第十三章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算.ppt

1、1,結(jié)構(gòu)力學(xué),海南大學(xué)土木工程系,第十一章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算,2,第十一章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計算,兩類穩(wěn)定問題概述 穩(wěn)定問題的分析方法 彈性壓桿穩(wěn)定分析之靜力法 彈性壓桿穩(wěn)定分析之能量法 剪力對臨界荷載的影響 組合壓桿的穩(wěn)定 圓環(huán)和圓拱的穩(wěn)定性,3,1、穩(wěn)定演算的重要性,設(shè)計結(jié)構(gòu),強度演算 剛度演算,最基本的必不可少,穩(wěn)定性演算：高強度材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu) 趨于輕型、薄壁化，更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計算 日益重要。,2、平衡狀態(tài)的三種情況,穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位， 干擾消失，恢復(fù)原位。,不穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位， 干擾消失，不能恢復(fù)原位。,中性平衡：由穩(wěn)定平

2、衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)。,11.1 兩類穩(wěn)定問題概述,4,3、失穩(wěn):隨著荷載的逐漸增大,結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn) 為不穩(wěn)定平衡.這時原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性.,4、分支點失穩(wěn)：,完善體系 （或理想體系）：,直桿（無初曲率）， 中心受壓（無初偏心）。,P1Pcr=,1Pcr,原始平衡狀態(tài)是 穩(wěn)定的是唯一的,P2Pcr,(穩(wěn)定),(不穩(wěn)定),(大撓度理論),(小撓度理論),原始平衡狀態(tài)是不 穩(wěn)定的。存在兩種 不同形式的平衡狀 態(tài)(直線、彎曲）。,分支點B將原始平衡路徑 分為兩段。在分支點B出現(xiàn) 平衡的二重性。原始平衡有 穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。,臨界荷載、臨界狀態(tài),2 Pcr,5,原始平衡：軸向

3、受壓,新平衡形式：壓彎組合,原始平衡：軸向受壓,新平衡形式：壓彎組合,原始平衡：平面彎曲,新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn),結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了質(zhì)的改變。即原來的平衡形式成為不穩(wěn)定 而可能出現(xiàn)新的與原來平衡形式有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式，同時， 這種現(xiàn)象帶有突然性。,分支點失穩(wěn)的特點：,6,5、極值點失穩(wěn)：,非完善體系：,具有初曲率的壓桿,承受偏心荷載的壓桿,(大撓度理論),(小撓度理論),Pe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載,穩(wěn)定問題與強度問題的區(qū)別： 強度問題是在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下：,當 ,大變形，進行幾何非線性分析（二階分析）。,穩(wěn)定問題重點是研究荷載與結(jié)構(gòu)抵抗力之間的平衡；找出變形急劇增長的臨界點及相應(yīng)的臨界荷

4、載。在變形后的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。 非線性分析，疊加原理不再適用。,極值點失穩(wěn)的特點：非完善體系出現(xiàn)極值點失穩(wěn)。平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象，P-曲線具有極值點。結(jié)構(gòu)的變形形式并不發(fā)生質(zhì)的改變，由于結(jié)構(gòu)的變形過大,結(jié)構(gòu)將不能正常使用. 對于工程結(jié)構(gòu)兩種失穩(wěn)形式都是不允許的.因為它們或使得結(jié)構(gòu)不能維持原來的工作狀態(tài)或使其喪失承載能力,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞.,7,1、單自由度完善體系的分支點失穩(wěn),EI=,1）按大撓度理論分析,A,(穩(wěn)定),(不穩(wěn)定),(大撓度理論) 不穩(wěn)定平衡,(小撓度理論)隨遇平衡,分支點A處的臨界平衡也是不穩(wěn)定的。對于 這種具有不穩(wěn)定分支點的完善體系，一

5、般應(yīng)當考慮初始缺陷的影響， 按非完善體系進行穩(wěn)定性演算。,2）按小撓度理論分析, 1,小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載,但不能反映當較大時平 衡路徑的下降(上升)趨勢。隨遇平衡狀態(tài)是簡化假設(shè)帶來的假象。,注: 1）平衡方程是對變形以后的結(jié)構(gòu)新位置建立的。 2）建立平衡方程時方程中各項應(yīng)是同量級的，主要力項（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對幾何尺寸的微量變化，次要力項 （微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。,6、兩類穩(wěn)定計算簡例,8,2、單自由度非完善體系的極值點失穩(wěn),EI=,1）按大撓度理論分析,A,=0,=0.1,=0.2,1,0.785,0.38,1.37,1.47,/2,1,這個非完善體系是極值點失

