工程力學37-d20b(例題).ppt

1、工程力學（C）,北京理工大學理學院力學系 韓斌,( 37),（下冊）,20 動量原理,20.5 動量矩,20.5.1.質點的動量矩,質點的動量對某點之矩,(20.17),若在點O建立直角坐標系Oxyz，則,x，y，z為質點的坐標，,， ， 分別為質點的速度 在x，y，z軸上的投影。,(20.18),（類比于力對點之矩、力對軸之矩）,其中，質點動量對x，y，z軸之矩分別為：,(20.18),(20.19),質點動量對任意 l 軸之矩：,其中O為l 軸上任意一點。,(20.20),顯然，質點對點的動量矩是一個定位矢量，而質點對軸的動量矩是一個代數量。,當質點作平面運動時，動量對平面內某點O之矩或對

2、Oz軸之矩均為：,（20.21）,20.5.2. 質點系的動量矩,設質點系中質點 相對于某一固定點O的矢徑為 ，,動量為 。,(20.22),質點系對某固定點O的動量矩 為：,1.質點系對固定點、固定軸的動量矩,質點系對某一固定軸 l 的動量矩 為：,(20.23),（20.24）,同理，質點系平面運動時，質點系動量對平面內某點O之矩或對Oz軸之矩均為：,2. 質點系對動點的動量矩,設在慣性參考系中有任意一動點A，其速度為 。,固連于動點A建立平移直角坐標系 ，,(20.25),(20.26),將質點系中各質點的絕對動量 對動點A的矩的矢量和定義為質點系對動點A的絕對動量矩，用 表示，即：,將

3、質點系中各質點的相對動量 對動點A的矩的矢量和定義為質點系對動點A的相對動量矩，用 表示，即：,(20.27),質點系對動點的絕對動量矩和相對動量矩的關系：,將式(20.25)代入式(20.26):,(20.28),由質點系質心C相對于動點A 的矢徑公式 可得：,故質點系對動點的絕對動量矩和相對動量矩的關系為：,其中 為質點系質心C在動系中的相對坐標， 為動點的絕對速度。,(20.29),(20.30),質點系對質心的動量矩，無論是在固定坐標系還是在質心平移坐標系中計算都是相同的。,故質點系對不同的A，O兩點的動量矩的關系為：,（20.31）,質點系對某點的動量矩不等于質點系動量對該點之矩！,

4、即,（見書上例22.4）,3.對慣性系中不同的A，O兩點的動量矩之間關系,類比于力對不同兩點的力矩之間的關系，,力對A，O兩點之矩關系為,20.5.3 剛體的動量矩,1. 平移剛體的動量矩,當剛體作平移時，建立質心平移坐標系，各質點的相對速度 ，故,(20.32),平移剛體對任意固定點A的動量矩為：,(20.33),平移剛體對任意確定點A的動量矩等于將平移剛體的質量視為全部集中在質心C上時對點A的動量矩。,當平移剛體作平面曲線運動時，對該平面內任一點的動量矩可視為代數量 。,2. 定軸轉動剛體的動量矩,定軸轉動剛體對定點O的動量矩為,(20.34),(20.34),故，定軸轉動的剛體對轉軸上任

5、意點的動量矩矢量一般不沿轉軸的方向。,特別，當轉軸 z 軸為剛體的慣量主軸時，有,動量矩矢量沿轉軸方向,也可用代數量表示：,例如，剛體作平面定軸轉動，轉軸垂直于剛體的質量對稱面時。,3. 一般平面運動剛體的動量矩,建立慣性參考空間中的定系Oxyz和質心平移坐標系 ，,(20.36),使三對坐標軸分別平行，且使 ， 軸垂直于剛體的運動平面，則一般平面運動剛體相對該平移坐標系為繞 軸的定軸轉動：,若一般平面運動剛體的運動平面為其質量對稱面，則 軸為剛體對點C的慣量主軸，即 ，上式變?yōu)?(20.37),式中 為一般平面運動剛體對 的轉動慣量。,(20.38),也可視為代數量,(20.37),若對該剛

6、體運動平面上的任意固定點A，則有：,對任意固定點A，則有：,(20.40),(20.39),例 題 20-6,20 動量原理, 例題,求系統(tǒng)對轉軸O點的動量矩。,解：,輪O定軸轉動，塊B平動，,（負號表示轉向為）,例 題 20-7,20 動量原理, 例題,均質圓柱，半徑為r，質量為m，繞有細繩，A端固定，圓柱質心C以速度vC向下運動，求圓柱對質心C及定點A的動量矩。,解：,圓柱作一般平面運動,（）,若建立質心平移坐標系，則輪子的相對運動為繞質心的定軸轉動,（負號表示）,例 題 20-8,20 動量原理, 例題,圓盤O半徑為r，質量m，以角速度轉動，均質桿AB質量為m，長為2r，滑塊B質量為m，

