第1章建立數(shù)學(xué)模型.ppt

1、第一章建立數(shù)學(xué)模型，1.1從真實(shí)物體到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的意義1.3數(shù)學(xué)建模的例子1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特征和分類(lèi)1.6如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，玩具，照片，飛機(jī)，火箭模型，物理模型，水箱中的船，風(fēng)洞中的飛機(jī)，物理模型，地圖，電路圖，分子結(jié)構(gòu)圖，符號(hào)模型，以及模型是為了某種目的而簡(jiǎn)化，抽象和提煉一部分客觀事物的原型的替代品。模型反映了人們?cè)谠椭行枰奶卣鳌?.1從實(shí)物到數(shù)學(xué)模型，我們常見(jiàn)的模型，你們遇到的數(shù)學(xué)模型，“航行問(wèn)題”，用X表示船速，用Y表示船速，并列出方程式：甲：船速為20公里/小時(shí)，甲、乙雙方的距離為750公里。船舶從甲方航行到乙方需要30小時(shí)，逆水航行需要50小

2、時(shí)。這艘船的速度是多少？X=20 y=5，建立航行問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本步驟，并作出簡(jiǎn)化假設(shè)(船速和水速是常數(shù))；用符號(hào)表示相關(guān)量(x，y代表船速和水速)；用物理學(xué)定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間)來(lái)列出數(shù)學(xué)公式(二元線(xiàn)性方程)；得到數(shù)學(xué)解(x=20，y=5)；回答原來(lái)的問(wèn)題(船的速度是20公里/小時(shí))。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模，對(duì)于一個(gè)真實(shí)的對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，并使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程(包括表達(dá)、求解、解釋、檢驗(yàn)等。)，數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模，1.2數(shù)學(xué)建模的意義，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展；數(shù)學(xué)以前所未有的廣度和深度滲透

3、到所有領(lǐng)域。人們?cè)絹?lái)越重視數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模在一般工程和技術(shù)領(lǐng)域仍然有很大的用處。數(shù)學(xué)建模幾乎是高科技領(lǐng)域不可或缺的工具；數(shù)學(xué)進(jìn)入了一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的三大應(yīng)用領(lǐng)域：數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用，分析與設(shè)計(jì)，預(yù)測(cè)與決策，控制與優(yōu)化，規(guī)劃與管理，數(shù)學(xué)建模，計(jì)算機(jī)技術(shù)，知識(shí)經(jīng)濟(jì)，1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例，1.3.1四腿椅能在不平的地面上穩(wěn)定嗎，問(wèn)題分析，模型假設(shè)，通常三只腳接觸地面，四只腳穩(wěn)定地接觸地面，四只腳接觸地面，地面高度不斷變化，可視為數(shù)學(xué)連續(xù)面；地面相對(duì)平坦，因此椅子至少有三英尺可以同時(shí)接觸地面的任何位置。椅子位置和四只腳落地之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)。椅子位置由正方形的對(duì)稱(chēng)

4、性(椅子腳的連線(xiàn))和對(duì)角線(xiàn)與X軸之間的角度來(lái)表示。距離是一個(gè)函數(shù)，四個(gè)距離(四英尺)，A和C英尺與地面之間的距離之和(F)，以及B和D英尺與地面之間的距離之和(G)。正方形ABCD圍繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，椅子位置和四英尺落地之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示。f()和G()是連續(xù)函數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)，F(xiàn)()和G()中至少有一個(gè)是0。數(shù)學(xué)問(wèn)題，眾所周知，F(xiàn)()和G()是連續(xù)函數(shù)；F() g()=0表示任何。g(0)=0，f(0) 0。證明了存在0，所以f(0)=g(0)=0。模型是由地面構(gòu)成的，地面是一個(gè)連續(xù)的曲面，椅子在任何位置至少有三英尺接觸地面。對(duì)模型進(jìn)行了求解，給出了一種簡(jiǎn)單而粗略的證明方法，即將椅子旋轉(zhuǎn)90