6、穩(wěn). Pcr 隨增大而減小.,9,EI=,2）按小撓度理論分析,A,設(shè)：1，1,=0,=0.1,=0.2,=0,各曲線都以水平直線 P/kl=1 為漸近線,并得出相同的臨界 荷載值Pcr=kl 對于非完善體系，小撓度理 論不能得出隨著的增大Pcr 會逐漸減小的結(jié)論.。,10,3、幾點認識 1）一般說來，完善體系是分支點失穩(wěn)，非完善體系是極值 點失穩(wěn)。 2）分支點失穩(wěn)的特征是存在不同平衡路徑的交叉，在交叉 點出現(xiàn)平衡形式的二重性，極值點失穩(wěn)只存在一個平衡路徑， 但 平衡路徑上出現(xiàn)極值點。 3）只有按大撓度理論才能得出穩(wěn)定問題的精確結(jié)論，但小 撓度理論比較簡單適用，特別是在分支點失穩(wěn)問題中通常也能

7、得 出臨界荷載的正確值。但也要注意它的某些結(jié)論的局限性。 4）在實際結(jié)構(gòu)中難以區(qū)分這兩類失穩(wěn)問題。但分支點失穩(wěn) 問題更具有典型性，就失穩(wěn)的突發(fā)性而言，更有必要首先加以研 究；另外，在許多情況下，分支點臨界荷載可作為極限荷載的上 限考慮。 以下只討論完善體系分支點失穩(wěn)問題， 并由小撓度理論求臨界荷載。,11,11.2 有限自由度體系的穩(wěn)定靜力法和能量法,穩(wěn)定計算最基本 最重要的方法,靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。 （平衡形式的二重性）,能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。 （勢能有駐值，位移有非零解）,1、靜力法：要點是利用臨界狀態(tài)平衡形式的 二重性，在原始平衡路徑之外尋 找新的平衡 路徑，確定分

8、支點， 由此求臨界荷載。,=0，原始平衡,0，新平衡形式,特征方程（穩(wěn)定方程）,臨界荷載,確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.,用靜力法分析具有 n 個自由度的體系時，可對新的變形狀態(tài)建立 n 個平衡方程，它們是關(guān)于 n 個獨立位移參數(shù)的齊次線性方程，因失穩(wěn)時 n 個位移參數(shù)不全為零，則方程的系數(shù)行列式 D因等于零，得到穩(wěn)定方程： D=0 它有 n 個實根（特征值），其中最小著即為臨界荷載。,12,2、能量法：彈性體系的平衡方程勢能駐值原理（對于彈性體系， 在一切微小的可能位移中，同時又滿足平衡條件的位移（真實位移）使結(jié)構(gòu)的勢能為駐值，即：=0 , =應(yīng)變能

9、U+外力勢能UP,MA=k,彈性應(yīng)變能,荷載勢能:,應(yīng)用勢能駐值條件:,位移有非零解則:,勢能駐值原理是彈性體系處于平衡的充要條件. 但是平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和中性的三種， 要判斷平衡屬于哪一種，就必須討論總勢能與荷載 之間的關(guān)系。,13,總勢能是位移的二次函數(shù)， 1）PUP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當=0，為極小值0。,對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實的位移使為極小值,2）Pk/l ，當0，恒小于零（為負定） (即UUP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置) 。 當=0，為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,3）P=k/l ，當為任意

10、值時，恒等于零(即U=UP) 。 體系處 于中性平衡（臨界狀態(tài)）這是的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l 。,結(jié)論： 1）當體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，其總勢能必為最小。 2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值，且位移有非零解?；虮?述為：在荷載達到臨界值前后，總勢能由正定過渡到非正定。 3）當體系處于中性平衡P=Pcr時，如依原始平衡位置作為參考狀 態(tài)，必有總勢能=0。 對于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。,14,例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方 法求其臨界荷載。,解：1）靜力法,設(shè)變形狀態(tài) 求支座反力,列變形狀態(tài) 的平衡方程,如果系數(shù)行列式 0 y1，y2為零，對應(yīng) 原始平衡形式

