第1講 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介.ppt

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介,數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介,1.關(guān)于數(shù)學(xué)建模,2.數(shù)學(xué)建模實(shí)例,3.數(shù)學(xué)建模論文的撰寫方法,A.人口預(yù)報(bào)問(wèn)題,B. 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？,C.雙層玻璃的功效,1. 什么是數(shù)學(xué)模型？,數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律,一、名詞解釋,2. 什么是數(shù)學(xué)建模?,數(shù)

2、學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解,觀點(diǎn)：“所謂高科技就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”, 數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說(shuō)有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題，就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻畫該實(shí)際問(wèn)題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來(lái)求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮 數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜

3、合應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的必備手段之一.,二、數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征： 模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： 機(jī)理分析 測(cè)試分析方法 機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型 測(cè)試分析方法也

4、叫做系統(tǒng)辯識(shí) 將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法,在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見右圖,建模過(guò)程示意圖,模型 數(shù)學(xué)模型的分類： 按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等 按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等,三、數(shù)學(xué)模型及其分類,四、近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題

5、,返回,1. 指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）： 英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出,2. 阻滯增長(zhǎng)模型（logistic模型）,3. 更復(fù)雜的人口模型 隨機(jī)性模型、考慮人口年齡分布的模型等, 可見數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善，使之能符合實(shí)際情況的變化,人口模型,1. 如何預(yù)報(bào)人口？,要預(yù)報(bào)未來(lái)若干年的人口數(shù)，最重要的影響因素是今年的人口數(shù)和今后這些年的增長(zhǎng)率（即人口出生率減死亡率），根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行人口預(yù)報(bào)是很容易的 記今年人口為 ，k 年后人口為 ，年增長(zhǎng)率為r，則預(yù)報(bào)公式為： 預(yù)報(bào)正確的條件： 年增長(zhǎng)率r保持不變,數(shù)學(xué)建模實(shí)例,2. 椅子能在不平的

6、地面上放穩(wěn)嗎？ 把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而有人認(rèn)為只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了，對(duì)嗎？,問(wèn)題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái),椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性,用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個(gè)距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f(),B,D 兩腳與地面距離之和 g(),兩

7、個(gè)距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái),f() , g()是連續(xù)函數(shù),對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0,數(shù)學(xué)問(wèn)題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h

8、(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評(píng)注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子,和 f(), g()的確定,3. 雙層玻璃的功效 北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為d的玻璃夾著一層厚度為l的空氣，如左圖所示，據(jù)說(shuō)這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失 我們要建立一個(gè)模型來(lái)描述熱量通過(guò)窗戶的熱傳導(dǎo)（即流失）過(guò)程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度

9、為2d）的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果,返回,問(wèn)題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常