量子力學復習提綱.ppt

1、2011年物理學院量子力學期末考試總復習課，1、考試時間：第二十周星期三下午2:30(1月19日下午2:30 )、考試地點：西十二N101(0801組)西十二N102(0802組)、考試方式4、不帶任何復習資料，西十二N103(0803組)西十二n 103 在西十二S101(0805組)、試驗題型、1、簡單題(25分)、3、修正題表象下，對兩個Fermi子系統(tǒng)：進行自旋：第一章緒論、1、掌握微粒子(光和實物粒子)的波粒二象性，舉例說明。 (例如：普朗克黑體輻射理論、光電效應、康普頓效應等)、4、掌握玻爾量子理論的表現(xiàn)(3個假設)。 5、德布羅意物質(zhì)波假說的表現(xiàn)把握德布羅意關系式。 2 .掌握普

2、朗克能量子假說的表現(xiàn)。 3 .把握愛因斯坦光量子假說的表現(xiàn)?？倧土暤囊c、波粒二象性是微觀粒子的基本固有性，是量子理論的物理基礎。 從微觀粒子具有波粒二像性質(zhì)的基本觀點出發(fā)，可以利用物理邏輯推理的思維來推斷貫穿所有量子理論的三個基本特征，即概率解釋、量化現(xiàn)象、不確定關系。 其次，可以采用波函數(shù)假設、基本方程假設、算子假設、測量假設、全向同性原理假設這5個假設，在邏輯上支持非相對論量子理論框架。 掌握4個飛躍，第二章波函數(shù)和薛定諤方程式，9，薛定諤方程式和穩(wěn)定薛定諤方程式。 1、掌握定常概念的定常性質(zhì)。 掌握求解一維無限深井(能級、正則化波函數(shù))的步驟和方法。 2 .把握束縛狀態(tài)和非束縛狀態(tài)的概

3、念一維束縛固定性質(zhì)。 6、掌握波函數(shù)的物理內(nèi)涵波函數(shù)的模式平方的物理意義波函數(shù)應滿足的標準條件。 12 .掌握一維線性諧振子系統(tǒng)的哈密頓量、能級、波函數(shù)和宇稱特征。 3 .掌握簡并狀態(tài)(非簡并狀態(tài))和簡并度的概念。 4、掌握宇稱、偶宇稱和奇守稱的概念。 5、掌握基態(tài)、激發(fā)態(tài)的概念。 10 .掌握如何校正概率流密度向量。 7、掌握波函數(shù)統(tǒng)一修正解釋的表現(xiàn)和物理意義。8、掌握狀態(tài)迭代原理的表現(xiàn)和物理意義。 掌握一些重要概念、兩個原理、兩個假設、兩個模型、第三章量子力學中的力學量、5、動量運算符及其本征函數(shù)、本征值。 1、把握運算符的基本假設的表現(xiàn)，大大測量在物理上應該對應怎樣的運算符和原因。 9

4、.掌握坐標、動量和角動量運算符的對易關系式。 6 .可以掌握球坐標中角動量z分量運算符的表達式，并且求出其本征值方程。 7 .掌握角動量平方運算符的特征值、特征函數(shù)。 8 .把握用波函數(shù)記述的狀態(tài)下的氫原子的能級、角動量平方、角動量z成分的值、能級簡并度以及宇稱的特征。 10 .在某個系統(tǒng)狀態(tài)下求力學量平均值的方法(直接校正積分，或者通過求其狀態(tài)求力學量本征函數(shù)展開式的方法，或者H-F定理)。 11 .如果兩個或更多個力學量具有共同的本征函數(shù)集，構(gòu)成完整系數(shù)，則算子之間相互容易，反之亦然。 12、掌握無法測量關系的主要內(nèi)容的均方根偏差、均方根偏差的修正公式。 2 .掌握力學量可取值及其概率的求

5、解方法(測定基本假設)。兩個假設、兩個定理、三、hermy運算符的性質(zhì)，用于掌握army運算符的定義。 4、掌握保存量的定義保存量的性質(zhì)保存量和穩(wěn)態(tài)的差異。 把握2個定義、4個算子、2種式子、第4章的狀態(tài)和力學量的表象、1、狀態(tài)的表象的概念。2、表示把握算子的矩陣表示力學量算子的矩陣全部為雅美矩陣。 3 .運算符在自己的表象中是對角矩陣，把握作為對角要素的運算符的特征值。 4、把握運算符可以從一種表象轉(zhuǎn)換為另一種表象，特征值、對易關系、痕跡不變。 5 .根據(jù)算符矩陣確定其特征值和本征向量的方法。 6 .掌握消亡運算符、生成運算符、粒子數(shù)運算符和占有數(shù)表象的記述方法。 2 .掌握希爾伯特空間(狀

