因式分解概念與提公因式.ppt

1、,因式分解 概念及提公因式法1,分析下列計(jì)算是整式乘法中的哪一種并求出結(jié)果: (口答),溫故知新,(1),(2),(3),乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc,每一項(xiàng)都必須含有相同因式m。,現(xiàn)逆用乘法分配律,各項(xiàng)除以相同因式 m后剩下的因式。,1、m可以是數(shù)字、字母、多項(xiàng)式。,2、逆用的條件與結(jié)論都不一樣。,定義,一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，有時(shí)我們也把這一過程叫做分解因式。,想一想：分解因式與整式乘法有何關(guān)系,注意：,1.因式分解不是運(yùn)算,是一種多項(xiàng)式的變形； 因式分解與多項(xiàng)式乘法互為逆變形。,2.因式分解必須在整式范圍內(nèi)進(jìn)行，否則不屬于因式分解；,

2、3.利用整式的乘法可以驗(yàn)證因式分解是否正確.,想一想: 分解因式與整式乘法有何關(guān)系?,分解因式與整式乘法是互逆過程,幾個(gè)整式的積 m(a+b+c),一個(gè)多項(xiàng)式 ma+mb+mc,整式乘法,因式分解,練習(xí)一.下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解?哪些不是?為什么？ 1）x 2 y 2+1=(x +y )(x -y )+1 2）6x2y3=3xy2xy2 3）,(不是）,(不是）,(不是）,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,是,不是,是,不是,不是,不是,不是,下列代數(shù)式從左到右的變形是因式分解嗎？,探索新知,公因式的定義： 一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式, 叫做這個(gè)多項(xiàng)式

3、各項(xiàng)的公因式.,多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。,怎樣確定多項(xiàng)式的公因式？ 公因式與多項(xiàng)式的各項(xiàng)有什么關(guān)系？,公因式：,1、找出下列多項(xiàng)式中各項(xiàng)中含有的相同因式.,探索新知,正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是：,1、定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。 2、定字母： 字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。 3、定指數(shù)： 相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次冪,說出下列各多項(xiàng)式的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx - 8ky ； (3)5y3+20y2 ； (4)a2b-2ab2+ab .,m,4k,5y2,ab,一定系數(shù)二定字母三定

4、指數(shù),找一找: 下列各多項(xiàng)式的公因式是什么？,（3）,（a）,（a2）,（2(m+n)）,（3mn）,（-2xy）,(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2, 7x2 -21x 8 a 3 b2 12ab 3 + ab m b2 + n b 7x 3y2 42x2y 3 4a2 b 2a b2 + 6abc,說出下列各式的公因式：,7x,ab,b,7x2y2,2ab,指出下列各多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式 ax+ay-a （ ） 5x2y3-10 x2y （ ） 24a

5、bc-9a2b2 （ ） m2n+mn2 （ ） x(x-y)2-y(x-y) ( ),獨(dú)立練習(xí) 鞏固新知,a,5x2y,3ab,mn,x-y,如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.,概念引入：,因式分解：,把公因式提出來，多項(xiàng)式ma+mb+mc 就可以分解成兩個(gè)因式m和(a+b+c)的乘積。像這種因式分解的方法，叫做提取公因式法。,解:,公因式,多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式,稱之為公因式,提公因式法,熱身運(yùn)動(dòng),1.填空:（口答）,(1),(2),(3),(4),例1 把 9x2 6xy+3xz 分解

6、因式.,=,3x3x - 3x2y + 3xz,解：,=,3x (3x-2y+z),9x2 6 x y + 3x z,方法步驟： 找出 公因式； 提出 公因式， （即用多項(xiàng)式中每一項(xiàng)除以公因式）,例2: 分解因式 8ab-12abc+ab,解: 原式=ab8a-ab12bc+ab1 =ab(8a-12bc+1),判斷下列分解因式正確嗎 2x+3x+x=x(2x+3x) 3ac-6ac=3a(c-2ac),X(2X+3X+1),3ac(1-2a),注意: 提取公因式后： (1)另一個(gè)因式不能再含 有公因式(2)另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致,我做得對(duì)嗎？,不要漏掉1,如果多項(xiàng)式的某一項(xiàng)正好

