一起學(xué)奧數(shù)-填數(shù)陣圖(五年級(jí)).ppt

1、風(fēng)子編輯,填 數(shù) 陣 圖,五年級(jí),教育目標(biāo),認(rèn)識(shí)和了解一些簡(jiǎn)單的數(shù)陣圖結(jié)構(gòu),教育重點(diǎn),用代數(shù)思想解決數(shù)陣圖問題,教育難點(diǎn),填數(shù)陣圖需要綜合運(yùn)用各種知識(shí)點(diǎn)，包括代數(shù)思想、以數(shù)助形等,掌握填數(shù)陣圖的兩種方法：待定系數(shù)法和試驗(yàn)法,學(xué)會(huì)代數(shù)思想的運(yùn)用，并能夠用來解決實(shí)際問題,第一課 基礎(chǔ)部分,例1、如圖，內(nèi)分別填入1，2，7這七個(gè)數(shù)，如果6個(gè)三角形的頂點(diǎn)處內(nèi)的數(shù)字之和是64，那么，中間內(nèi)填入的數(shù)是什么？,【分析】在填數(shù)陣圖時(shí)，我們要學(xué)會(huì)代數(shù)思想的運(yùn)用，左圖是“形”，“形”可以形象的表示對(duì)象與對(duì)象之間的關(guān)系，“數(shù)”可以進(jìn)行計(jì)算并定位。,填數(shù)陣圖的過程，也就是對(duì)每個(gè)圓圈進(jìn)行準(zhǔn)確定位。但我們只知道七個(gè)圓圈內(nèi)

2、要填的數(shù)是17這七個(gè)數(shù)，而不知道哪個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)哪個(gè)圈。,當(dāng)“數(shù)”與“形”存在不確定關(guān)系時(shí)，我們可以用代數(shù)思想，用符號(hào)來表示某個(gè)“形”所代表的數(shù)。,設(shè)七個(gè)圓圈內(nèi)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d、e、f、g，并隨機(jī)的填在七個(gè)圓圈中。,a,b,c,d,e,f,g,根據(jù)6個(gè)三角形頂點(diǎn)處的數(shù)字之和為64，可以得到一個(gè)等式。,(a+b+c)+(a+c+d)+(a+d+e)+(a+e+f)+(a+f+g)+(a+g+b)=64,即：4a+2（a+b+c+d+e+f+g）=4a+2（1+2+3+4+5+6+7)=64 所以，得：a=2,思考？1）邊上的六個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)是否影響6個(gè)三角形的而數(shù)字和；2）如果每個(gè)三角形的和

3、為12，該如何填？,例2、請(qǐng)?jiān)谌缦聢D所示的88表格的每個(gè)格子中填入1或2或3，使得每行、每列所填數(shù)的和各不相同。,【分析】條件為：1）每個(gè)格子中填1或2或3，2）每行每列所填數(shù)的和都不同。,分析左邊表格：規(guī)則、每行每列的格子數(shù)相同。,我們可以按照規(guī)律填寫，使每次填寫的數(shù)，有一格比上次填的數(shù)大1,1 1 1 1 1 1 1 1,1 1 1 1 1 1 2,1 1 1 1 1 1 3,1 1 1 1 2 3,1 1 1 1 3 3,1 1 2 3 3,1 1 3 3 3,2 3 3 3,3 3 3 3,3 3 3,3 3 3,3 3 3,3 3 3,想一想，還能怎么填？注意填寫規(guī)律。,例3、請(qǐng)將1

4、個(gè)1、2個(gè)2、3個(gè)38個(gè)8、9個(gè)9填入如下圖所示的表格中，使得相同的數(shù)所在的方格都連在一起（相連的兩個(gè)方格必須有公共邊）?，F(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個(gè)方格的數(shù)，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同，那么五位數(shù)CDEFG是什么？,【分析】在左圖能夠填的數(shù)時(shí)9個(gè)，而AG共七個(gè)字母。1個(gè)1已填在左圖上，而5離已填的字母太遠(yuǎn)（最近距離超過4個(gè)格子），所以AG代表的數(shù)對(duì)應(yīng)2、3、4、6、7、8、9這七個(gè)。,從最少的數(shù)開始嘗試。2個(gè)2，一個(gè)已經(jīng)填好，還有一個(gè)必須在七個(gè)字母中出現(xiàn)，且與已填的2相鄰，所以D=2,2,3個(gè)3。從已填的3到填字母這一行，最近距離正好三格，所以C=3,3,3,從已填的數(shù)去字母這一行

