高等數(shù)學(xué)B：10_3格林公式及其應(yīng)用

1、10.3格林公式及其應(yīng)用10.3.1格林公式1單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域若平面區(qū)域內(nèi)任一封閉曲線圍成的部分都，則單連通區(qū)域，否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域。例如：圓形區(qū)域、上半平面是單連通區(qū)域；圓環(huán)區(qū)域、是復(fù)連通區(qū)域。通俗地說(shuō)，單連通域就是不含有“洞”（包括點(diǎn)“洞” ）的區(qū)域。2區(qū)域D的邊界曲線C的正向規(guī)定正向如下：當(dāng)觀察者沿此方向行走時(shí)，他的部分總在他的左側(cè)。例如由邊界曲線和所圍成的復(fù)連通區(qū)域，正向是逆時(shí)針?lè)较?，正向是順時(shí)針?lè)较颉?定理1（格林定理）設(shè)以逐段光滑曲線邊界的平面閉區(qū)域，函數(shù)、在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林（）公式 其中。公式（1）稱(chēng)為格林（）公式。證明：先假設(shè)穿過(guò)區(qū)域且平行坐標(biāo)軸的直線與邊界曲

2、線交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn)。即既是。設(shè)，連續(xù)，另一方面，有，。又設(shè)，類(lèi)似可證，合并、得。若閉區(qū)域滿足以上條件，則可作輔助線將幾個(gè)小閉區(qū)域，使每個(gè)小閉區(qū)域都滿足上述條件，在這些小閉區(qū)域上應(yīng)用格林公式，然后相加，注意到沿輔助線上的積分出現(xiàn)兩次，但方向相反，所以相加時(shí)相互抵消。便可證明格林公式仍成立。例如，就右圖來(lái)說(shuō)，作一條輔助線把分成和兩個(gè)部分區(qū)域，則。若是由兩條閉曲線和所圍成復(fù)連通區(qū)域，則同樣可以通過(guò)作輔助線證明格林公式仍然成立。通過(guò)格林公式，沿封閉曲線的正向的曲線積分，可以轉(zhuǎn)化為由此封閉曲線圍成的平面區(qū)域上的二重積分。注意：公式的條件是：封閉、正向、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。三者缺一不可。若積分曲線封閉，則添加輔助曲

3、面使之封閉；當(dāng)封閉曲面取內(nèi)側(cè)時(shí)，高斯公式中的符號(hào)應(yīng)為負(fù)號(hào)；應(yīng)用公式前首先要檢驗(yàn)的連續(xù)條件。4.用格林公式求平面圖形的面積若在公式中，取，則得，。 （其中是區(qū)域面積。）例1求由星形線：所圍成的面積。解： 的參數(shù)方程為（）。例2計(jì)算，其中順時(shí)針?lè)较虻膱A周。解：，。注意：。不能將曲線方程代入被積函數(shù)。例3計(jì)算曲線積分，其中由點(diǎn)至點(diǎn)的上半圓周（）。解：添加有向線段，則是一條正向封閉曲線，設(shè)其圍成的區(qū)域。，。例4計(jì)算，其中為：（1）不包圍原點(diǎn)的分段光滑閉曲線；（2）圓周；（3）包圍原點(diǎn)的分段光滑閉曲線。解：，當(dāng)時(shí)，。（1）設(shè)閉曲線圍的區(qū)域， ，在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由公式得。（2）當(dāng)圓周時(shí)，在原點(diǎn)不連續(xù)，

4、不能直接用公式。方法一：的參數(shù)方程為，：，。方法二：先把方程代入曲線積分得，這時(shí)奇點(diǎn)已清除，可應(yīng)用公式，故（3）當(dāng)包圍原點(diǎn)時(shí)，以為圓心，作半徑為的小圓，使小圓域包含在圍成的區(qū)域內(nèi)。記的逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)椋⒃O(shè)由所圍成的區(qū)域（環(huán)域），在區(qū)域上由公式得，。課堂練習(xí) 計(jì)算，其中為：（1）橢圓所圍成區(qū)域的正向邊界；（2）橢圓所圍成區(qū)域的正向邊界。10.3.2 平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件1曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義設(shè)一個(gè)平面區(qū)域，若對(duì)任意兩點(diǎn)及從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩 條曲線，等式 或恒成立，則稱(chēng)曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。2定理2 若向量值函數(shù)在單連通域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)：（1），有

5、；（2）沿內(nèi)任意的逐段光滑閉曲線，有；（3）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，只與位于內(nèi)的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)。（4）在存在二元函數(shù)，使得。證明：由（1）（2）。設(shè)是所包圍的區(qū)域，是單連通域，。在上有，由公式得。由（2）（3）。，以不同的路線，連結(jié)與。若不相交，由（2）得，。若相交，則再引，使，由由（3）（4）。曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取定起點(diǎn)后，曲線積分則是終點(diǎn)的函數(shù)，記為，即。下面來(lái)證明。曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取由到是沿任意光滑曲線，到是平行的線段。，(上，是常數(shù)，.)，。(積分中值定理)而在點(diǎn)上連續(xù)，即。同理可證，從而。由（4）（1）。，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即連續(xù)，。定理2表明，在單連通域內(nèi)，如果，則曲線積分與路徑

6、無(wú)關(guān)，此時(shí)可以選擇特殊的路徑計(jì)算給定的曲線積分。定理2 中的區(qū)域必須是單連通域，若是復(fù)連通域定理就不一定成立。例如：，在復(fù)連通域中，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，但。例5計(jì)算，其中擺線，從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。解：, ,、在全平面上連續(xù)，且,曲線積分在全平面上與路徑無(wú)關(guān)。把積分路徑改為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則。例6計(jì)算，其中是沿點(diǎn)從點(diǎn)到的曲線弧。解：， ，在任何不含原點(diǎn)的單連通域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。注意：不能選擇連接的直線段作為積分路徑。（1）選取平行于坐標(biāo)軸的折線作為積分路徑，：，；：，；：，。則。（2）選取圓弧作為積分路徑，其方程為，。例7設(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)引力大小為（常數(shù)，），質(zhì)點(diǎn)沿曲線自運(yùn)動(dòng)到，求在此運(yùn)

7、動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)引力所作的。解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)位置為，則，：，。，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取直線段為積分路徑，。3定義1 若函數(shù)的全微分，則稱(chēng)是表達(dá)式 的一個(gè)原函數(shù)。由定理2知，若在單連通域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在存在原函數(shù)的充要條件是設(shè)為內(nèi)一定點(diǎn)，取為積分路線，得：；取為積分路線，得：或。4定理3 （曲線積分基本定理）若在單連通域內(nèi)函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，而和是內(nèi)任意兩點(diǎn)，則。例8驗(yàn)證：在右半平面內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。證明：令，則有在右半平面內(nèi)恒成立，故是某個(gè)函數(shù)的全微分。取如圖所示的積分路線，則有。例9已知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，計(jì)算。解：，此曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，即。，解之得，由，得，故。此時(shí)，的一個(gè)原函數(shù)為，從而。另解：取折線（）作為積分路線，則 。10.3.3 全微分方程定義2 若存在二元函數(shù)，使得，則稱(chēng)為全微分方程或恰當(dāng)方程。此時(shí)，全微分方程的通解為或。若在單連通域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方