2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則,2.3 高階導(dǎo)數(shù),2.4 隱函數(shù)與參數(shù)方程所確定的函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),2.5 函數(shù)的微分,2.6 微分中值定理,2.7 洛必達法則,2.8 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性,2.9 函數(shù)的極值與最大值最小值,2.10 函數(shù)作圖,第二章 導(dǎo)數(shù)與微分,微分學(xué),描述函數(shù)變化快慢,描述函數(shù)變化程度,是描述物質(zhì)運動的工具,(從微觀上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù),微分,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、引例 二、導(dǎo)數(shù)定義 三、求導(dǎo)舉例 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 五、可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,一、引例,1. 物體的直線運動速度,考慮某物體的運動過程，假設(shè)經(jīng)過時間t后，運動路程為s，則

2、s是時間t的函數(shù)，記s=s(t)，s=s(t)稱為物體的運動方程. 求物體在t0時的瞬時速度v(t0).,從時間 到 物體運動的平均速度為,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在 t0 時的瞬時速度為,2. 曲線的切線斜率,設(shè)曲線在M點處有切線，在曲線上另取一點N，則當(dāng)動點N沿曲線接近于M時，割線MN就逐漸趨向于曲線的切線位置，割線的斜率趨向于切線的斜率.,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)曲線方程,則,割線MN的斜率為,即,得曲線在M點的切線斜率為,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),3. 生物的增長速度,設(shè)某種生物的數(shù)量Q是時間t的函數(shù)Q=Q(t)（下圖），當(dāng)時間從t0變化到時刻 時，生物的增長量為 在這段時間內(nèi)，生物量的平均增長速

3、度為,在 t0 時的瞬時增長速度為,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1. 變量之間都有一個已知的函數(shù)關(guān)系,求y關(guān)于x在x0處的變化率.,小結(jié),以上三個問題實際背景，意義不同，但有如下共性：,2. 計算上,先給定自變量在x0處的改變量,得函數(shù)相應(yīng)改變量,先求平均變化率,再求極限得瞬時變化率,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、導(dǎo)數(shù)定義,定義1,設(shè)函數(shù) 在x0的某個鄰域內(nèi)有定義，,當(dāng)自變量x在x0處取得改變量 時，相應(yīng)地函數(shù),的改變量為,令,如果極限,存在，則稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限值 為函數(shù) 在x0處的導(dǎo)數(shù).記作,或,1.導(dǎo)數(shù)定義,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,如果上述極限不存在，則稱函數(shù)在該點不可導(dǎo).,特別地，如

4、果,則函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)不存在，為方便也稱 函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)為無窮大.,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),（1）導(dǎo)數(shù)的其它等價形式,如果函數(shù) 在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).,說明,（2）,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),（3）函數(shù)的變化率可以用導(dǎo)數(shù)表示.,變速直線運動中的速度v是路程s對時間t的導(dǎo)數(shù),電流強度I是電量Q對時間t的導(dǎo)數(shù),化學(xué)反應(yīng)的速度P是濃度y對時間t的導(dǎo)數(shù),2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2. 左、右導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù)也可記作,右導(dǎo)數(shù),右導(dǎo)數(shù)也可記作,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),處的可導(dǎo)性.,此結(jié)論常用來判定分段函數(shù)在分段點,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三、求導(dǎo)舉例,求導(dǎo)過程可分為以下三步驟:,例1,解,即,2

5、.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例2,解,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例3,解,類似可得,即,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例4,解,更一般地,例如,即,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例5,解,即,特別地，,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例6,解,即,特別地，,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例7,解,當(dāng) 時，,當(dāng) 時，,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),當(dāng) 時，,即,綜上，,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如右圖，曲線的割線MN的斜率,割線MN的極限,極限位置MT就成為曲線在M點的切線，切線的,傾斜角為 ，切線斜率,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù)等于曲線 在該點切線的斜率.,說明,法線方程為,(2),2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例8,解,曲線的切線斜率為,

6、所求切線方程為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即,即,法線方程為,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),五、可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,定理1,證,即,由函數(shù)極限存在與無窮小的關(guān)系，,所以,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如,該定理的逆定理不一定成立.,連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件,不是可導(dǎo)的充分條件.,又如,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例9,確定a與b的值.,解,函數(shù)在 處可導(dǎo)，則在 一定連續(xù)，,即滿足,由可導(dǎo)知左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)相等，而,得,所以,2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),用定義;,1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 變化率，增量比的極限；,2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率；,函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,4. 求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,連續(xù),左、右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.