同濟大學微積分課件.ppt

1、預備知識,1. 集合的概念,在數(shù)學中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱,否則，記為,一、集合,如果元素 在集合 中，記為,為一個集合. 集合中的事物稱為該集合的元素.,只有有限個元素的集合稱為有限集，否則稱為無限集.,常用數(shù)集:,自然數(shù)集:,整數(shù)集:,有理數(shù)集:,復數(shù)集:,2.集合的運算,集合的交:,集合的并:,集合的差:,設(shè) 是兩個集合，由此定義如下幾個集合：,集合的運算滿足如下運算率：,交換率:,結(jié)合率:,分配率:,3.區(qū)間和鄰域,開區(qū)間:,閉區(qū)間:,設(shè) 是實數(shù)，且,半開半閉區(qū)間:,無窮區(qū)間:,注意：無窮端不能寫成閉的記號,設(shè) 是實數(shù)，且 則定義點 的 鄰域為集合：,鄰域：,如果把鄰域

2、的中心去掉，所得到的集合稱為點 的空,心鄰域：,1. 映射的概念,二、映射,設(shè) 是兩個非空集合，如果存在一個法則 使得,而元素 稱為 的象，記作 ， 即,對 中的每個元素 按此法則在 中有唯一的元素,與之對應(yīng)，那么稱 為從 到 的映射，記作,例 設(shè),則 是 到 的映射.,例 設(shè),則 是 到 的映射.,2. 幾類重要映射,一一對應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對應(yīng).,例 在前面的兩例中，例2是一一對應(yīng)，而例1則不是.,設(shè) 是 到 的映射.,滿射：若 即 使得,單射：若 則必有,3. 逆映射與復合映射,則：,逆映射：設(shè) 是 到 的一一映射，則對 中任一元素,例 設(shè),可以確定 中的唯一元素 滿足 稱此對應(yīng)

3、,關(guān)系為映射 的逆映射，記為,復合映射：設(shè)有映射 其中,稱此映射為由 構(gòu)成的復合映射，記為,由此可以確定一個從 到 的映射,例：設(shè),則復合映射 為,1.概念,三、一元函數(shù),從數(shù)集 到實數(shù)集 的任一映射 稱為定義在 上的,稱為 的圖象. 而數(shù)集 則稱為函數(shù),一元函數(shù)，通常記為 而 中的集合,的定義域.,注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認的,例 則定義域為,例 則定義域為,方式給出，即定義域為使表達式有效的一切實數(shù).,以下例中函數(shù)的定義域均為實數(shù)集。,例3 符號函數(shù),例 取整函數(shù),2. 函數(shù)的幾種特性,有界,無界,有界性 設(shè)函數(shù) 的定義域為 數(shù)集,如果 都有 就稱,在 上有界, 否則稱

4、為無界函數(shù).,例 在 上是有界函數(shù)，,在 上無界.,域內(nèi)是無界函數(shù).,例 試說明函數(shù) 在 的任何空心鄰,解 設(shè) ，取 ，,其中,則,所以 無界.,單調(diào)性 設(shè)函數(shù) 的定義域為 區(qū)間,如果對任意的 當 時，總有,則稱函數(shù) 為區(qū)間 上的單調(diào)增加函數(shù)；,如果 時，總有,則稱函數(shù) 為區(qū)間 上的單調(diào)減少函數(shù).,圖形特征：,單調(diào)增加函數(shù)圖形,單調(diào)減少函數(shù)圖形,奇偶性 設(shè)函數(shù) 的定義域為 關(guān)于原點對稱，,如果對任意的 都有,就稱 為偶函數(shù)；,如果對任意的 都有,就稱 為奇函數(shù).,圖形特征：,偶函數(shù),奇函數(shù),使得對任意的 當 總有,通常我們說的周期指的是最小正周期.,周期函數(shù) 設(shè)函數(shù) 的定義域為 如果存在數(shù),就

5、稱 為周期函數(shù)， 稱為 的周期.,例如， 的最小正周期是,例：狄利克雷函數(shù),則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒有最小正周期.,3. 反函數(shù)和復合函數(shù),反函數(shù) 設(shè)函數(shù) 是一一對應(yīng)， 則其逆映,注：習慣上用 表示為自變量，所以函數(shù) 的,射 為 的反函數(shù).,的反函數(shù) 仍表示為,注：函數(shù) 與它的反函數(shù) 的圖形,關(guān)于 對稱.,復合函數(shù) 復合函數(shù)本質(zhì)上是復合映射在函數(shù)上的推廣.,當復合映射定義中的幾個集合均為數(shù)集時，即得到復合,函數(shù)的定義.,4. 基本初等函數(shù),冪函數(shù) （ 是常數(shù)）,指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù),余切函數(shù),正割函數(shù),余割函數(shù),反三角函數(shù),反正弦函數(shù),反余弦函數(shù),反正切函數(shù),反余切函數(shù),5.初等函數(shù),由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限