培養(yǎng)思維能力.ppt

1、培養(yǎng)思維能力 明確數(shù)學(xué)思想,2006年12月11日,問題提出的背景： 一、新課程的理想與一線教學(xué)的現(xiàn)實有很大的差距 北師大教材是改革步伐最大的，它想讓教師們由呈現(xiàn)的內(nèi)容，再根據(jù)學(xué)生情況來采用最適合自己學(xué)生的思維培養(yǎng)方法。 而現(xiàn)實是很多教師（特別是沒教過人教教材的年青教師）看不透教材里隱含的內(nèi)容，不清楚什么是良好的思維品質(zhì)，有哪些數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中如何呈現(xiàn)，有什么用等等問題有待討論。,二、教師的教學(xué)理念有待更新 很多初級中學(xué)的教師對我說：我們的學(xué)生基礎(chǔ)太差了，數(shù)學(xué)知識的掌握都有問題，哪里還有時間和精力能力談什么思維能力的培養(yǎng)。 三維目標不是三層目標，它們是

2、相輔相成的，相互促進，缺一不可。有意識地培養(yǎng)思維能力，很多瑣碎的知識方面的困難是可以跨過的，類似于坐在直升飛機上看森林，真面目清清楚楚。,基于問題，今天先論討一些理論層面的論述，具體的操作可見歐光劍老師和伍述輝老師的專題講座。,良好的思維品質(zhì)：,1思維的深刻性。 數(shù)學(xué)思維的深刻性是學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中，在對事物的觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的過程中，在歸納、演繹、類比等推理過程中，在對自己的數(shù)學(xué)思想方法的闡述過程中，都會體現(xiàn)出思維深刻性的差異來。“刨根問底”、“打破沙鍋問到底”是深刻性的寫照，“去粗取精，去偽存真，由此及彼，由表及里”也是深刻性的體現(xiàn)。,2思維的靈活性。 數(shù)學(xué)

3、學(xué)習(xí)中思維靈活性往往表現(xiàn)在隨著具體條件而確定解題方向，并能隨著條件的變化而有的放矢地轉(zhuǎn)化解題方法；表現(xiàn)在從新的高度、新的角度看待已知知識；還表現(xiàn)在從已知的數(shù)學(xué)關(guān)系中看出新的數(shù)學(xué)關(guān)系。思維的靈活性與思維的發(fā)散性有一致的地方。發(fā)散思維的特點是多開端、靈活、精致和新穎。,3思維的獨創(chuàng)性。 中學(xué)生的獨立編題能力迅速發(fā)展，編題的抽象概括性也在發(fā)展，尋找新穎解題方法的水平也在提高；初中生還沒有解題時的創(chuàng)造靈感表現(xiàn)，而高中生同有靈感的萌芽。總之，中學(xué)階段數(shù)學(xué)思維的獨創(chuàng)性在迅速發(fā)展，但還不成熟。它的成熟比其它思維品質(zhì)要晚些。,4思維的批判性。 學(xué)生當中經(jīng)常有人對老師和教材提出異見，但我們要知道，我們所謂的批判

4、性具有五個特點：（1）分析性，即在思維活動中不斷地分析解決問題所依據(jù)的條件，反復(fù)驗證業(yè)已擬定的假設(shè)、計劃和方案；（2）策略性，即能夠根據(jù)當前任務(wù)的需要，調(diào)動自己已有的知識經(jīng)驗，將它們組織為相應(yīng)的解題策略或手段，并使它們在解題中發(fā)揮作用；（3）全面性，即在思維活動中能夠客觀地從各個側(cè)面考慮問題，把握問題的進展情況，善于進行自我評價，堅持正確計劃，隨時修改錯誤方案；（4）獨立性，即不為情景性暗示所左右，不迷信權(quán)威，敢于對權(quán)威的觀點提出疑問，不人云亦云、盲目附和；（5）正確性，即思維過程嚴謹，條理清晰，思維結(jié)果正確，結(jié)論實事求是。,5.思維的敏捷性。 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思維的敏捷性主要表現(xiàn)為能夠縮短運算

5、環(huán)節(jié)和推理過程，而這又有賴于在正確前提下的速度訓(xùn)練。經(jīng)過練習(xí)，從中總結(jié)經(jīng)驗，進而概括出規(guī)律。并通過應(yīng)用而達到熟練的程度，從而產(chǎn)生思維的敏捷性。因此，敏捷性又與概括性緊密相聯(lián)，推理的縮短取決于概括，“能立即進行概括的學(xué)生，也能立即進行推理的縮短?！?上述五種思維品質(zhì)相輔相成，密不可分，組成一個有機整體。其中，思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；靈活性和獨創(chuàng)性是在深刻性基礎(chǔ)上引伸出來的兩個思維品質(zhì)，它們是交叉的關(guān)系，兩者互為條件，不過前者更具有廣度和富有順應(yīng)性，后者則更具深度和新穎性，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展。思維的批判性是在深刻性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的品質(zhì)，只有深刻的認識、周密的思考，才能全面