11、。,如果系數(shù)行列式=0 y1，y2不為零，對應(yīng) 新的平衡形式。,對稱問題可利用對稱性做。,15,2）能量法,在新的平衡位 置各桿端的相 對水平位移,D點的水平位移,彈性支座應(yīng)變能:,荷載勢能:,體系總勢能:,勢能駐 值條件:,以后的計算步驟同靜力法,能量法步驟: 給出新的平衡形式;寫出 總勢能表達式;建立勢能駐 值條件;應(yīng)用位移有非零解 的條件,得出特征方程; 解 出特征值,其中最小的即臨界 荷載Pcr。,16,體系總勢能:,總勢能是位移y1 、y2的對稱實數(shù)二次型。,如果Pkl/3=Pcr， 是正定的。,如果kl/3 Pkl， 是不定的。,如果P=kl/3=Pcr， 是半正定的（當y1=y2

12、 時， =0）。,如果P=kl， 是半負定的（當y1=y2 時， =0）。,如果Pkl， 是負定的。,由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是： 在荷載達到臨界值的前后，勢能由正定過渡到非正定。 （或說：勢能達極值，位移有非零值）,17,A,B,C,k,例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。,1、靜力法： 兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：,求失穩(wěn)曲線：,18,2、能量法： 外力勢能：,應(yīng)變能：,總勢能：,根據(jù)勢能駐值條件：,由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：,以下計算同靜力法。,

13、19,例3：用靜力法求圖 示體系的臨界荷載。,兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：,B,20,例3：用能量法求圖示體 系的臨界荷載。,兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。,求變性能和外力勢能：,B,當桿件上無外荷載作用時，桿端力的功=變形能。,21,例4：用靜力法求圖示體 系的臨界荷載。EI=,兩個自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。,分析受力列平衡方程：,由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：,A,B,C,D,22,用能量法求圖示體 系的臨界荷載。 EI=,兩個自由度，取1 2 為位移參

14、數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。,由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：,A,B,C,D,求變性能和外力勢能：,23,利用對稱性求 EI=,1、正對稱失穩(wěn)取半剛架如圖： 取 1 為位移參數(shù)，設(shè)失 穩(wěn)曲 線如圖。,2、反對稱失穩(wěn)取半剛架如圖： 取 1 為位移參數(shù)，設(shè)失 穩(wěn)曲 線如圖。,24,靜力法的解題思路:,先對變形狀態(tài)建立平衡方程，然后根據(jù)平 衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出臨界荷載。,不同的是，平衡方程是,代數(shù)方程（有限自由度體系） 微分方程（無限自由度體系）,11.3 彈性壓桿的穩(wěn)定靜力法,1、等界面壓桿,25,先由圖解法求出近似解：l=4.5,再由試算法求更準確的值：,26,例5：求圖示壓桿

15、的穩(wěn)定方程。,解：1）選坐標系，取圖示曲線的平衡形式， 建立平衡微分方程。,M=Py,2）求解平衡微分方程,3）由邊界條件，可得一組與未知數(shù)（A、 B、 ）數(shù)目相等的齊次方程，位移有非 零解系數(shù)行列式應(yīng)等于零，得出特征方程。,特征方程：,代入邊 界條件,展開：,27,剛性支承上等截面直桿的穩(wěn)定,=1,=0.7,=2,=0.5,=1,材力已導(dǎo)出幾種簡單支承情況下的軸壓桿的臨界荷載：,長度系數(shù)=2、1、0.7、0.5,約束加強，臨界荷載提高。,單根壓桿可以看成是某些實際結(jié)構(gòu)中抽象出來的力學(xué)模型。,28,具有彈性支承的等截面直桿的穩(wěn)定,k=6i,29,可能發(fā)生反對稱失穩(wěn)的計算簡圖,考慮下端轉(zhuǎn)動剛度特