5、，如果先向右走一格，則2的右邊一格無數(shù)可填。所以，4的必須往上走，且E=4,4,4,此時(shí)，已填數(shù)的右邊或下邊填4，就會(huì)影響8、9的走向，所以，應(yīng)該繼續(xù)往上走,4,現(xiàn)在可以看出，7的右邊兩個(gè)只能時(shí)7，所以7往下突破，B=7。后邊幾個(gè)7不往下走，會(huì)影響到與A相連的數(shù)。,7,7,7,7,7,7,接著，可以設(shè)計(jì)5的走向與8、9之間的關(guān)系，可以得到F=8、G=9,5,5,5,5,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,6,6,6,6,6,6,剩下一個(gè)A與6，顯然A=6符合要求,所以，這個(gè)五位數(shù)為32489.,例4、如下圖的第一行的五個(gè)內(nèi)填上五個(gè)不同的自然數(shù)，然后從第二行開始每個(gè)內(nèi)的數(shù)

6、都是上一行與它相鄰的兩個(gè)數(shù)之和，一直計(jì)算到最后一個(gè)數(shù)恰好是50，且滿足14個(gè)內(nèi)的數(shù)也各不相同。,50,【分析】題目給定了圓圈中數(shù)的相互關(guān)系，這就需要我們能夠用“數(shù)”的概念來解決這個(gè)數(shù)陣圖。先在每個(gè)圈中天上相應(yīng)的字母符號(hào)，以便于計(jì)算相互之間的關(guān)系。,a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,d1,d2,根據(jù)題目給定條件，可以寫出等式如下：,d1+d2=50 d1=c1+c2 d2=c2+c3 則有c1+2c2+c3 =50,c1= b1+b2 c2= b2+b3 c3= b3+b4 則有b1+3b2+3b3+b4 =50,b1= a1+a2 b2= a2+a3 b3

7、= a3+a4 b4= a4+a5 則有a1+4a2+6a3+4a4 +a5=50,采用確定大系數(shù)項(xiàng)數(shù)（使盡可能的?。?，再用系數(shù)為1的項(xiàng)做調(diào)整的方法。取a2=2， a3=1， a4=4 ，則有a1+8+6+16+a5=50，即a1+a5=20,對(duì)20進(jìn)行拆分，拆分時(shí)避免出現(xiàn)已經(jīng)出現(xiàn)過的數(shù)字。則有 20=17+3=15+5=14+6=13+7=12+8=11+9,共有6組拆分方式，試填這六種方法，可以發(fā)現(xiàn)滿足14個(gè)內(nèi)的數(shù)各不相同的僅三種,a1=14 ，a2=2， a3=1， a4=4， a5=6； a1=13 ，a2=2， a3=1， a4=4， a5=7； a1=7 ，a2=2， a3=1，

8、a4=4， a5=13,例5、將110這10個(gè)數(shù)填入如下圖的10個(gè)內(nèi)，要求任意兩個(gè)相鄰的數(shù)之差不少于3。,【分析】因?yàn)?0不能被3整除，且1033，所以可以用隔2個(gè)填一個(gè)數(shù)的方法填數(shù)。,2,7,5,4,8,9,10,6,1,3,因?yàn)?0為偶數(shù)，我們也可以采用使相對(duì)的兩數(shù)之差足夠小的方法，即讓1和2，3和4，5和6，7和8，9和10相對(duì)。,4,3,10,7,6,8,9,2,1,5,有興趣的小朋友可以嘗試去構(gòu)建一個(gè)類似的數(shù)字圈,請(qǐng)問，這兩種方法，哪種填寫更方便？,例6、如下圖中有十三個(gè)空白圓圈，要求把113這十三個(gè)數(shù)填入各空白圓圈內(nèi)（其中3、4已經(jīng)填好），使得上面兩個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的和，等于和它相連的下

9、面圓圈內(nèi)的數(shù)，并且最下面四個(gè)圓圈中的數(shù)之和等于43。,43,3,4,【分析】本題與例1和例4類似，都需要用到代數(shù)思想。我們先賦予空白圓圈一個(gè)字母，以代表這個(gè)圓圈的數(shù)。,A,F,D,C,B,I,G,K,J,E,H,根據(jù)題目給出的條件，我們可以得到如下等式：,A+B+C+D=43 4+E=A H+I=E I+F=B 3+J=C J+K=G G+K=D,因?yàn)檫@13個(gè)圓圈分別填上113這十三個(gè)數(shù)，所以 A+B+C+D+4+E+H+I+F+G+K+3+J=91 43+A+H+B+C+D=91 43+43+H=91 H=5,A=4+E=4+5+I=9+I，因?yàn)锳13，所以I4，3、4已經(jīng)給出，則I=1或2

