高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）第二章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)教學(xué)案（含解析）新人教A版

1、第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題及參數(shù)求解典題導(dǎo)入例1已知函數(shù)f(x)x2ln xa(x21)，aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x1時(shí)，f(x)0成立，求a的取值范圍自主解答(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2ln xx21，f(x)2xln x3x.則曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為f(1)3，又f(1)0，所以切線方程為3xy30.(2)f(x)2xln x(12a)xx(2ln x12a)，其中x1.當(dāng)a時(shí)，因?yàn)閤1，所以f(x)0，所以函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)遞增，故f(x)f(1)0.當(dāng)a時(shí)，令f(x)0，得xea.

2、若x1，ea)，則f(x)m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，則f(x)0；若x0，所以f(x)0，則1ex0，所以f(x)0.f(x)在(，)上為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上單調(diào)遞減故f(x)minf(2)2e2，mm恒成立故m的取值范圍為(，2e2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題典題導(dǎo)入例2已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常數(shù)，aR.(1)討論a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；(2)求證：在(1)的條件下，f(x)g(x).自主解答(1)f(

3、x)xln x，f(x)1，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1x0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增f(x)的極小值為f(1)1.(2)證明：由(1)知f(x)min1.又g(x)，當(dāng)0x0，g(x)在(0，e上單調(diào)遞增g(x)maxg(e).在(1)的條件下，f(x)g(x).在本例條件下，是否存在正實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3.因?yàn)閒(x)a，當(dāng)0g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值證明h(x)0.以題試法2

4、已知f(x)xln x.(1)求g(x)(kR)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，當(dāng)k0時(shí)，g(x)0.函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0，)，無減區(qū)間；當(dāng)k0時(shí)g(x)0得xk；g(x)0得0xk，增區(qū)間為(k，)，減區(qū)間為(0，k)(2)證明：設(shè)h(x)xln x2xe(x1)，令h(x)ln x10得xe，h(x)，h(x)的變化情況如下：x1(1，e)e(e，)h(x)10h(x)e20故h(x)0.即f(x)2xe.利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題典題導(dǎo)入例3某物流公司購買了一塊長AM30米，寬AN20米的矩形地塊AMPN

5、，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的倉庫，其余地方為道路和停車場，要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上，頂點(diǎn)B、D分別在邊AM、AN上，假設(shè)AB的長度為x米(1)要使倉庫的占地面積不少于144平方米，求x的取值范圍；(2)要規(guī)劃建設(shè)的倉庫是高度與AB的長度相同的長方體建筑，問AB的長度為多少時(shí)倉庫的庫容量最大(墻地及樓板所占空間忽略不計(jì))自主解答(1)依題意得NDC與NAM相似，所以，即，故AD20x，矩形ABCD的面積為20xx2(0x30)要使倉庫的占地面積不少于144平方米，則20xx2144，化簡得x230x2160，解得12x18.(2)由(1)知倉庫的體積V20x2x3(0x30)，令V40

6、x2x20，得x0或x20.當(dāng)0x0，當(dāng)20x30時(shí)，V0，所以當(dāng)x20時(shí)V取最大值，且最大值為，即AB的長度為20米時(shí)倉庫的庫存容量最大由題悟法利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，寫出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值以題試法3某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到有關(guān)部門的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y求

7、從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻解：當(dāng)6t9時(shí)，yt2t36(t12)(t8)令y0，得t12(舍去)或t8.當(dāng)6t0，當(dāng)8t9時(shí)，y0，故t8時(shí)，y有最大值，ymax18.75.當(dāng)9t10時(shí)，yt是增函數(shù)，故t10時(shí)，ymax16.當(dāng)10t12時(shí)，y3(t11)218，故t11時(shí)，ymax18.綜上可知，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻為上午8點(diǎn)1f(x)是定義在(0，)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)f(x)0，對(duì)任意正數(shù)a，b，若ab，則必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析：選Axf(x)f(x)，f(x)0，0.則

8、函數(shù)在(0，)上是單調(diào)遞減的，由于0a0)，則獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為()A1百萬件 B2百萬件C3百萬件 D4百萬件解析：選C依題意得，y3x2273(x3)(x3)，當(dāng)0x0；當(dāng)x3時(shí)，y0，若f(1)0，那么關(guān)于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)單調(diào)遞增又函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(1)f(1)0.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，0x1；當(dāng)x0，x1.答案：(，1)(0,1)4直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有相異的三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得極大值為f(1)2，極小值為f(1)2，如圖，觀察得2a1時(shí)，判斷f(x)在0,2m上零點(diǎn)