16、性的計算簡圖,30,反對稱 失穩(wěn)時,或：,正對稱 失穩(wěn)時,31,注意：對于某些結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題（如局部失穩(wěn)）常可將其中 壓桿取出，以彈性支座代替其它部分對它的作用，同 時并由其余部分求出彈性支承的剛度系數(shù)，然后就可 按單根壓桿進行計算。,32,例6 試求圖示排架的臨界荷載和柱子AB的計算長度。,解：CD桿的作用用彈簧來代替,1）I2=0，k=0,相當于懸臂柱，計算長度為l0=2l,33,2）I2=，k=,相當于上端鉸支、下端固定柱， 計算長度為l0=0.7l,3）當 0k,當 I2=I1,/2l4.493,試算法求解:,計算長度為l0=1.426l,34,兩段的彈性曲線微分方程：,解方程：,由系

17、數(shù)行列式等于零 得穩(wěn)定方程：,2、階形壓桿的穩(wěn)定,35,P2,例 階形桿的穩(wěn)定。,解：彈性曲線微分方程：,解方程：,36,位移參數(shù)不全為零，應(yīng)系數(shù)行列式等于零：,展開后，得到特征方程：,這個方程只有當I2/I1、 l2/l1、 P2/P1的 比值都給定時才能求解。,變截面（階形變化或連續(xù)變化） 桿件，都可采用能量法較簡捷地得到 滿意的結(jié)果。,37,2）解平 衡微分方程；,靜力法解題思路：,1）對新的平衡形式列平衡微分方程；,3）代入邊界條件，得到包含待定參數(shù)的齊次方程 組；,能量法解題思路：,1）對于滿足位移邊界條件的任意可能位移求 出總勢能；,2）由勢能駐值條件 = 0，,得到包含待定參數(shù)的

18、齊次方程組；,3）令系數(shù)行列式等于零，得到特征方程。,4）令齊次方程組的系數(shù)行列式等于零，由此得到特征方程。,設(shè)變形曲線為：, 11.4 彈性壓桿的穩(wěn)定能量法,38,有勢能駐值條件，即,令：,展開是關(guān)于P的n次方程, 其最小根即臨界荷載。,上述方法叫里茲法，所得臨界荷載的近似值是精確解的上限。,?,減少自由度相當于對體系施加約束，抗失穩(wěn)能力提高。,39,例7 能量法求臨界荷載. 解：位移邊界條件為： 當 x=0 和 x=l 時，y=0,1）設(shè)失穩(wěn)曲線為拋物線(純彎下的撓曲線),誤差為 22%,因為所設(shè)撓曲線不滿足力的邊界 條件。甚至相差甚遠，故精度較差。,40,另解：:位移邊界條件為： 當 x

19、=0 和 x=l 時，y=0,2）設(shè)失穩(wěn)曲線為圖b,誤差為 1.3%,如取均布荷載作用下的撓曲線,精度會更高.,如用某一橫向荷載引起的撓曲線作為失穩(wěn)曲線，則體系的應(yīng)變能也可用該荷載的實功來代替。,41,另解：位移邊界條件為： 當 x=0 和 x=l 時，y=0,3）設(shè)失穩(wěn)曲線為正弦線,4）討論：*正弦曲線是真實的失穩(wěn)變形曲線，所得結(jié)果是精確解。 *拋物線不滿足全部力的邊界條件，精度最差。 *如果用某一橫線荷載引起的撓曲線作為失穩(wěn)曲線，則 體系的應(yīng)變能也可用該荷載的實功來代替。,42,例 求均勻豎向荷載作用下的臨界荷載. 解: 當 x=0 時， y=0：x=l 時，,設(shè)失穩(wěn)曲線為正弦線,微段dx

20、傾斜使該段以上荷載向下移動，這部分荷載作功為：,所設(shè)失穩(wěn)曲線能否滿足力的邊界條件？,43,另解: 當 x=0 時， y=0：x=l 時，,設(shè)失穩(wěn)曲線為(b)中Q引起的撓曲線 .,微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動，這部分荷載作功為：,44,例：圖示變截面桿的,求Pcr,解: 當 x=0 時， y=0：x=l 時， y=0,設(shè)變形曲線為三角級數(shù)：,先取第一項作為近似的變形曲線,45,再取前兩項作為近似的變形曲線,系數(shù)行列式等于零得到特征方程：,兩次計算結(jié)果相對差值不到 1%，由此可知所得近似結(jié)果的精確程度。,46,考慮剪力時壓桿的撓度為：y=yM+yQ,M引起撓度,Q引起撓度,考慮彎矩和剪力影響