7、是公因式，要注意該項(xiàng)在提取了公因式后，應(yīng)該用“1”頂替它原來的位置，切不可把“1”漏掉。,例3. 把 -24x3 12x2 +28x 分解因式.,當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，通常先提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)。,解：原式=,=,提負(fù)號(hào) 要變號(hào),(24x34x+12x24x-28x4x),(6x2+3x-7),=,練習(xí). 將下列各式分解因式：, 25x-5 3 x3 - 3x2 9x 8a 2c+ 2b c - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab - 2x2 12xy2 +8xy3,練習(xí) 把下列各式分解因式：,a,提公因式法分解因式,正確的找出多項(xiàng)式各項(xiàng)

8、的公因式。,注意：,1 多項(xiàng)式是幾項(xiàng)，提公因式后也剩幾項(xiàng)。 2 當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)提公因 式后剩余的項(xiàng)是1。 3、當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，通常先提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)。,怎樣正確多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式？,1、公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系 數(shù)的最大公約數(shù)； 字母：2、字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母； 指數(shù)：3、相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次冪； 注： 多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式 。,系數(shù)：,2.把下列各式分解因式：,(1),(2),(3),牛刀小試,練習(xí)二:分解因式 a+ab-ac -2x+4x+2x,=

9、a(ab+c),=2x(x2x1),例4：把2a(b+c)-5(b+c)分解因式,(b+c),(b+c),解： 2a(b+c)5(b+c) = (b+c)(2a-5),注意：公因式可以是數(shù)字，字母，也 可以是單項(xiàng)式，還可以是多項(xiàng)式。,練習(xí)三、把下列各式分解因式： （1）x(a+b)+y(a+b) （2）3a(x-y)-(x-y) （3）6(p+q)2-12(p+q),解：（1）原式=(a+b)（x+ y） （2）原式=(x-y)（3a-1） （3）原式=6(p+q)(p+q-2),確定公因式要對(duì)數(shù)字因數(shù)和字母分別進(jìn)行考慮: 1.各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù); 2.字

10、母取各項(xiàng)相同的字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的,華山論劍,4. 把下列各式分解因式：,(1)ax+xy=( )( ),(2)3mx-6my =( )( ),(3)x2y+xy2=( )( ),(4)15a2+10a=( )( ),(5)12xyz9x2y2=( )( ),x,3m,xy,5a,3a+2,3xy,4z-3xy,將下列多項(xiàng)式因式分解:,a+y,x-2y,x+y,(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( ),b+c 2a-3,小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?,3、確定公因式的方法,（1）系數(shù)取各項(xiàng)的最大公約數(shù) （2）字母取各項(xiàng)相同字母 （3）指數(shù)取各項(xiàng)相同字母的最低次冪,4、

11、提公因式法分解因式的步驟,（1）確定公因式 （2）用公因式去除多項(xiàng)式的各項(xiàng)得另一因式 （3）寫成這兩個(gè)因式的積的形式,1、什么叫做公因式？,2、什么叫提公因式法？,2、確定公因式的方法：,小結(jié),3、提公因式法分解因式步驟(分兩步)：,1、什么叫因式分解？,(1)定系數(shù) (2)定字母 (3)定指數(shù),第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.,4、提公因式法分解因式應(yīng)注意的問題：,（1）公因式要提盡；,（2）小心漏掉1;,（3）提出負(fù)號(hào)時(shí),要注意變號(hào).,1、確定公因式的方法： （1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。 （2）字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。 （3）相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)

12、中最小的一個(gè)，即最低次冪。,小結(jié),2、提公因式法分解因式： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式,即用多項(xiàng)式除以公因式.,再見,因式分解 概念及提公因式法2,教學(xué)過程：,一、復(fù)習(xí)提問：,1、把 化成 的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。,2、因式分解與 是互逆變形，分解的結(jié)果對(duì)不對(duì)可以用 運(yùn)算檢驗(yàn),一個(gè)多項(xiàng)式 幾個(gè)整式的乘積,整式乘法,整式乘法,回顧與思考,1 多項(xiàng)式的分解因式的概念： 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 2 分解因式與整式乘法是互逆過程. 3 分解因式要注意以下幾點(diǎn): 分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式. 分解的結(jié)果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式., a c+ b

