三點：要透徹理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，分析數學題目中的條件和結論。它的幾何意義和代數意義；合理設置參數，合理建立關系，以數思形，以形思數，做好數形轉換；應正確確定參數范圍。通過數字和形狀的組合找到最大值的方法步驟如下：第一步：分析數學特征，確定目標問題的幾何意義。一般來說，從圖形結構和幾何意義上分析代數表達式是否具有幾何意義；第二步：轉化為幾何問題，將代數表達式轉化為具有直觀幾何意義的幾何圖形，如y=kx b代表直線的斜率和直線在軸上的截距；(2)作為直線的斜率，它轉化為平面直角坐標系中兩點之和的連線的斜率，特別適合于固定點和移動點(移動

10、點在一個區(qū)域內)的形式；或：它被認為是兩點之間的距離和距離的平方；導數代表一點切線的斜率。其他具有幾何意義的概念可以用相關的幾何圖形直觀地進行分析和判斷，例如：對于向量問題，可以考慮利用向量圖形的大小和方向以及向量運算的幾何意義來構造圖形，直觀地解決問題；復數與復平面中點的一一對應可以將復數的相關運算轉化為圖形。第三步：解決幾何問題；第四步：回歸代數問題；第五步：回顧和反思。將幾何意義與數、形結合起來解決問題，需要熟悉常見幾何結構的代數形式，主要包括：(1)的比值可以考慮直線的斜率；(2)在二元線性公式中可以考慮直線的截距；(3)根分數可以考慮從點到直線的距離；(4)根公式可以考慮兩點之間的距

11、離。通過類比1.對于每個實數，取三個值中的最小值，那么最大值是_ _ _ _ _ _ _ _。答案 3。類型4通過使用數與形相結合的思想來解決解析幾何中的問題例4。在平面直角坐標系中，已知圓的半徑為，圓和圓是外切的，切點為。(1)求圓的標準方程；(2)讓一條平行于圓的直線在一點相交，并求出直線方程；(3)設定點滿意度：圓上有兩個和，這就形成了現(xiàn)實數字的取值范圍。試題分析：(1)切點在圓上，把它代入圓方程就可以得到。因為這兩個圓是外切的，在直線上，圓的半徑是0。因此，通過求解方程可以獲得中心坐標，并且可以獲得圓方程。注意根的選擇。(2)這實際上是一個弦長問題。根據垂直直徑定理，列出了等價關系：讓

12、直線方程為，然后，得到或。(3)有共同點，所以得到了解決方案。因此，實數的范圍是。注釋：確定圓的方程法：(1)直接法：根據圓的幾何性質，直接計算圓心坐標和半徑，然后寫出方程。(2)待定系數法(1)如果已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，讓圓的標準方程根據已知條件列出關于a，b和r的方程，然后計算a，b和r的值；如果在已知條件下沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，根據已知條件列出D、E和F的方程，從而得到D、E和F的值。在數與形的結合中，既要進行幾何直觀分析，又要進行代數抽象探索，二者相輔相成。是d被稱為坐標原點，它是雙曲線的左焦點，雙曲線的左頂點和右頂點分別是上點和軸，穿過點的直線與點處的線段相交，與點處的軸相交，直線與點處的軸相交。如果是，偏心率為()A.不列顛哥倫比亞省回答答一般來說，“數形結合”的思想是解決許多數學問題的重要途徑，它能使抽象的數學問題具體化、精確化、形象化。很好地運用數與形的結合可以使我們更深刻、更準確地理解數學問題。1.在數學中，函數的圖像、方程的曲線、不等式表示的平面面積、向量的幾何意義和復數的幾何意義都實現(xiàn)了數形結合的方法。當試題中涉及到這些問題的數量關系時，我們可以通過圖形來分析這些數量關系，達到解題的目的。2.對于一些圖形問題，我們不能簡單地從圖形中看到問題的結論，因此有必要對圖形的個數進行分析，借助于數