數(shù)學(xué)分析課件PPT之第四章函數(shù)的連續(xù)性.ppt

1、第四章 函數(shù)的連續(xù)性,4.1 連續(xù)性概念,連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性,4.2,4.1連續(xù)性概念,一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,2.連續(xù)的定義,特點(diǎn):,極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計(jì)算,函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示,在x0有定義,1.在x0附近定義; 2.極限存在,例1,證,由定義2知,3.單側(cè)連續(xù),定理,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,例3,證,例4 證明,證,只須證明,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),間斷=不連續(xù),1.在x0 及其附近定義; 2

2、.極限存在,1.跳躍間斷點(diǎn),例5,解,2.可去間斷點(diǎn),例6,解,注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,如例6中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,特點(diǎn),3.第二類間斷點(diǎn),例7,解,間斷的演示,間斷的演示,間斷的演示,注意到： 這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).,G,間斷的演示,注意到： 這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).,G,間斷的演示,注意到： 這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).,G,間斷的演示,注意到： 這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).,G,間斷的演示,注意到： 這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).,G,間斷的演示,哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,這種間斷

3、點(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn),G,間斷的演示,：Hi, 小紅點(diǎn)，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上?。?：Hi, 小藍(lán)點(diǎn)，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！,這種間斷點(diǎn)稱為震蕩間斷點(diǎn)。,G,例8,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn).,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).,僅在x=0處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.,在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,判斷下列間斷點(diǎn)類型:,例9,解,例10 討論,若有間斷點(diǎn)判別其類型，并作出圖形,解,三、小結(jié),1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,3.間斷點(diǎn)的分類與判別;,間斷點(diǎn)

4、,第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.,第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.,(見下圖),第一類間斷點(diǎn),可去型,跳躍型,第二類間斷點(diǎn),無窮型,振蕩型,思考題,思考題解答,且,但反之不成立.,例,但,4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),三 反函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來。,二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),四 一致連續(xù)性,一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),Th4.2（局部有界性）若,在,連續(xù)。則,在某,有界.,Th4.3（局部保號性）若,在,連續(xù)，且,則對任何正數(shù),，存在某,有,.,注在具體應(yīng)用局部保號性時，若,可取,，,與極限相應(yīng)的性質(zhì)做

5、比較,這里只是把“極限存在”，改為,改為,其余一致。,“連續(xù)”，把,證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性若,處連續(xù)，則,和,，使得, 證 據(jù),在,連續(xù)的定義，,滿足, 現(xiàn)取,相應(yīng)存在,，就有, 證畢 ,四則運(yùn)算的連續(xù)性,Th4.4,例如,連續(xù)是用極限定義的，本定理是極限四則運(yùn)算定理的直接結(jié)果，不證自明。,Th4.5,證,將上兩步合起來:,意義,1.在定理的條件下，極限符號可以與函數(shù)符號互換，即極限號可以穿過外層函數(shù)符號直接取在內(nèi)層，,注,1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù) 在極限值點(diǎn)處連續(xù),例1,解,例2,解,同理可得,注意定理 是定理4.5的特殊情況.,例如,二、最大值和最小值定理,定義:,例如,

6、一般而言，,在其定義域上不一定,在上有界.,無最大（?。┲?；,在，上也無最大（?。┲?。,有最大（小）值，即使,例如：,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.,證,定義:,幾何解釋:,證,由零點(diǎn)定理,幾何解釋:,例3,證,由零點(diǎn)定理,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.,例4,證,由零點(diǎn)定理,例5,證,由零點(diǎn)定理知,總之,注,方程f(x)=0的根,函數(shù)f(x)的零點(diǎn),有關(guān)閉區(qū)間上連

7、續(xù)函數(shù)命題的證明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)， 再利用零點(diǎn)定理,輔助函數(shù)的作法,（1）將結(jié)論中的(或x0或c)改寫成x,（2）移項(xiàng)使右邊為0，令左邊的式子為F(x) 則F(x)即為所求,區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。,三 反函數(shù)的連續(xù)性,定理4.8 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,Th 4.8 若函數(shù),上嚴(yán)格遞增( 或減 )且,在相應(yīng)