13、 c 3 x2 +x 30 m b2 + 5n b 3x+6 a2 b 2a b2 + ab 7 ( a 3 ) b ( a 3),下列各多項(xiàng)式有沒有共同的因式？,c,x,5b,3,ab,a-3,提取公因式法,1、 中各項(xiàng)的公因式是 _。,公因式：一個(gè)多項(xiàng)式每一項(xiàng)都含有的相同的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。,3xy2,找公因式的方法：1：系數(shù)為 ； 2、字母是 ； 3、字母的次數(shù) 。,各系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母,相同字母的最低次數(shù),練習(xí)：5x225x的公因式為 ； 2ab24a2b3的公因式為 ， 多項(xiàng)式x21與(x1)2的公因式是 。,5x,-2ab2,x-1,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式

14、，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。,提取公因式法,練習(xí)： 1、把多項(xiàng)式m2(a2)+m(2a)分解因式等于（ ） A(a2)(m2+m)B(a2)(m2m) Cm(a2)(m1)Dm(a2)(m+1),C,例1、把下列多項(xiàng)式因式分解： 25x2y3-15x2y2 9a(a-b)2-15(b-a)3 8xmyn-1-12x3myn mn(m-n)-n(n-m)2 (b-a)2-2a+2b a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y),例2、把下列多項(xiàng)式因式分解： 6a3b2-3a2b3-18a2b3 -4x2yz-12xy3z+4xy

15、z m(1-x)-n(x-1)+p(1-x) -ab(a-b)2+a(b-a)2-a(a-b)2,例3、把下列多項(xiàng)式因式分解： m2-mn+mx-nx am+bm+an+bn+a+b a2b2-a2-b2+1 10a2x+21xy2-14ax2-15ay2 2x2(-2x+9)-28x m2-mn+5n-5m(用兩種方法),1、分解因式計(jì)算 (-2)101+(-2)100 2、利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知 a+b=3, ab=2, 求代數(shù)式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 4、把 9am+1 21 am+7a m-1

16、分解因式 5、解方程.（x-4)2-(4-x)(8-x)=12 6、化簡(jiǎn)：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+.+x(1+x)2015,例4、分解因式的應(yīng)用,(1) 13.80.125+86.21/8,(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.,解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2) =0.125100 =12.5,解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15,因式分解應(yīng)用,拓展運(yùn)用：,6.已知1xx2x3=0. 求xx2x3x4x2015的值.,解：原式x(1xx2x3) x5(1xx2x3) x2012(1xx2x3) 0

17、,6、分解因式：,4xmynb6xm1yn22xm2yn1,a(xyz) b(zxy) c(xzy),(5x2y)2 (2x5y)2,解：原式2xmyn,(2b3xy2x2y),解：原式(xyz),(abc),解：原式25x220 xy4y24x220 xy25y2 29x229y2 29(x2y2),3.試說明:817279913能被45整除.,解：原式(34)7 (33)9 (32)13 =328327326 =326(3231) =3265 =32545 817279913能被45整除.,（1）,（2）,（3） 1993-199能被200整除嗎?還能被哪些整數(shù)整除?,謝謝 再見,作業(yè)1、把下列多項(xiàng)式因式分解： 6(x-2)+x(2-x) 24a(a-b)2+18(b-a)2 (x-y)2-(y-x)3 (m+1)(m-1)+(m-1) (a-3)2-2a+6 15x(a-b)2-3y(b-a) -4a3+4a2-16a 2x3+x2-6x-3 (用兩種方法),作業(yè)2、把下列多項(xiàng)式因式分解： -1/5abc+1/5ab2-a2bc 2x(x-y)2-4x2(y-x)2 (x-y)3-2z(y-x)2 (m-n)4-m(n-m)3+n(n-m)3 3x