第六章《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》課件.ppt

1、第六章 參數(shù)估計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大 綱 要 求,一、理解點估計的概念. 二、了解估計量的評選標準（無偏性、有效性、一致性） 三、掌握矩估計法和極大似然估計法. 四、理解區(qū)間估計的概念. 五、會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間. 六、了解兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.,學 習 內(nèi) 容,6.1 參數(shù)的點估計 6.2 衡量點估計量好壞的標準 6.3 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 6.4 兩個正態(tài)總體均值差與方差比 的區(qū)間估計,數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)之一是依據(jù)樣本推斷總體.推斷的基本內(nèi)容包括兩個方面:一是依據(jù)樣本尋找總體未知參數(shù)的近似值和近似范圍;二

2、是依據(jù)樣本對總體未知參數(shù)的某種假設(shè)作出真?zhèn)闻袛?本章先介紹求近似值和近似范圍的方法.,XP(), XE(), XN(,2),用所獲得的樣本值去估計參數(shù)取值稱為參數(shù)估計.,點估計 區(qū)間估計,在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的區(qū)間,6.1 參數(shù)的點估計,參數(shù)估計,用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值,1. 點估計,定義 設(shè)總體X分布函數(shù)為F(x;1,2,m), i為未知 參數(shù)(i=1,2,m), X1,X2,Xn 為來自該總體的s.r.s,若以 統(tǒng)計量 =i(x1,x2,xn) 作為i的近似值,則稱 為i 的估計值(抽樣后),也稱 為i的估計量(抽樣前).由于近似 值(實數(shù))與實數(shù)軸的點一一對應(yīng),姑且又稱 為

3、i的點估計 量（或值).,X分布為F(x;)待估,選擇統(tǒng)計量,估計量,帶入樣本值,估計值,即:,2. 點估計的方法,一、 矩估計法,將總體的各階原點矩用相應(yīng)階的樣本原點矩替代，布列方程組或方程，所得到的解，作為總體未知參數(shù)的點估計值。,例1 設(shè)總體X在區(qū)間0， 上服從均勻分布，其中 0 是未知參數(shù), 如果取得樣本觀測值為 求 的矩估計值,解：因為總體X的概率密度 總體X的一階原點矩 ， 樣本一階原點矩 由矩估計值方法得 所以得到 的矩估計量 而 的矩估計值就是,解： 因為總體X的分布中有兩個未知參數(shù)，所以應(yīng)考慮一、二階原點矩，我們有 由矩估計值方法得 所以得到矩估計量 而矩估計值是,例2 設(shè)總

4、體 ,其中 及 都是未知參數(shù)，如 果取得樣本觀測值為 求 及 的矩估計值。,（1）基本思想 甲乙兩人比較射擊技術(shù)，分別射擊目標一次，甲中而乙未中，可 以認為：甲射擊技術(shù)優(yōu)于乙射擊技術(shù)。 事件A發(fā)生的概率為0.1或0.9，觀察一次，事件A發(fā)生了，可以認 為：事件A發(fā)生的概率為0.9。 實際問題(醫(yī)生看病、公安人員破案、技術(shù)人員進行質(zhì)量檢驗等)盡管千差萬別,但他們具有一個共同的規(guī)律,即在獲得了觀察資料之后,給參數(shù)選取一個數(shù)值,使得前面的觀察結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大.,二、 最大似然估計法,（2） 似然函數(shù) 設(shè)總體X為連續(xù)型,Xf(x;1,2,m), i為待 估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為

5、來自該總體的s.r.s, 則（X1,X2,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為 如果,設(shè)總體X為離散型,P(X=x)=P(x;1,m),i為待估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來自該總體的s.r.s,則 P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m) （X1,X2,Xn）的似然函數(shù)為,如 XP(),即,樣本觀察值出現(xiàn)可能性的大小跟似然函數(shù)在該樣本值處的函數(shù)值有關(guān), L越大, 樣本觀察值越可能出現(xiàn).,若似然函數(shù) 在 取到最大值,則稱 分別為 的 最大似然估計.,（3）方法與步驟,（2）寫出對數(shù)似然函數(shù)(對似然函數(shù)求導),（3）寫出似然方程,（4）求解似然方程并寫出估計量,(只有一個待

6、估參數(shù)時求 ),例 3 求參數(shù)為p的0-1分布的最大似然估計.,P(X=0)=1-p P(X=1)=p,P(X=x)=px(1-p)1-x ( x=0,1),解得,最大似然估計為,例4. XN(,2),求參數(shù),2的最大似然估計.,解:,例5. 設(shè)X服從0,區(qū)間上的均勻分布,參數(shù) 0,求的最大似然估計.,解:由題意得:,無解.,考慮L的取值,要使L取值最大,應(yīng)最小,取,此時,L取值最大,所以,所求最大似然估計為,應(yīng)用最大似然估計基本思想: L越大,樣本觀察值越可能出現(xiàn).,6.2 衡量點估計量好壞的標準,設(shè) 為的一個點估計,若 則稱 為的一個無偏估計.,容易明白,對同一個未知參數(shù),采用不同的方法找