21、的撓曲線微分方程：,考慮彎矩和剪力影響的撓曲線微分方程：,彎矩引起的曲率：,剪力引起的曲率計算：,11.5 剪力對臨界荷載的影響,47,兩端鉸支的等截面壓桿的臨界荷載：,修正系數(shù)1，故考慮剪力影響時，臨界荷載降低。,三號鋼：,在實體桿中，剪力對臨界荷載影響很小，通常忽略不計。,48,Pcr與桿截面的慣性矩成正比，與桿的計算長度的平方成反比。為了提高臨界荷載值，可增強桿件的約束，以減小桿的計算長度；也可設(shè)法提高慣性矩。,大型結(jié)構(gòu)的壓桿常采用組合壓桿的形式。 在不增大截面尺寸的前提下，使兩個型鋼離 開一定的距離，獲得較大的I，增強穩(wěn)定性。,為了保證他們能正常工作，在型鋼的翼緣上用一些扣件將它們連起

22、來。,扣件,綴條式：斜桿、橫桿與柱肢鉸接。,綴板式：橫桿與柱肢剛接。,組合壓桿的臨界荷載不僅與肢桿的橫截 面面積有關(guān)，還與扣件的橫截面面積、排列 形式和位置有關(guān)。組合壓桿的臨界荷載比截 面和柔度相同的實體壓桿的臨界荷載要小， 因為組合壓桿中的剪力影響遠比實體壓桿中 的大。當l/d6時可用下式近似計算Pcr。,以組合壓桿情況下的剪力影響代替。它代表單位剪力作用下的切應(yīng)變。,11.6 組合壓桿的穩(wěn)定,49,1、綴條式組合壓桿,由于肢桿的界面比綴條的截面大的多故只考慮綴條產(chǎn)生的位移。,50,Ap和AqAd相當于肢桿間絕對剛性聯(lián)結(jié)臨界荷載與慣性矩為I的實體桿的臨界荷載相同。 Ap和AqAd相當于肢桿間

23、絕對柔性聯(lián)結(jié)臨界荷載0。 一般情況下組合壓桿的臨界荷載比截面和柔度相同的實體壓桿的臨界荷載要小。 斜桿比橫桿對臨界荷載的影響更大。,計算長度系數(shù),規(guī)范中采用公式,51,2、綴板式組合壓桿,取剛架為計算簡圖,設(shè)主肢反彎點在結(jié)間中點，剪力平均分配與兩肢桿。,隨綴板間距的增大， 2將減小。 21,52,計算長度系數(shù),規(guī)范中采用公式,綜上所述，組合壓桿的臨界荷載計算與實體壓桿類似。 先求出相應(yīng)的長度系數(shù)：,53,Pcr與桿截面的慣性矩成正比，與桿的計算長度的平方成反比。為了提高臨界荷載值，可增強桿件的約束，以減小桿的計算長度；也可設(shè)法提高慣性矩。,大型結(jié)構(gòu)的壓桿常采用組合壓桿的形式。在不增大截面尺寸的

24、前提下，使兩個型鋼離開一定的距離，獲得較大的I，增強穩(wěn)定性。,為了保證他們能正常工作，在型鋼的翼緣上用一些扣件將它們連起來。,扣件,綴條式：斜桿、橫桿 與柱肢鉸接。,綴板式：橫桿 與柱肢剛接。,1、綴條式組合壓桿,失穩(wěn)時桁架中各桿只引起 附加軸力。,能量法：,組合壓桿的穩(wěn)定(能量法),54,桁架應(yīng)變能：,式中A肢為弦桿面積， A1為上斜綴條面積， A2為下斜綴條面積。,一般綴條式組合壓桿的結(jié)間數(shù)較多，可取,55,56,有交叉綴條的組合壓桿的臨界荷載， 仍按上式計算，但此時綴條面積要加倍。,k1組合桿的折減系數(shù)：與綴條和柱肢的截面 積比值有密切的關(guān)系。,當綴條面積很小時：,當綴條面積很大時：,一般情況下綴條式組合壓桿的臨界荷載總 小于同樣慣性矩的實腹柱的臨界荷載。,57,組合壓桿的計算長度,在工程中,水平