6、態(tài)空間)的概念。 第五章微擾理論，1、掌握非簡并穩(wěn)態(tài)微擾論求能量一級、二級微擾校正和波函數(shù)一級校正的方法微擾論的適用條件。 3、掌握斯塔效應的原因。 6、掌握光的發(fā)光和吸收三個基本過程。 2、掌握簡并恒微干涉論求能量的一階微干涉校正和零波函數(shù)的方法。 4、掌握黃金費米規(guī)則的表現(xiàn)內(nèi)容。 5、掌握狀態(tài)密度的概念。 第6章散射，2，2個基本方法：分波法、波恩近似法的精髓和適用范圍。1、3個基本概念：微分散射截面、總散射截面、散射振幅。 第7章掌握自旋與全同粒子、3、電子自旋算子的對易與反易的關系式。 4 .掌握電子自旋算子及其固有狀態(tài)和特征值。 掌握泡利矩陣。 掌握全同性粒子的概念、全同性原理的表現(xiàn)

7、內(nèi)容。 掌握自旋的單態(tài)和三重態(tài)的公式。 6 .了解簡單塞曼效應、復雜塞曼效應和光譜微結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生原因。 1、提出電子自旋，掌握實驗依據(jù)。 2 .掌握電子自旋假說的表現(xiàn)內(nèi)容。 9 .掌握波色子和費米子的概念和全同波色子和費米子波函數(shù)的對稱性要求。 7 .掌握無結(jié)合表象和結(jié)合表象的描述方式。 掌握11、二級氦和正氦的定義及其性質(zhì)差異大，轉(zhuǎn)換效率低的原因。微結(jié)構(gòu)、異常塞曼效應、正常塞曼效應，例5 (第三章)坐標分量算子和動量分量算子的對易關系是什么？寫出兩者滿意的不確定關系。 1、簡單解答例，例2(2章)簡單敘述波函數(shù)的基體假設。 例4(3章)為什么物理大的測量應該對應怎樣的運算符？ a :微觀系統(tǒng)的

8、狀態(tài)用一個波函數(shù)完全記述，從這個波函數(shù)可以得到系統(tǒng)的所有性質(zhì)。 波函數(shù)一般應該滿足連續(xù)性、有限性、單值性三個條件。 例3 (第二章)波函數(shù)用于描述什么？ 物理意義是什么？ a :波函數(shù)是用于描述系統(tǒng)的量子狀態(tài)的復函數(shù)。 顯示時刻tr附近的每單位體積發(fā)現(xiàn)粒子的概率。 a :在物理上對應于線性阿米算子。 線性是狀態(tài)疊加原理所要求的，阿米運算符的特征值是實數(shù)，可與(實數(shù))觀測值進行比較。 a :貿(mào)易關系，不確定關系是。 例1 (第一章)簡述普朗克的能量子假說。 a :對于一定頻率的電磁輻射，物體只能以單位吸收或發(fā)射。 2、證明問題例子，例1 (第二章)證明：一維約束穩(wěn)態(tài)、能級非簡并、相應的能量本征函

9、數(shù)始終可以是實函數(shù)。 在量子力學中，假定沒有特別發(fā)表聲明，勢能取實函數(shù)，即，如果滿足穩(wěn)態(tài)Schrdinger方程式，穩(wěn)態(tài)Schrdinger方程式也得到滿足，根據(jù)先前證明的結(jié)論，一維束縛穩(wěn)態(tài)，能級不退化，即，有3、修正算法示例1 .使用適當?shù)淖儞Q獲得系統(tǒng)的能量本征值和與其相應的本征值的系統(tǒng)漢密頓算法。 解： (3)將漢密爾頓算子改寫為，并且得知能量本征值明顯構(gòu)成力學量完全集合，其公共本征函數(shù)系為，對應的本征值為球諧函數(shù)。例2 .如果粒子處于狀態(tài)，則在(1)上分別求和的可取值和與之對應的可取值的概率，在(2)上同時測定和，測定和的概率，在(3)上測定之后測定的可取值和與之對應的可取值的概率，在(

10、4)上測定之后測定解：首先判斷是否為規(guī)范化狀態(tài)。 所以，已經(jīng)是規(guī)范化的狀態(tài)了。 接下來，計算各種條件下各個力學量的可能值和可能值的概率。 (1)球諧函數(shù)是運算符和的公共特征函數(shù)：(2)因為運算符和容易，所以兩者具有公共特征函數(shù)系，并且可以同時取確定值。 該可取值的概率是，(3)在狀態(tài)下測定后，狀態(tài)發(fā)生了變化的固有的狀態(tài)，因為是與固有的值對應的固有的狀態(tài)，所以此時如果進行再測定的話一定能夠得到確定值，或者測定值為的概率是1。 但是，狀態(tài)測量的概率是，因此從出發(fā)點測量的值是的概率應該是。 (4)為了在狀態(tài)測量之后改變狀態(tài)到新的狀態(tài)以獲得上述可能的值以及與該值對應的可能的值的概率，在狀態(tài)測量的可能的