5、0，對(duì)角的交流和直流互換。從g(0)=0，f(0) 0，f(/2)=0，g(/2)0。讓h()=f()g()，然后h(0)0和h(/2)0。從F和G的連續(xù)性，我們知道H是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)，因此，f(0)=g(0)=0。評(píng)論和思考，建模的關(guān)鍵，假設(shè)的本質(zhì)和非本質(zhì)，四腿矩形椅子的研究，f()的確定，g()的確定，1.3.2商人如何安全過(guò)河，問(wèn)題(拼圖游戲)，三個(gè)商人和三個(gè)跟隨者，以及跟隨者在河中的秘密，問(wèn)題分析，多步?jīng)Q策過(guò)程，決策的每一步(從甲到乙，或從乙到甲)，船上的人員， 在安全的前提下(海峽兩岸追隨者的數(shù)量不超過(guò)商人的數(shù)量)，讓所有的工作人員通過(guò)有限的步驟從甲到乙過(guò)河。A，B，模型

6、組成，xk渡河前A岸上的交易者數(shù)量，yk渡河前A岸上的追隨者數(shù)量。K=1，2，SK=(xk，yk)，S=(x，y) x=0，y=0，1，2，3；x=3，y=0，1，2，3；X=y=1，2，S允許狀態(tài)集，在英國(guó)的第kth渡輪上的商數(shù)，在vk的第kth渡輪上的追隨者數(shù)，dk=(英國(guó)，vk)決策，D=(u，v) u v=1，2允許決策集，英國(guó)，vk=0，1，2；K=1，2，sk 1=sk dk，(-1)k，狀態(tài)轉(zhuǎn)移定律，dkD(k=1，2，n)，skS，并根據(jù)從s1=(3，3)到sn 1=(0，0)的轉(zhuǎn)移定律，多步?jīng)Q策問(wèn)題，模型求解，窮舉法K奇，向左下移；k偶數(shù)，向右移動(dòng)。s1，sn 1，d1，d1

7、1給出一個(gè)安全的過(guò)江方案，注釋和思考，標(biāo)準(zhǔn)化的方法，便于推廣，考慮到四個(gè)商人各帶一個(gè)跟隨者的情況，允許狀態(tài)，S=(x，y) x=0，y=0，1，2，3；x=3，y=0，1，2，3；X=y=1，2，模型是原型的替代品，原型是為了某種目的從一部分客觀事物中簡(jiǎn)化、抽象和提煉出來(lái)的。1.1從真實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型：根據(jù)真實(shí)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律為特定目的做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，并使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具獲得數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程，第一章建立數(shù)學(xué)模型，1.2數(shù)學(xué)建模的意義，數(shù)學(xué)建模在一般工程技術(shù)領(lǐng)域中仍然非常有用；數(shù)學(xué)建模幾乎是高科技領(lǐng)域不可或缺的工具；數(shù)學(xué)進(jìn)入了一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處

8、女地。，數(shù)學(xué)建模的3個(gè)主要應(yīng)用領(lǐng)域：具體應(yīng)用方面：分析與設(shè)計(jì)，預(yù)測(cè)與決策，控制與優(yōu)化，規(guī)劃與管理，1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例，1.3.1四腿椅能在不平的地面上穩(wěn)定嗎，1.3.2商人如何安全過(guò)河，關(guān)鍵是形成一個(gè)數(shù)學(xué)證明問(wèn)題，確定f()和g()決策量dk=(uk，vk)，形成一個(gè)多步?jīng)Q策問(wèn)題，背景，世界人口增長(zhǎng)概況， 中國(guó)人口增長(zhǎng)概況，研究人口變化規(guī)律，控制人口過(guò)度增長(zhǎng)，1.3.3如何預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)，馬爾薩斯(1798)提出的指數(shù)增長(zhǎng)模型，常用的計(jì)算公式，在x(t)時(shí)間t的人口，以及3360人口的基本假設(shè)。今年的人口x0，年增長(zhǎng)率r，k年后的人口，隨著時(shí)間的增加，人口按照指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。 指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)

