2002考研數(shù)學一真題及答案解析

1、2002年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)=.(2)已知函數(shù)由方程確定,則=.(3)微分方程滿足初始條件的特解是.(4)已知實二次型經(jīng)正交變換可化成標準型,則=.(5)設隨機變量服從正態(tài)分布,且二次方程無實根的概率為,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)考慮二元函數(shù)的下面4條性質:在點處連續(xù);在點處的兩個偏導數(shù)連續(xù);在點處可微;在點處的兩個偏導數(shù)存在若用“”表示可由性質推出性質,則有(A).(B).(C).

2、(D).(2)設,且,則級數(shù)(A)發(fā)散.(B)絕對收斂.(C)條件收斂.(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.(3)設函數(shù)在內(nèi)有界且可導,則(A)當時,必有.(B)當存在時,必有.(C)當時,必有.(D)當存在時,必有.(4)設有三張不同平面的方程,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,則這三張平面可能的位置關系為(5)設和是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量,它們的概率密度分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)必為某一隨機變量的概率密度.(B)必為某一隨機變量的概率密度.(C)必為某一隨機變量的分布函數(shù).(D)必為某一隨機變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連

3、續(xù)導數(shù),且,若在時是比高階的無窮小,試確定的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù),是上半平面(0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點為(),終點為().記(1)證明曲線積分與路徑無關;(2)當時,求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗證函數(shù)滿足微分方程;(2)利用(1)的結果求冪級數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設有一小山,取它的底面所在的平面為坐標面,其底部所占的區(qū)域為,小山的高度函數(shù)為.(1)設為區(qū)域上一點,問在該點沿平面上什么方向的方向導數(shù)最大?若記此方向導數(shù)的最大值

4、為,試寫出的表達式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說,要在的邊界線上找出使(1)中達到最大值的點.試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為維列向量,其中線性無關,如果,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當均為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設維隨機變量的概率密度為對獨立地重復觀察次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學期望.十二、(本題滿分7分)設總體的概率分布為0123其中是

5、未知參數(shù),利用總體的如下樣本值求的矩估計值和最大似然估計值.2002年考研數(shù)學一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對兩次求導得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對應);由時得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析】因為二次型經(jīng)正交變換化為標準型時,標準形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設事件表示“二次方程無實根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導性,可微性及偏導

6、數(shù)的連續(xù)性之間的關系.我們知道,的兩個偏導數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若可微則必連續(xù),故選(A).(2)【分析】由充分大時即時,且不妨認為因而所考慮級數(shù)是交錯級數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級數(shù)收斂.再考察取絕對值后的級數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(C).(3)【分析】證明(B)對:反證法.假設,則由拉格朗日中值定理,(當時,因為);但這與矛盾(4)【分析】因為,說明方程組有無窮多解,所以三個平面有公共交點且不唯一,因此應選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是(C)中三個平面沒有公共交點,即方程組無解,又因三個平面中任兩個都不行,故和,且中任兩個平行向量都線性無關.類似地,(D)

7、中有兩個平面平行,故,且中有兩個平行向量共線.(5)【分析】首先可以否定選項(A)與(C),因對于選項(B),若則對任何,因此也應否定(C),綜上分析,用排除法應選(D).進一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達法則.由題設條件知由于,故必有又由洛必達法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關于對稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關.(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證

8、明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因為冪級數(shù)的收斂域是,因而可在上逐項求導數(shù),得,所以.(2)與相應的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當時,有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質:函數(shù)在點處沿該點的梯度方向方向導數(shù)取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點在條件下的最大值點.這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點現(xiàn)比較在這些點的函數(shù)值:因為實際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點.九、【解】由線性無關及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎解系中只包含一個向量.那么由知,的基礎解系是再由知,是的一個特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實對稱矩陣知,均相似于對角陣,若的特征多