6、而準確地作出判斷，同時，只有不斷地進行自我批判、及時調(diào)節(jié)思維過程，才能使主體更加深刻地揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律。思維的敏捷性是以其它四個思維品質(zhì)為必要前提的，同時又是其它四個品質(zhì)的具體表現(xiàn)。,初中常見的數(shù)學(xué)思想 一、符號語言思想： 使用符號化語言和在其中引進“變元”，是數(shù)學(xué)科學(xué)高度抽象性的要求，用含有變元的符號組合來表示一般規(guī)律和規(guī)則，是作為經(jīng)驗科學(xué)的“算學(xué)”，進到作為理論科學(xué)的“數(shù)學(xué)”的第一標志，我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最大的弱點是沒有普遍貫徹符號化與變元表示的思想，因此在許多方面難以表示數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，這個弱點曾長期阻礙我國數(shù)學(xué)的高度發(fā)展。,數(shù)學(xué)是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)符號就是數(shù)學(xué)的語言-世界上最通用的一

7、種語言，它是數(shù)學(xué)抽象物的表現(xiàn)形式，是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種反映結(jié)果。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，無時無刻不貫穿著這一思想的滲透，小學(xué)的填數(shù)題，其實就是方程問題，我們用“方框”或“圓圈”等符號表示數(shù)，讓學(xué)生有一種初步的認識，到了中學(xué)，方程的引入充分的體現(xiàn)了這一思想的應(yīng)用，另外換元法等方法的滲透，更進一步讓符號化變元思想充分體現(xiàn)其優(yōu)勢，再次參數(shù)思想的引入，使得對于一個比較復(fù)雜的問題根據(jù)問題的整體形式尋找制約因素，抓住基本量，引入適當參數(shù)，聯(lián)系已知條件，使問題得到簡潔可行的解答。,二、集合思想 數(shù)系、點集、解集是集合的雛形和基礎(chǔ)。 數(shù)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中主要研究的對象，是立足于集合概念之上的，隨著數(shù)系的逐步擴

8、展，實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系，促使數(shù)形結(jié)合，逐步展開對各種數(shù)學(xué)問題的討論，為一元一次不等式的解集對應(yīng)數(shù)軸上的一個點集；又如數(shù)值函數(shù)可完全由其圖象確定，該圖象是平面上的一個點集，對應(yīng)著RR的一個子集，所以，數(shù)值函數(shù)是RR的一個子集，可見，中學(xué)教學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)對象歸跟到底都歸結(jié)為集合。,三、方程與函數(shù)思想 函數(shù)是數(shù)集之間的一種特殊對應(yīng)，它是反映客觀事物及其運動變化的一種重要形式，也是解決實際問題的有力工具。函數(shù)思想的建立是數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入變量數(shù)學(xué)的樞紐，使數(shù)學(xué)能有效地揭示事物運動變化的規(guī)律，反映事物（集合）間的相互聯(lián)系，它不僅使數(shù)學(xué)由研究狀態(tài)進到研究過程，而且引起了傳統(tǒng)的常量數(shù)學(xué)觀點的更新，諸如

9、方程、不等式、數(shù)列以及三角學(xué)等內(nèi)容均可以統(tǒng)舊到函數(shù)思考下進行研究。,如果把二元方程 理解為隱函數(shù)，那么平面解析幾何也處處運用函數(shù)思想，解析幾何中的“參數(shù)法”（通過曲線的普遍方程與參數(shù)方程互化來研究解決問題的方法），直角坐標與極坐標的互化，代數(shù)中的“換元法”等實質(zhì)上都是復(fù)合函數(shù)思想的體現(xiàn)。 因此，函數(shù)是貫穿中學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一根紅線，不僅是高中數(shù)學(xué)的中心，而且也是初中數(shù)學(xué)的一個基點。,四、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)與形是現(xiàn)實世界客觀事物的抽象和反映，是數(shù)學(xué)的基石?！皵?shù)”主要是指實數(shù)，復(fù)數(shù)或代數(shù)對象及其關(guān)系，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物；“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物