9、用和局限性可以用來(lái)預(yù)測(cè)短期的人口增長(zhǎng)，但不能預(yù)測(cè)長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程。人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后增長(zhǎng)率下降的原因是：(1)資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯；隨著人口的增加，發(fā)育遲緩變大。假設(shè)r (x)的固有增長(zhǎng)率很小，xm(資源和環(huán)境所能容納的最大數(shù)量)的人口容量，x(t)S的曲線(xiàn)，x的增長(zhǎng)是先快后慢，而增長(zhǎng)阻滯模型(Logistic模型)，參數(shù)估計(jì)，要用指數(shù)增長(zhǎng)模型或增長(zhǎng)阻滯模型進(jìn)行人口預(yù)測(cè)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r。(1)利用現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合，例如，美國(guó)的人口數(shù)據(jù)(以百萬(wàn)計(jì))；(2)專(zhuān)家估計(jì)，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，給出一些估計(jì)值，分塊增長(zhǎng)模型(Logistic模型)，模型檢驗(yàn)，利用該模型計(jì)算

10、出美國(guó)2000年的人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)相比，實(shí)際為2.814億(百萬(wàn))，并將該模型應(yīng)用于預(yù)測(cè)美國(guó)2010年的人口。在加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)，邏輯斯蒂模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的銷(xiāo)售量)，阻塞增長(zhǎng)模型(Logistic模型)，數(shù)學(xué)建模的基本方法，機(jī)理分析，檢驗(yàn)分析，根據(jù)對(duì)客觀事物特征的理解找出反映內(nèi)在機(jī)理的定量規(guī)律，把對(duì)象作為一個(gè)“黑箱”，通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析找出最適合數(shù)據(jù)的模型，而機(jī)理分析是不統(tǒng)一的。以下建模主要是指機(jī)理分析。將二者結(jié)合起來(lái)，通過(guò)機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，通過(guò)試驗(yàn)分析確定模型參數(shù)，1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，數(shù)學(xué)建模的一般步驟，模型的準(zhǔn)確準(zhǔn)備，了解實(shí)際背景

11、，明確建模目的，收集相關(guān)信息，掌握對(duì)象特征，形成清晰的問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題特征和建模目的做出合理簡(jiǎn)化的假設(shè)，在合理性和簡(jiǎn)化之間做出折衷，建模，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)描述問(wèn)題，發(fā)揮想象力，運(yùn)用類(lèi)比法， 盡可能采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)建模的一般步驟，模型求解，各種數(shù)學(xué)方法，軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)，如結(jié)果的誤差分析，統(tǒng)計(jì)分析，模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析，模型分析，模型檢驗(yàn)，與實(shí)際現(xiàn)象和數(shù)據(jù)的比較，檢查模型的合理性和適用性，其應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模的一般步驟，數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息，數(shù)學(xué)模型， 現(xiàn)實(shí)物體和數(shù)學(xué)模型的解，(歸納)，(演繹)，表達(dá)，求解，解釋和驗(yàn)證，根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并選擇合適的數(shù)學(xué)方法獲得數(shù)學(xué)模型的解。 將用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的解翻譯回實(shí)際對(duì)象，并用真實(shí)對(duì)象、實(shí)踐、真實(shí)世界、數(shù)學(xué)世界的信息測(cè)試該解，1.5數(shù)學(xué)模型的特征和分類(lèi)、其保真度和可行性、其漸進(jìn)性、其健壯性、其可移植性、其非預(yù)制性、其組織性、其技術(shù)性、其局限性、其特征和其特征人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、數(shù)學(xué)方法、初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)、性能特征、描述、優(yōu)化、預(yù)測(cè)、決策、建模目的、理解程度、 白盒，灰盒，黑盒，確定性和隨機(jī)性，靜態(tài)和動(dòng)態(tài)，線(xiàn)性和非線(xiàn)性，離散和連續(xù)，1.6如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)學(xué)科。 藝術(shù)不能概括