8、的定義域,（或,上連續(xù).,連續(xù), 則其反函數(shù),證明 不妨設(shè),上嚴(yán)格遞增.,此時,的,值域即反函數(shù),任取,0，,異于,使它們與,的距離,設(shè)與,對應(yīng)的函數(shù)值分別為,由,的嚴(yán)格增,性知,令,則當(dāng),時，對應(yīng)的,的值都落在 與,之間，故有,這就證明了 在點(diǎn) 連續(xù)，從而 在,內(nèi)連續(xù).,類似地可證 在其定義區(qū)間的端點(diǎn) 與 分,別為右連續(xù)與左連續(xù).所以 在 上連續(xù).,四 函數(shù)的整體連續(xù)性 一致連續(xù)：,設(shè),在某一區(qū)間連續(xù)，按照定義，也就是,在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。即對,時，就有,在一致連續(xù)定義中,與,無關(guān)，是在區(qū)間,放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。,一致連續(xù)的定義,定義2設(shè),為定義在區(qū)間上的函數(shù)。若對任給的,，存在一個

9、,，使得對任何,，只要,，就有,則稱函數(shù),在區(qū)間上一致連續(xù)。,在一致連續(xù)定義中,與,無關(guān)，是在區(qū)間,放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。,五、小結(jié),連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),反函數(shù)的連續(xù)性.,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.,一致連續(xù)性.,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別; 求極限的又一種方法.,思考題,思考題解答,是它的可去間斷點(diǎn),4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性,一 初等函數(shù)的連續(xù)性,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),Th4.12 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,Th4.13 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,注意,1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),

10、在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,注意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.,例1 求,解,它的一個定義區(qū)間是,例2,解,例3 求,解,不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形 先分子有理化，然后再求極限,習(xí) 題 課,一、主要內(nèi)容,（一）函數(shù)的定義,（二）極限的概念,（三）連續(xù)的概念,函 數(shù) 的定義,函 數(shù) 的性質(zhì) 單值與多值 奇偶性 單調(diào)性 有界性 周期性,反函數(shù),隱函數(shù),反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系,基本初等函數(shù),復(fù)合函數(shù),初等函數(shù),雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù),（一）函數(shù),1.函數(shù)的定義,函數(shù)的分類,2.函數(shù)的性質(zhì),有界、單調(diào)、奇偶、周期,3.反函數(shù),4

11、.隱函數(shù),5.基本初等函數(shù),冪、指、反、對、三,6.復(fù)合函數(shù),7.初等函數(shù),8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),左右極限,極限存在的 充要條件,無窮大,兩者的 關(guān)系,無窮小 的性質(zhì),極限的性質(zhì),求極限的常用方法,判定極限 存在的準(zhǔn)則,兩個重要 極限,無窮小的比較,等價(jià)無窮小 及其性質(zhì),唯一性,（二）極限,1、極限的定義：,單側(cè)極限,2、無窮小與無窮大,無窮??；,無窮大；,無窮小與無窮大的關(guān)系,無窮小的運(yùn)算性質(zhì),3、極限的性質(zhì),四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限,極限存在的條件,4、求極限的常用方法,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求

12、極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,5、判定極限存在的準(zhǔn)則,夾逼定理、單調(diào)有界原理,6、兩個重要極限,7、無窮小的比較,8、等價(jià)無窮小的替換性質(zhì),9、極限的唯一性、局部有界性、保號性,（三）連續(xù),左右連續(xù),連續(xù)的 充要條件,間斷點(diǎn)定義,在區(qū)間a,b 上連續(xù),連續(xù)函數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì),初等函數(shù) 的連續(xù)性,非初等函數(shù) 的連續(xù)性,連續(xù)函數(shù) 的 性 質(zhì),1、連續(xù)的定義,單側(cè)連續(xù),連續(xù)的充要條件,閉區(qū)間的連續(xù)性,2、間斷點(diǎn)的定義,間斷點(diǎn)的分類,第一類、第二類,3、初等函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì),反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),最值定理、有界性定理、介值定理、零點(diǎn)定理,二、典型例題,例1,解,利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性,代入原方程得,代入上式得,解聯(lián)立方程組,例2 求下列極限,例3,解一,解二,例4,解,解法討論,例5 證明,證,（整體和大于部分和）,由夾逼定理知,由夾逼定理知,例6 求極限,分析,要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮,不能這樣用夾逼定理，,解,注意到分子成等差數(shù)列,例7,證,即xn單調(diào)減，有下界,故由單調(diào)有界原理得,例8,解,例9,解,例10 求下列極限,只記住了重要極限的形式，而沒有掌握其實(shí)質(zhì),例11