7、到的點估計可能不同,那么,自然要問:究竟是用哪一個更“好”些呢?這里介紹三個評價標準.,標準一:,注意:無偏估計不是唯一存在.,設(shè)總體X的均值和方差分別為： 則 （1）樣本均值 是總體均值 的無偏估計量； （2）樣本方差 是總體方差 的無偏估計量。,兩個重要結(jié)論,設(shè) 和 是 的兩個無偏估計,若 ，則稱 比 更有效,設(shè)統(tǒng)計量 是未知參數(shù) 的點估計量，樣本 容量為 n ，若對任意 則稱 為 的一致估計.,兩個重要結(jié)論 （1）設(shè)總體X的均值 ，方差 則樣本均值 是總體均值 的一致估計量。 （2）樣本方差 是總體方差 的一致估計量。,點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點,但它并沒有提供關(guān)于估計精度的任何信息,

8、為此提出了未知參數(shù)的區(qū)間估計法.,如:對明年小麥的畝產(chǎn)量作出估計為:,若設(shè)X表示明年畝產(chǎn)量,則估計結(jié)果為,P(800X1000)=80%,明年小麥畝產(chǎn)量八成為800-1000斤.,6.3 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計,區(qū)間估計,1. 區(qū)間估計的定義,設(shè)總體分布中含有未知參數(shù) ,根據(jù)來自該總體的s.r.s , 如果能夠找到兩個統(tǒng)計量 ,使得隨機區(qū)間 包含 達到一定的把握,那么,便稱該隨機區(qū)間為未知參 數(shù)的區(qū)間估計.即 當 成立時, 稱概率 為置信度或置信水平; 稱區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間; 分別稱為置信下限和置信上限.,注意:點估計給出的是未知參數(shù)的一個近似值;區(qū)間估計給出的是未知參數(shù)的一個近

9、似范圍,并且知道這個范圍包含未知參數(shù)值的可靠程度.,說法1: 以概率 包含 ; 說法2: 以概率 落入 ; 說法3: 不包含 的概率為 ; 說法4: 以 的概率落在 之外;,例 2 . 設(shè)總體XN(,2),其中 2已知, X1,X2,Xn為X 的 一個樣本,求一個區(qū)間,使之以1-的 概率 包含的真值.,解:(1)選擇包含的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造Z的 一個1-區(qū)間:,不妨設(shè),即,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,所求1-置信區(qū)間為,P(|Z|)=1-,/2,/2,1-,=z/2,-,P(|Z|)=1-,置信區(qū)間不是唯一的.對于同一個置信度,可以有不同的置信區(qū)間.置信度相同時,當然置信區(qū)間越短越

10、好.一般來說,置信區(qū)間取成對稱區(qū)間.,注意:,2. 求置信區(qū)間的方法與步驟:,第一步 構(gòu)造一個含未知參數(shù)的分布已知的隨機變量(樣本的函數(shù))Z,Z中除待估參數(shù)外不含其它任何未知參數(shù),一般是從未知參數(shù)的點估計著手,再進行加工來構(gòu)造;,第二步 對給定的置信度 ,根據(jù)Z的分布定出滿足 的a,b(叫分位數(shù)或臨界點);,第三步 利用不等式變形,求出未知參數(shù)的 置信區(qū)間.,3.單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計:,(1)選擇包含的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造Z的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,1）2已知,求的置信度為1-置信區(qū)間：,例 3.

11、 設(shè)總體XN(,0.92),X1,X2,X 9為來自總體的簡單隨 機樣本，樣本均值為5，求的置信度為95%的置信區(qū)間。,解:由題意得:,這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計，結(jié)果為,其中,n=9,z0.025=1.96,代入得,4.412,5.588,所求置信區(qū)間為,(4.412，5.588),設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,2）2未知,求的置信度為1-置信區(qū)間：,(1)選擇包含的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造T的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1-,設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,3）求2置信度為1-的置信區(qū)間：,總體均值 已

12、知， 由定理3知，樣本函數(shù) 選取 ，使得 所以,即：,的置信水平為 的置信區(qū)間為：,(a)選擇包含2的分布已知函數(shù):,(c)變形得到2的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(b)構(gòu)造 的 一個1-區(qū)間:,總體均值 未知，則 的置信區(qū)間,6.4 兩個正態(tài)總體均值差 與方差比的區(qū)間估計,1.兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計:,設(shè)原總體XN(1,12),改變后的總體Y N(2,22),X, Y相互獨立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為,1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含1- 2的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造Z的 一個1-區(qū)間:,

13、(3)變形得到1- 2的1-置信區(qū)間:,2) 12=22=2, 2未知,1- 2的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含1- 2的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造T的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到1- 2的1-置信區(qū)間:,2. 兩個正態(tài)總體方差比 12/22的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含12/22 的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造F的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到12/22 的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,(1),(2),(1)選擇包含12/22 的分布已知函數(shù):,(2)構(gòu)造F的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到12/22 的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,實際操作起來,依據(jù)樣本,按照第三步求出的 置信區(qū)間,查出分位數(shù),算得上下限,最后寫出數(shù)值區(qū)間,單正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計,雙