10、,J+K=G G+K=D 即J+K+K=D13，所以K6。當(dāng)K=6時(shí)，J=1，則C=4（不符），而3、4、5已經(jīng)給出，所以K=1或2,當(dāng)K=2，I=1，可以按要求填出如圖所示的數(shù),1,5,6,10,2,9,11,12,13,7,8,當(dāng)K=1時(shí)，G=J+1，D=J+2，C=J+3說明J、G、D、C是連續(xù)自然數(shù)，剔除I、E、H的值，剩余數(shù)為6、8、9、10、12、13，沒有連續(xù)四個(gè)自然數(shù)，所以不符。,第二課 提高部分,例1、根據(jù)下圖，小偷與警察每人每次走一步，警察先走，問警察最少走幾步能抓住小偷。,A,B,C,D,小偷,警察,【分析】說這個(gè)是數(shù)陣圖，到不如說更是一個(gè)數(shù)陣游戲。,按照習(xí)慣思維，警察抓

11、小偷，就應(yīng)該步步緊逼。比如，警察應(yīng)該先跳到A或D點(diǎn)?？墒?，這樣的話，小偷可以還是能夠跑掉。,小朋友一起在紙上演示下吧，看看哪兩個(gè)人的方法最好。,給大家一個(gè)方法：警察先到C小偷只能去A警察去D小偷只能去B 警察進(jìn)入中間位置，這時(shí)小偷不管去A還是C，都會(huì)被警察抓住。,所以，警察最少要走4步才能抓住小偷。,上面的游戲啟發(fā)我們，做事情要懂得以退為進(jìn)。,例2、將113這自然數(shù)分別填入下圖的各個(gè)內(nèi)，使每條線段上5個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等，并且兩個(gè)六邊形6個(gè)頂點(diǎn)上內(nèi)數(shù)的和也相等。,【分析】觀察左圖，找出這個(gè)圖的特點(diǎn)。,這個(gè)圖由兩個(gè)六邊形和中間一個(gè) ，及三條直線組成數(shù)陣圖。顯然，這是一個(gè)復(fù)合型數(shù)陣圖。具有雙重約束。,我

12、們先不考慮六邊形約束，使五條線段上的5個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等。中間交叉位置是關(guān)鍵點(diǎn)，被重復(fù)使用三次。,假設(shè)中間位置上的數(shù)字為a，因?yàn)?+2+3+13=91 所以3|91-a,又因?yàn)閮蓚€(gè)六邊形頂點(diǎn)上的數(shù)字和相等，所以 2|91-a,所以，符合條件的a有1、7、13,確定中間數(shù)為1，則每條直線上的數(shù)字之和為（91-1）3=30，且每個(gè)六邊形上的數(shù)字之和為45.,剩下的步驟請(qǐng)大家自己完成，也可以嘗試7或13作為中間位置的數(shù)字,觀察圖形，結(jié)合之前學(xué)過的知識(shí)，如何利用位置規(guī)律來填數(shù),例3、如下圖所示，試分別填入1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)字，使得圖中用線段連結(jié)的兩個(gè)小圓圈內(nèi)所填的數(shù)字之差（大數(shù)字減小

13、數(shù)字）恰好是1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)字。,C,A,E,F,G,H,B,D,【分析】先問大家一個(gè)問題，1、2、38，這8個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)相減（大數(shù)減小數(shù)），差最大是多少？,當(dāng)然是7。最大的那個(gè)數(shù)減去最小的數(shù)，差肯定最大。所以，8和1必須是一對(duì)。,假設(shè)A=8,C=1。第二個(gè)問題是，把大數(shù)放在8周圍，得到小差值，是否可行,顯然是不行的。如果F=7,E=6 ，那么剩下的數(shù)2、3、4、5這四個(gè)數(shù)沒法得到差為6。所以，A周邊要選盡量小的值,因此，E=2,F=3。剩下4、5、6、7，且已經(jīng)有的差是7、6、5,4、5、6、7這四個(gè)數(shù)任意兩個(gè)相減，最大可以得到3，最小是1。,第三個(gè)問題，如果不考慮AB間的差值，把4、5、6、7這四個(gè)數(shù)填到B、D、G、H四個(gè)圓圈后，7個(gè)數(shù)字之差還缺哪個(gè)數(shù)？,缺少一個(gè)4。所以B=4。最后把D、G、H分別天上5、6、7，得到差為1、2、3,極端處理