7、在水平軌道內運動，A，B處為鉸接，某瞬時桿AB處于水平位置，求此瞬時系統(tǒng)的動能，動量，對O點的動量矩。,例 題 20-8,20 動量原理, 例題,解：,圓盤為定軸轉動，滑塊為平動，桿為一般平面運動，,桿AB此瞬時為平動,系統(tǒng)該時刻的動能：,系統(tǒng)該時刻的動量：,例 題 20-8,20 動量原理, 例題,系統(tǒng)該瞬時對點O的動量矩：,（）,注意：系統(tǒng)該瞬時的動能、動量、動量矩都是特殊位置的量，不可求導！,20.6 動量矩定理,20.6.1 質點的動量矩定理,質點對固定點的動量矩定理,設質量為 的質點D對固定點O的矢徑為 ，作用其上的合力為,質點對某一固定點的動量矩對時間的一階導數等于作用于其上的合力

8、對同一點的矩。,(20.41),20.6.2 質點系的動量矩定理,1. 質點系對固定點的動量矩定理,(20.42),(20.43),質點系對某一固定點的動量矩對時間的一階導數等于作用于其上的外力系對同一點的主矩。,質點系對某一固定軸的動量矩對時間的一階導數等于作用于其上的外力系對同一軸的矩。,式(20.43)為一矢量式，它可以向過點O的某一固定直角坐標軸（如z軸）上投影：,(20.44),若質點系作平面運動，O點為平面內一點， 可取為代數量：,均以逆時針轉動為正,質點系對固定軸的動量矩定理,(20.44),質點系對固定點的動量矩定理,2. 質點系對動點的動量矩定理,(20.46),任選動點A，

9、建立定坐標系及固連于動點A的平移動坐標系，由對動點A的絕對、相對動量矩之關系式（20.29）：,求導：,求導：,又：,質點系對動點A的絕對、相對動量矩導數之關系,設點O為慣性空間中某一固定點，,由O，A兩點的動量矩之間關系：,其中,求導：,由對定點O的動量矩定理,動量定理的微分形式,及,得：,又,(20.47),由式(20.46)和(20.47)得到,(20.46),由此可見，質點系對動點的動量矩定理形式復雜，通常，對動點的動量矩定理只用其特例：,（1）取動點A為質點系的質心C,（20.49),質點系對質心的動量矩定理,（2）當動點A的加速度 時，即固連于動點A的平移動系也為一慣性系（A點在該

10、慣性系中為一定點）：,(20.50),如果動點是任意選定的，動點的速度、加速度一般未知，故對動點的動量矩定理的一般形式（20.47）和（20.48）并不常用，經常使用的是質點系對質心的動量矩定理（20.49）。,對剛體、剛體系，動量矩定理常取以下形式：,小結,3. 有質量對稱面的一般平面運動剛體的動量矩定理的表達式,若所研究的質點系為一個具有質量對稱面的剛體，作用了與質量對稱面重合的平面力系，在其質量對稱面內作平面運動。,設A為剛體運動平面內某一定點，則該剛體對A點的相對動量矩為,(20.51),為剛體對Az軸的轉動慣量，是一個常數； 為該剛體運動的角速度。,為剛體運動的角加速度。,由對動點的

11、相對動量矩定理,下面研究式(20.52)的幾種特殊情形：,（1）若點A固定不動（記為O點），則剛體繞O軸作定軸轉動，則有：,(20.53),（2）若點A取為剛體的質心C , 則有 ：,(20.54),（3）若在某一瞬時，點A為該剛體的速度瞬心P，則有：,(20.55),(20.52),式(20.55)與式(20.53)的形式不同，反映了瞬時定軸轉動與定軸轉動的差別。,但若在不同瞬時，平面運動剛體的速度瞬心P與剛體質心C的距離 恒等于某一常數 ，則 ，,求導得 ，根據平面運動剛體的兩點加速度關系：,(20.56),(20.55),(20.53),對固定點O,對速度瞬心P,一般地說， ， ， 也不與 平行， 所以 故一般,將上式沿圖示 軸（其正向與 相同）投影得到,(20.57),因PC與 軸垂直，說明 ，于是,當平面運動剛體的速度瞬心P與剛體質心C的距離恒保持不變時，平面運動剛體對速度瞬心的動量矩定理才具有定軸轉動的動量矩定理或對質心的動量矩定理同樣簡單的形式。,(20.56),例如：均質圓盤沿水平地面或固定不動曲面作平面純滾動；均質直桿的兩端分別沿在同一平面內相互垂直的兩條固定直線運動，剛體的速度瞬心與其質心的距離恒保持不變。,在動力學中，將一般平面運動剛體的基點選在