11、值是和的每個可能的值的概率是可從狀態(tài)獲得的值(1)因為首先將波函數(shù)規(guī)范化，所以該系統(tǒng)是規(guī)范化波函數(shù)：因為是穩(wěn)態(tài)波函數(shù)，所以存在粒子的概率：(2)平均能量：概率：在這里，因為是無限深井，所以是與兩個狀態(tài)的疊加，所以能量的可能的測定值，或者已知氫原子處于用歸一化的徑向波函數(shù)(量子數(shù))即波函數(shù)來描述的狀態(tài)。 (1)要寫出電子自旋向上的概率(2)試制電子被方向性的立體角要素測量的概率(3)通過實驗證明該狀態(tài)都不是軌道角動量的z分量、自旋轉(zhuǎn)z分量的固有狀態(tài)，而是總角動量的z分量的固有狀態(tài)，(4)求出該狀態(tài)下的平均值解：先求出問題狀態(tài)的歸一化系數(shù)，為了的歸一化，對問題的狀態(tài)進行歸一化，(2)用方向的立體角

12、要素測量電子的概率，(1)電子的自旋提升的概率是。 (4)上述(1)、(2)的2個公式可知，總角動量的z分量的特征值(特征值)、(2)都不是零，不是相同的狀態(tài)，軌道角動量z分量，從而注意歸一化系數(shù)而得到。 其中是粒子的第n個能量固有狀態(tài)。 求(t=0時能量的可取概率和平均值，(2)求t 0的任意時刻的波函數(shù)，(3)求t 0時的能量的可取概率和平均值。 解：由于非對稱一維無限深勢阱中的粒子的本征解表明(阱內(nèi))歸一化常數(shù)為，所以歸一化后的波函數(shù)中，能量取得的概率以及能量取其他值的概率全部為零。 t=0時的能量平均值為： (2)由于哈密頓算子中不包含時間，所以t 0時的波動函數(shù)為： (3)由于哈密頓

13、量為保存量，所以保存量的概率與平均值不隨時間變化，換言之，t=0時的能量的取得概率因此，t 0時的能量可取的概率以及平均值與t=0時相同。 (2)使用微干擾理論對能量進行二次校正：解： (1) H的特征值是方程式的根，(1)求h的精確特征值；(2)使用微干擾理論對能量進行二次校正。 的雙曲馀弦值。 這是實數(shù)。 然而，考慮一個三維狀態(tài)空間問題，在給定的正交基礎集下，漢密頓算子取自能量的二次校正，而本征值取自問題的能量的一次校正，即，取自精確的二次近似的能量本征值的等級0近似用微擾論求能量水平和波函數(shù)，對于非簡并能量水平，波函數(shù)求到項，能量水平求到項，對于簡并能量水平，波函數(shù)求到零水平近似，能量水

14、平求到項。 不退縮，構(gòu)成二重退縮能級。 零水平近似波函數(shù)是具有相同和的能量水平的兩個退化狀態(tài)。 關于能級使用非簡并微干涉論：關于和能級使用簡并微干涉論。 在構(gòu)成為基群的子空間中，的矩陣是原矩陣除了第一行和第一列的剩馀子矩陣，應該為了對角化解模態(tài)方程，應該解長期方程，得到的，這是能量的一次修正，解：分解給體系帶來問題的哈密頓量的方程求解零級能量，非簡并與其對應的零級能量本征狀態(tài)為： (1)，零級非簡并，因此，在非簡并微干擾校正算法中，我們對微干擾項的零級能量本征狀態(tài)空間的矩陣元素進行校正， 需要如下所述先校正的從非退化微干擾論的能量精度到二次和狀態(tài)矢量精度到一次近似的校正公式，例9 .考慮系統(tǒng)的哈密頓量時，所選擇的一組正交歸一基下的矩陣形式為： (1)能量的可能測量值為能量本征值，長期方程式2 )、例10.2維諧振器的哈密頓量，在(1)求出系統(tǒng)的能級和能特征值(2)時，給出第一、第二激發(fā)態(tài)的簡并度(3)此時匯總了任意能級的簡并度。 解： (1)如果已知一維諧振器的能量特征值和特征值是歸一化常數(shù)，則系統(tǒng)的特征函數(shù)是第二激發(fā)態(tài)、簡并度為3，其中，例11 .耦合諧振器的Hamilton量是、和，分，(1)、(2)，解：如果沒有耦合項，則為二維各向同性諧振器Hamil