10、，數(shù)形結(jié)合使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存，彼此激發(fā)，全面協(xié)調(diào)、深入發(fā)展人的思維能力。,數(shù)形結(jié)合思想，是通過數(shù)形之間的對應(yīng)與互助來研究問題并解決問題的思想，“形”中的若量（如距離，角度，面積，體積等）在一定單位制中可分別對應(yīng)若干確定的“數(shù)”，這種對應(yīng)一般又可分解成多個映射，笛卡爾通過建立點與有序數(shù)組對應(yīng)實現(xiàn)了“位置的量化”，這是數(shù)形線路合的一個根本點，后來三角學(xué)的崛起體現(xiàn)了數(shù)與形的“戰(zhàn)術(shù)性”結(jié)合，為數(shù)學(xué)開辟一個廣闊的新天地。解析幾何的建立是數(shù)與形的“戰(zhàn)略性”結(jié)合的標志，數(shù)形結(jié)合思想的另一重要體現(xiàn)。是“向量”概念的建立。 運用數(shù)形結(jié)合思想處理問題，就是在處理問題時，斟酌問題的具體情形，使

11、圖形性質(zhì)問題借助于數(shù)量關(guān)系的推演而具體量化，或者使數(shù)量關(guān)系的問題借助于幾何直觀而形象化，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。實現(xiàn)抽象概念與具體形象表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。,五、化歸轉(zhuǎn)化思想（用數(shù)學(xué)思想燒開水） 是最廣泛的思想，你幾乎在解每一道題都用到它。比較明顯的轉(zhuǎn)化思想可以分為以下幾類： 1）特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化有些一般性的問題，可將其轉(zhuǎn)化為特殊問題進行處理。這種轉(zhuǎn)化是解選擇題的重要方法之一。 2）數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化 3）動與靜的轉(zhuǎn)化 這種動靜轉(zhuǎn)化的思想方法在求解軌跡題、求證定值題中常常采用。 轉(zhuǎn)化后得到的新問題應(yīng)是易于解決的問題，為此常常需要把較生疏的問題轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為比

12、較簡單的問題；將抽象問題轉(zhuǎn)化成比較具體的問題。,六、分類討論思想 分類討論的步驟為：確定對象、分類討論、歸納綜合。 分類討論的思想，就是解題中對于那些結(jié)論必須用分段形式敘述的問題或所研究的對象的全體不宜用同一方法處理的問題，采用化整為零，各個擊破，使問題獲得解決的思想。 用分類討論法解題必須遵循一定的規(guī)則： （1）對全體對象的分類必須做到不重不漏； （2）分類只能按同一標準進行； （3）討論應(yīng)逐漸進行。,七、公理化思想 數(shù)學(xué)被尊崇為嚴謹科學(xué)的典范，是由于它首先成功地貫徹公理化思想，例如，歐幾顯得就是把亞里士多德總結(jié)的公理化思想萌芽應(yīng)用到幾何中，逐步完善并貫徹了公理化思想，把古代關(guān)于幾何的經(jīng)驗知

13、識條理化、系統(tǒng)化，形成了一個合乎邏輯的體系，寫出舉世聞名的劃時代著作幾何原本。所謂公理化，就是先列出一些不加定義的基本概念和不加證明的基本命題作為公理，然后在這個基礎(chǔ)上，以推演規(guī)則為工具，把某一范圍內(nèi)（或系統(tǒng)）的新要領(lǐng)及真命題推演出來，對于已給定的公理和推演規(guī)則，一方面我們希望從它能推出更多的新概念及真命題，最好能把某一范圍內(nèi)（或某系統(tǒng)內(nèi)）的新概念及真命題全部推出來，而且最好能使其作為出發(fā)點的公理最少，簡言之，公理要最少，而推出的結(jié)果要最多，同時，我們還要求從它不能推出我們所不要的東西，特別是不出現(xiàn)邏輯矛盾。 中學(xué)數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)，原則上也就按公理思想展開的，特別是平面幾何，立體幾何還明確列出公理

14、，整個數(shù)學(xué)教材大體是按下列的邏輯結(jié)構(gòu)，采用演繹方法展開的。,數(shù)學(xué)思想方法的獲得，一方面是課中有意的滲透，但更多的是靠學(xué)生在反思過程中領(lǐng)悟，教師要引導(dǎo)學(xué)生自覺地檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題的，運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走過哪些彎路，有哪些容易發(fā)生的錯誤，原因何在，該記住哪些經(jīng)驗教訓(xùn)，等等。只有這樣，才能對數(shù)學(xué)思想方法有所認識，對數(shù)學(xué)的理解一定會由量的聯(lián)系發(fā)展到質(zhì)的飛躍。,例如，在得出平行四邊形的面積公式后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：我們是怎樣得出平行四邊形的面積公式的？讓學(xué)生在反思的過程中領(lǐng)悟：通過剪、移、拼的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過面積計算的長方形、正方形，即由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想，而這次化歸思