9、的個(gè)數(shù)，并說明理由解：(1)依題意，可知f(x)在R上連續(xù)，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故當(dāng)x(，m)時(shí)，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；故當(dāng)xm時(shí)，f(m)為極小值，也是最小值令f(m)1m0，得m1，即對(duì)任意xR，f(x)0恒成立時(shí)，m的取值范圍是(，1(2)由(1)知f(x)在0,2m上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)m1時(shí)，f(m)1m0，f(0)f(m)1時(shí)，g(m)em20，g(m)在(1，)上單調(diào)遞增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一個(gè)零點(diǎn)故f(x)在0,2m上有兩個(gè)零點(diǎn)7(2013泰安模擬)某種產(chǎn)品每件

10、成本為6元，每件售價(jià)為x元(6x11)，年銷售為u萬件，若已知u與2成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件(1)求年銷售利潤y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤最大，并求出最大年利潤解：(1)設(shè)uk2，售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；當(dāng)x(9,11)時(shí)，y2)(1)當(dāng)t1時(shí)，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)f(2)m，f(t)n，求證：mn.解：(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1)，當(dāng)2t0，x2，t時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增

11、；當(dāng)0t0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(0，t時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減綜上，當(dāng)2t0時(shí)，yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2，t；當(dāng)0t2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t2)故h(t)，h(t)隨t的變化情況如下表：t(2,0)0(0,1)1(1，)h(t)00h(t)極大值極小值由上表可知h(t)的極小值為h(1)e0，又h(2)0，故當(dāng)2th(2)0，即h(t)0，因此，nm0，即mn.2 (2012資陽模擬)已知函數(shù)f(x)x33axb(a，bR)在x2處的切線方程為y9x14.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)令g(x)x22xk，若對(duì)任意x10,2，均存在x2

12、0,2，使得f(x1)0，得x1；由f(x)0，得1x1.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(1，)(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增又f(0)2，f(2)4，有f(0)f(2)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的最大值f(x)maxf(2)4.又g(x)x22xk(x1)2k1，函數(shù)g(x)在0,2上的最大值為g(x)maxg(1)k1.對(duì)任意x10,2，均存在x20,2，使f(x1)f(x2)成立，有f(x)maxg(x)max，則43.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(3，)1已知向量m(x0，1)，n，x0，y0成等差數(shù)列，2，y

13、0成等比數(shù)列(1)求證：mn；(2)若存在不為零的實(shí)數(shù)k與t，使得a(t23)mn，btmkn，且ab，|a|，試討論函數(shù)kf(t)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的極值解：(1)證明：由x0，y0成等差數(shù)列得x0y0，由2，y0成等比數(shù)列得x02y0，由與可得x0，y0，所以m(，1)，n，因?yàn)閙n(，1)0，所以mn.(2)由(1)得|m|2，|n|1，因?yàn)閨a|，mn，所以|a|2(t23)2|m|22(t23)mn|n|24(t23)2137，所以0t26，所以t.又abt(t23)|m|2k(t23)mntmnk|n|24t(t23)k0，所以kf(t)4t(t23)(t)，kf(t)4t(t2

14、3)12t212，令12t2120，得t1.當(dāng)t變化時(shí)，f(t)，f(t)的變化情況如下表：t(，1)1(1,1)1(1，)f(t)00f(t)極大值8極小值8因此f(t)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)，(1，)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)f(t)的極大值為8，極小值為8.2設(shè)函數(shù)f(x)ln xp(x1)，pR.(1)當(dāng)p1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)，對(duì)任意x1都有g(shù)(x)0成立，求p的取值范圍解：(1)當(dāng)p1時(shí)，f(x)ln xx1，其定義域?yàn)?0，)所以f(x)1.由f(x)10得0x1，由f(x)1.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

15、0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(2)由函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)xln xp(x21)(x0)，得g(x)ln x12px.由(1)知，當(dāng)p1時(shí)，f(x)f(1)0，即不等式ln xx1成立當(dāng)p時(shí)，g(x)ln x12px(x1)12px(12p)x0，即函數(shù)g(x)在1，)上單調(diào)遞減，從而g(x)g(1)0，滿足題意；當(dāng)p0，12px0，從而g(x)ln x12px0，即函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，從而存在x0使得g(x0)g(1)0，不滿足題意； 當(dāng)p0時(shí)，由x1知g(x)xln xp(x21)0恒成立，此時(shí)不滿足題意綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍為.集合與常用邏輯用語函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及

16、其應(yīng)用(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分)1(2012廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)若f(1)f(1)，則實(shí)數(shù)a的值等于()A1B2C3 D4解析：選B根據(jù)題意，由f(1)f(1)可得a1(1)2.2(2012江西高考)若全集U，則集合A的補(bǔ)集UA為()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)閁xR|x24xR|2x2，AxR|x1|1xR|2x0借助數(shù)軸易得UAxR|0x23下列函數(shù)中，恒滿足f(2x)f(x)2的是()Af(x)|x| Bf(x)(x0)Cf(x)ex Df(x)sin x解析：選C若f(x)ex，則f(2x)e2x(ex)2f(x)2.

