北京大學(xué)量子力學(xué)課件_第13講.ppt

1、,第 十 三講 . 力學(xué)量算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì) A. 力學(xué)量的每一可取值都是實(shí)數(shù)（即本征 值）； B. 相應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)是正交的,C.Schmit正交化方法 如果一個(gè)本征值A(chǔ)n對(duì)應(yīng)S個(gè)線性無關(guān)的本征 函數(shù)，這組本征函數(shù)并不一定正交，我們可以通 過Schmit正交化方法來實(shí)現(xiàn)正交歸一化 。 取 使 ； 取 ， 顯然，保證 ，且 。 同樣有,這必然有 ，且,D. 測量結(jié)果的幾率 在 中測量力學(xué)量 取值 的幾率為 E. 直接可觀測的力學(xué)量的本征函數(shù)構(gòu)成 一完備組。 如 是力學(xué)量 的本征函數(shù)組，則任 一波函數(shù)可以以 展開,.連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化” （1）連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化” 連續(xù)譜

2、正交歸一化的本征函數(shù) 應(yīng) 使其有,“正交歸一”的動(dòng)量本征函數(shù)為 “正交歸一”的坐標(biāo)本征函數(shù),而由 由這可見（如 已歸一化）， 為測量 取值在區(qū)域 中的幾率。 (2) 函數(shù) A. 函數(shù)的定義和表示 函數(shù)不是一般意義下的函數(shù)，而是 一分布。但習(xí)慣上仍將它看作一函數(shù)。,其重要性和意義在積分中體現(xiàn)出來； 它可用一函數(shù)的極限來定義。 ab,事實(shí)上,我們已一些表示式（作為函數(shù)參量極限）,B. 函數(shù)的性質(zhì) 它們?cè)诜e分中出現(xiàn)時(shí)，左邊表示可被右 邊表示代替。 推論：如有方程AB，則,例 所以 ， 由于 對(duì)于 a, b都大于零或都小于零，兩式相等； 但a0或a0, b0,則兩式不等，從而可定出c，即, 若 ，但

3、，即不是重根。, ,C. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)具有任何級(jí)的導(dǎo)數(shù)，可以證明 , 例：求 之解. 因 , 所以特解是 而相應(yīng)齊次方程是,有解 。 從而得通解 事實(shí)上 應(yīng)特別注意,（3）本征函數(shù)的封閉性 已經(jīng)討論過厄密算符本征態(tài)的正交，歸一 和完備性，即 （正交，歸一）,（完備） 對(duì)于連續(xù)譜 現(xiàn)來討論本征函數(shù)的封閉性,所以 由此可見， 上述表示式稱為本征函數(shù)的封閉性，它表明 本征函數(shù)組可構(gòu)成一函數(shù) 。 例1 的本征函數(shù),有 ，即 人們熟習(xí)的形式： 例2 的本征函數(shù),A. 封閉性是正交、歸一的本征函數(shù)完備性 的充分、必要條件。 若 是完備的 封閉性（必要條件） 有封閉性 完備的（充分條件）,1必要條件已證

4、過 2充分條件： 有封閉性: , 則,任一波函數(shù)可按 展開，所以， 是完備的。 B本征函數(shù)的封閉性也可看作 函數(shù) 按本征函數(shù)展開，而展開系數(shù)恰為本征函數(shù)的復(fù) 共軛。,4.4 算符的共同本征函數(shù) 一次測量有一“漲落” 兩算符，在一個(gè)態(tài)中，一般都有漲落， ， 不同時(shí)為零。 在什么條件下， ， 有共同本征函數(shù)組。 (1) 算符“漲落”之間的關(guān)系 A. Schwartz不等式,如果， , 是任意兩個(gè)平方可積的波函數(shù)，則 證：令 , ， 取 ，由 得,從而得： B. 算符“漲落”之間的關(guān)系測不準(zhǔn)關(guān)系： 如令,證明,例1 , 由于是一常數(shù)，所以在任何態(tài)下平均都不 可能為0。我們有 這即為海森堡（Heise

5、nberg）的測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格證明。,例2 但在態(tài) 但這僅是某一特殊態(tài)。 例3 在態(tài) 下,這時(shí) （2） 算符的共同本征函數(shù)組 定理1. 如果兩個(gè)力學(xué)量相應(yīng)的算符有一組 正交，歸一，完備的共同本征函數(shù)組，則算符 ， 必對(duì)易 ， 。 定理2：如果兩力學(xué)量所相應(yīng)算符對(duì)易，則 它們有共同的正交，歸一和完備的本征函數(shù)組。,證：設(shè) 是 的本征函數(shù)組。它們當(dāng)然 是完備的 如S1，即不簡并，于是 當(dāng) 的本征函數(shù)組不簡并時(shí)，則 是 它們的共同完備的本征函數(shù)組。,當(dāng)S1，即有簡并。無妨設(shè) 的本征函數(shù)組 為 （這也是一完備組）。將 展開,這表明， 是它們的共同本征函數(shù)。,它們是完備的（對(duì)所有s,n,m集合）。因?qū)?

6、任一波函數(shù),（3）角動(dòng)量的共同本征函數(shù)組球諧函數(shù) 因 ，它們有共同本征函數(shù)組。 A本征值： 設(shè)： 是它們的共同本征函數(shù)，則,固定 時(shí)，m 有上，下限。 由于，,稱 為降算符 。 同理,稱 為升算符（對(duì) 而言）。 由于， 固定時(shí)，m 有上，下限。若設(shè) 為上限， 為下限，則,為上限， 為下限，,所以，只能取 的本征值可取 的本征值可取,即，取 這表明，角動(dòng)量的本征值是量子化的。它與 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。 當(dāng)然，自由粒子的角動(dòng)量同樣是量子化的。 B本征函數(shù),于是有解 根據(jù) ，所以 而 ，即得,現(xiàn)求歸一化系數(shù),所以，歸一化的本征函數(shù) 顯然， 現(xiàn)先討論 的歸一化問題，然后給出 的具體形式。 若 是歸一化的，則,現(xiàn)求歸一化的波函數(shù),所以，,以此類推,于是得 的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù) 稱為締合勒讓德函數(shù)（Associated Legendre function）。,當(dāng) 給定，也就是 的本征值給 定，那就唯一地確定了本征函數(shù) 。 其性質(zhì)： 1. 正交歸一 2封閉性,3 所以，,因此， 4. 宇稱 即 5.遞推關(guān)系,(4) 力學(xué)量的完全集 量子力學(xué)描述與經(jīng)典描述大不一樣，在量 子