第五章 S域分析.ppt

1、電子與信息工程學院,第五章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析,5.2 拉普拉斯變換的性質,電子與信息工程學院,目 錄,連續(xù)系統(tǒng)的S域分析,目 錄,電子與信息工程學院,引言,電子與信息工程學院,上一章的頻域分析是以虛指數信號ejt為基本信號。 任意信號可分解為若干不同頻率的虛指數分量之和，使響應的求解得到簡化。其物理意義清楚，但也有不足： （1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t); （2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。,本章引入 以復指數函數est為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數分量之和。使用復頻率s進行系統(tǒng)分析，稱為s域分析。所采用的數學工具為拉普拉斯變換。 這樣，頻域的傅

2、里葉變換就推廣到了復頻域的拉普拉斯變換。,復頻率 s = +j,一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 二、收斂域 三、因果信號的單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系,5.1 拉普拉斯變換,頻譜函數,一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換,存在問題,階躍函數的 傅里葉變換難以用上式求出；而指數增長函數 不存在傅里葉變換,解決辦法,衰減因子 (為實常數）乘信號f(t),使 在 時，趨于0，從而存在傅里葉變換,相應的傅里葉逆變換為,令 ,則 ,得,雙邊拉普拉斯變換對,稱為 的雙邊拉普拉斯變換（或象函數） 稱為 的雙邊拉普拉斯逆變換（或原函數）,二、收斂域,選擇 值，使雙邊拉普拉斯變換的積分收斂 例1 因果信號f1(t)

3、= et (t) ，求拉氏變換,可見，對于因果信號，僅當Res=時，其拉氏變換存在。,收斂域,收斂邊界,收斂域如圖所示,例2 反因果信號f2(t)= et(-t) ，求拉氏變換。,可見，對于反因果信號，僅當Res=時，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。,例3 典型信號的雙邊拉普拉斯變換,Res= 2,Res= 3, 3 2,f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),注：雙邊拉普拉斯變換必須指明收斂域,單邊拉氏變換,典型信號的拉氏變換,1、,2、,3、,4、,5、,三、因果信號的

4、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系,00 F(j)不存在.,5.2 拉普拉斯變換的性質,目 錄,電子與信息工程學院,5.2 拉普拉斯變換性質,線性性質 尺度變換 時移特性 復頻移特性 時域微分 時域積分,卷積定理 s域微分 s域積分 初值定理 終值定理,一、線性性質,若f1(t)F1(s) Res1 f2(t)F2(s) Res2 則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2),二、尺度變換,若 , Res0，且有實數a0 ，,則,三、時移特性,若f(t) F(s) , Res0, 且有實常數t00 , 則f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) ,

5、Res0,與尺度變換相結合,四、復頻移（s域平移）特性,若f(t) F(s) , Res0 , 且有復常數sa=a+ja, 則f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,五、時域的微分特性（微分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 則f(t) sF(s) f(0-),六、時域積分特性（積分定理）,七、卷積定理,時域卷積定理,復頻域（s域）卷積定理,八、s域微分和積分,若f(t) F(s) , Res0, 則,若因果函數 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),九、初值定理和終值定理,由F(

6、s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函數f(t).,初值定理,設函數f(t)不含(t)及其各階導數（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則,終值定理,若f(t)當t 時存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，則,舉例,例4：,例5：,目 錄,電子與信息工程學院,一、逆變換方法 : （1）查表 （2）利用性質 （3） 部分分式展開 -結合,若象函數F(s)是 s的有理分式：,若mn,例6：,二、零點和極點,若mn,零點,極點,三、部分分式展開法,單階實數極點,例7：,共軛復數極點,重根,的求法,左=-3,目 錄,電子與信息工程學院,一、微分方程,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-),利用拉氏變換求解：,s域的代數方程,若f (t)在t = 0時接入系統(tǒng)，則 f (j)(t) s j F(s),y(t)， yzi(t)， yzs(t),例8 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t) 已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵f (t) = 5cost(t)， 求系統(tǒng)的全響應y(t),解： 方程取拉氏變換，并整理得,Yzi(s),Yzs(s),二、系統(tǒng)函數,它只與系統(tǒng)的結構、元件參數有關，而與激勵、初始狀態(tài)無