17、4(2012大同調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x2bx(bR)，則下列結(jié)論正確的是()AbR，f(x)在(0，)上是增函數(shù)BbR，f(x)在(0，)上是減函數(shù)CbR，f(x)為奇函數(shù)DbR，f(x)為偶函數(shù)解析：選D注意到當(dāng)b0時(shí)，f(x)x2是偶函數(shù)5(2013龍巖四校聯(lián)考)已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(3，f(3)處的切線方程是yx，則f(3)f(3)的值為()A1 B2C3 D5解析：選B因?yàn)榍悬c(diǎn)(3，f(3)在切線上，所以f(3)1，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線的斜率，所以f(3)，所以f(3)f(3)2.6(2012汕頭一測)已知集合A是函數(shù)f(x)的定義域，集合B是整數(shù)集，則AB的子集的個(gè)數(shù)為()

18、A4 B6C8 D16解析：選A要使函數(shù)f(x)有意義，則需解得1x0或0x1，所以函數(shù)的定義域Ax|1x0，或0x1所以AB1，1，其子集的個(gè)數(shù)為4.7已知alog23log2，blog29log2，clog32，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcCabbc解析：選Balog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函數(shù)ylogax(a1)為增函數(shù)，alog23log221，clog32c.8(2012南昌一模)函數(shù)yx1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是()解析：選B函數(shù)yx，該函數(shù)的圖象就是拋物線y2x在x軸及其以上的部分，故函數(shù)yx11是將上述圖象向下平移一個(gè)單位得

19、到的，再作其關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象，即選項(xiàng)B中的圖象9(2012長春第二次調(diào)研)若a2，則函數(shù)f(x)x3ax21在(0,2)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0解析：選C依題意得f(x)x22ax，由a2可知，f(x)在x(0,2)時(shí)恒為負(fù)，即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，又f(0)10，f(2)4a14x3均成立；若log2xlogx22，則x1；“若ab0且c”的逆否命題是真命題；若命題p：xR，x211，命題q：xR，x2x10，則命題p(綈q)是真命題其中真命題為()A BC D解析：選A由x22x4x3推得x22x3(x1)220恒成立，故正確；根據(jù)基本不等式可知要使不等式log2

20、xlogx22成立需要x1，故正確；由ab0得0，又c，則可知其逆否命題為真命題，故正確；命題p是真命題，命題q是真命題，所以p(綈q)為假命題，故不正確二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13(2013河北質(zhì)檢)函數(shù)ylog(3xa)的定義域是，則a_.解析：由3xa0得x.因此，函數(shù)ylog(3xa)的定義域是，所以，即a2.答案：214 (2012南通一調(diào))設(shè)P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_解析：依題意得，yxx，yxx(x0)，當(dāng)x0時(shí)，yxx2 ，即該圖象在點(diǎn)P處的切線的斜率不小于，即tan .又0，)，因此0，a

21、1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.解析：函數(shù)g(x)在0，)上為增函數(shù)，則14m0，即m1，則函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為m，最大值為a24，解得a2，m，與m矛盾；當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為a2m，最大值為a14，解得a，m0，則x0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(1)111010，函數(shù)f(x)在(1，e)上存在零點(diǎn)，符合條件答案：三、解答題(本題共6小題，共70分)17(本小題滿分10分)已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x0時(shí)，f(x)x22x3，試求f(x)在R上的表達(dá)式，并畫出它的圖象，根

22、據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間解：f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)f(x)，又當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x3，當(dāng)x0，x.f(x)的定義域?yàn)?(2)f(x)log3(2x1)log3log3log32，f(x)的圖象是由ylog3x的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移log32個(gè)單位得到的故可以由ylog3x的圖象平移得到19(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x(x2ax3)(1)若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在區(qū)間1,4上的最大值解：(1)f(x)x(x2ax3)，f(x)3x22ax3.f(x)在1，)上是增函數(shù)，在1，)上恒有f(x)0，即3x22ax30在1，)上恒成立得a在1，)上恒成立當(dāng)x1時(shí)，(11)0，a0.(2)依題意得f0，即a30，得a4，故f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.當(dāng)x在1,4上變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812所以f(x)在區(qū)間1,4上的最大值是f(1)6.20(本小題滿分12分)經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)