第五章 S域分析.ppt

1、電子與信息工程學(xué)院,第五章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析,5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì),電子與信息工程學(xué)院,目 錄,連續(xù)系統(tǒng)的S域分析,目 錄,電子與信息工程學(xué)院,引言,電子與信息工程學(xué)院,上一章的頻域分析是以虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)。 任意信號(hào)可分解為若干不同頻率的虛指數(shù)分量之和，使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化。其物理意義清楚，但也有不足： （1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2t(t); （2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。,本章引入 以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。使用復(fù)頻率s進(jìn)行系統(tǒng)分析，稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。 這樣，頻域的傅

2、里葉變換就推廣到了復(fù)頻域的拉普拉斯變換。,復(fù)頻率 s = +j,一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 二、收斂域 三、因果信號(hào)的單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系,5.1 拉普拉斯變換,頻譜函數(shù),一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換,存在問(wèn)題,階躍函數(shù)的 傅里葉變換難以用上式求出；而指數(shù)增長(zhǎng)函數(shù) 不存在傅里葉變換,解決辦法,衰減因子 (為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t),使 在 時(shí)，趨于0，從而存在傅里葉變換,相應(yīng)的傅里葉逆變換為,令 ,則 ,得,雙邊拉普拉斯變換對(duì),稱為 的雙邊拉普拉斯變換（或象函數(shù)） 稱為 的雙邊拉普拉斯逆變換（或原函數(shù)）,二、收斂域,選擇 值，使雙邊拉普拉斯變換的積分收斂 例1 因果信號(hào)f1(t)

3、= et (t) ，求拉氏變換,可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Res=時(shí)，其拉氏變換存在。,收斂域,收斂邊界,收斂域如圖所示,例2 反因果信號(hào)f2(t)= et(-t) ，求拉氏變換。,可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Res=時(shí)，其拉氏變換存在。 收斂域如圖所示。,例3 典型信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換,Res= 2,Res= 3, 3 2,f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),注：雙邊拉普拉斯變換必須指明收斂域,單邊拉氏變換,典型信號(hào)的拉氏變換,1、,2、,3、,4、,5、,三、因果信號(hào)的

4、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系,00 F(j)不存在.,5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì),目 錄,電子與信息工程學(xué)院,5.2 拉普拉斯變換性質(zhì),線性性質(zhì) 尺度變換 時(shí)移特性 復(fù)頻移特性 時(shí)域微分 時(shí)域積分,卷積定理 s域微分 s域積分 初值定理 終值定理,一、線性性質(zhì),若f1(t)F1(s) Res1 f2(t)F2(s) Res2 則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2),二、尺度變換,若 , Res0，且有實(shí)數(shù)a0 ，,則,三、時(shí)移特性,若f(t) F(s) , Res0, 且有實(shí)常數(shù)t00 , 則f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) ,

5、Res0,與尺度變換相結(jié)合,四、復(fù)頻移（s域平移）特性,若f(t) F(s) , Res0 , 且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja, 則f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,五、時(shí)域的微分特性（微分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 則f(t) sF(s) f(0-),六、時(shí)域積分特性（積分定理）,七、卷積定理,時(shí)域卷積定理,復(fù)頻域（s域）卷積定理,八、s域微分和積分,若f(t) F(s) , Res0, 則,若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),九、初值定理和終值定理,由F(

6、s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函數(shù)f(t).,初值定理,設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則,終值定理,若f(t)當(dāng)t 時(shí)存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，則,舉例,例4：,例5：,目 錄,電子與信息工程學(xué)院,一、逆變換方法 : （1）查表 （2）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開 -結(jié)合,若象函數(shù)F(s)是 s的有理分式：,若mn,例6：,二、零點(diǎn)和極點(diǎn),若mn,零點(diǎn),極點(diǎn),三、部分分式展開法,單階實(shí)數(shù)極點(diǎn),例7：,共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),重根,的求法,左=-3,目 錄,電子與信息工程學(xué)院,一、微分方程,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-),利用拉氏變換求解：,s域的代數(shù)方程,若f (t)在t = 0時(shí)接入系統(tǒng)，則 f (j)(t) s j F(s),y(t)， yzi(t)， yzs(t),例8 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t) 已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)f (t) = 5cost(t)， 求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),解： 方程取拉氏變換，并整理得,Yzi(s),Yzs(s),二、系統(tǒng)函數(shù),它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)