《IIR濾波器》PPT課件.ppt

1、第6章 無(wú)限沖激響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計(jì),3.0 數(shù)字濾波器概述 3.1 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器映射變換的兩個(gè)基本原則 3.2 常用模擬低通濾波器特性 3.3從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換） 3.4從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換,學(xué)習(xí)要求：熟練掌握脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法；掌握由模擬原型和數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波的方法。,6.1 濾波器的基本概念,1、數(shù)字濾波器概念 指輸入，輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些成分的器件。,2、濾波原理,3、濾波器的分類,若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自

2、占有不同的頻帶, 通過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)可將 有效去除.,1）經(jīng)典濾波器（選頻濾波器）,按功能劃分可分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS) 。 每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器. 對(duì)數(shù)字濾波器, 從實(shí)現(xiàn)方法上, 有IIR濾波器和FIR濾波器之分, 其轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為:,FIR DF:,IIR DF:,乘法性噪聲,卷積性噪聲,信號(hào)的頻譜和噪聲頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時(shí)間序列)中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。,2）、現(xiàn)代濾波器（統(tǒng)計(jì)學(xué)）,現(xiàn)代濾波器種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器。,維納濾波器是這

3、類濾波器的典型代表,1）. 按照任務(wù)要求，確定性能指標(biāo)：,2）. 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)函數(shù)H(Z)去逼近這些性能指標(biāo)。,4、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程,5、IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法,1）從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 2）直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）,數(shù)字IIR濾波器設(shè)計(jì)的具體步驟：,6. IIR濾波器設(shè)計(jì)的基本概念（技術(shù)要求）,低通：,常用幅頻特性函數(shù)|H(ejw)|來(lái)描述設(shè)計(jì)指標(biāo)。,單位 (dB),若幅度下降到 0.707, 則幅度平方下降 0.5 （半功率點(diǎn)）：,若幅度下降到 0.01：,即此時(shí)的Wp為3dB頻率(截止頻率) ，或稱為0.707頻率，

4、通常也記為c。,高通：,帶通：,帶阻：,7、典型模擬濾波器,1）巴特沃斯濾波器 2）切比雪夫?yàn)V波器 3）橢圓濾波器,6.2 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì),為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，高通、帶通、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范來(lái)設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。,對(duì)于因果系統(tǒng),式中ha(t)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。,不難看出,式中Ha(s)、Ha(j)、|Ha(j)|分別為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)和幅頻特性。,定義幅度平方函數(shù),問(wèn)題：如何由已知的|Ha(j)|2 Ha

5、(s) ？,由幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2確定Ha(S)的方法為： 1）根據(jù)式，將s=j ，即=-jS代入|Ha(j)|2得 H2(-js); 2）H2(-js)進(jìn)行分解，得出零、極點(diǎn)； 3）根據(jù)具體情況求出Ha(S).,為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用H2(-js)在S左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半。,一、巴特沃茲濾波器 (Butterworth),特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f單調(diào) ，其幅度平方函數(shù)具有如下形式：,式中，N為整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)，N越大，通帶和阻帶的近似性越好，過(guò)渡帶也越陡。如圖。,幅度特性跟階數(shù)N有關(guān)： 1) 在通帶，分母/c1，隨著

6、N增加，/c1，A(2)快速下降。 3) =c時(shí)，幅度衰減 ，相當(dāng)于3db衰減點(diǎn)。,由上述式對(duì)應(yīng)關(guān)系得： Ha(-s)*Ha(s)=,上式可分解為2N個(gè)一次因式 ，令分母為零， ,可見，Butterworth 濾波器的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|s|=c的圓周上。,由|Ha(j)|2 Ha(s),例1：N=3階Butterworth 濾波器振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖，求其系統(tǒng)函數(shù)。 解： 由前面分析計(jì)算出6極點(diǎn)如圖 考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性， Butterworth 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 是由s平面左半部分的極點(diǎn) （SP3，SP4，SP5）組成的， 它們分別為：,如用 歸一化s，即s

7、=s/c，得歸一化的三階BF：,所以系統(tǒng)函數(shù)為：,式中 是為使S=0時(shí)Ha(s)=1而引入的。,例2 已知濾波器通帶截止頻率為5kHz，通帶最大衰減為2dB；阻帶截止頻率為12kHz，阻帶最小衰減為30dB，設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。 解：過(guò)程見板書,總結(jié)：低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟,1）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)，求出濾波器階數(shù)N 2）根據(jù)階數(shù)N查表，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p) 3）將Ha(p)去歸一化。將p=s/ c代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)H(S).,MATLAB為低通模擬巴特沃斯濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù)buttap，其調(diào)用格式為： z,p,k=buttap(N) z,p,k=butte

8、r(N,Rp,Wn,s) z,p,k=butter(N ,Rp,Wn,ftype,s) 其中N表示濾波器的階次，Rp為通帶最大衰減(dB)，Wn為截止頻率，ftype為濾波器的類型，S表示模擬濾波器，Z表示零點(diǎn)，P表示極點(diǎn)，K表示增益。,巴特沃斯模擬濾波器matlab實(shí)現(xiàn),巴特沃斯濾波器的階次可以通過(guò)buttord函數(shù)確定，該函數(shù)的調(diào)用格式為： N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs, s) N表示巴特沃斯濾波器的最小階次，Wn為其截止頻率。,例 繪制巴特沃斯低通模擬原型濾波器的平方幅頻響應(yīng)曲線，其中濾波器的階次分布為2，5，10，20.（exam3_1.m）,總 結(jié),巴特沃斯濾波器

9、的頻率特性在通帶和阻帶內(nèi)部都是隨著頻率單調(diào)變化的，如果在通帶的邊緣能夠滿足指標(biāo)，那么在阻帶的內(nèi)部會(huì)超過(guò)設(shè)計(jì)的指標(biāo)要求，造成濾波器的階次N比較高。,二、切比雪夫?yàn)V波器（chebyshev）,特點(diǎn)：在通帶內(nèi)是 等波紋變化，在阻帶內(nèi)單調(diào)衰減，過(guò)渡迅速。 切比雪夫I型濾波器的振幅平方函數(shù)為：,式中c為有效通帶截止頻率，是與通帶波紋有關(guān)的參量，大,波紋大 ，0 1 ；VN（x）為N階切比雪夫多項(xiàng)式,切比雪夫I型濾波器的振幅平方特性如圖所示，,注意： 對(duì)切比雪夫?yàn)V波器，過(guò)渡帶衰減速度很快，所以通常也稱c為通帶截止頻率或頻帶邊界頻率,例 通帶截止頻率為4KHz，通帶最大衰減1dB。阻帶頻率為8KHz。阻帶最

10、小衰減15dB，試設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器。,切比雪夫模擬濾波器matlab實(shí)現(xiàn),切比雪夫I型低通濾波器可通過(guò)MATLAB函數(shù)cheb1ap實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為： z,p,k= cheb1ap(N,Rp) b,a=cheb1 (N,Rp,Wn,s) b,a=cheb1 (N ,Rp,Wn,ftype,s),切比雪夫I型濾波器的階次可以通過(guò)cheb1ord函數(shù)確定，該函數(shù)的調(diào)用格式為： N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs, s) N表示巴特沃斯濾波器的最小階次，Wn為其截止頻率。,例： 繪制切比雪夫I型低通模擬濾波器的平方幅頻響應(yīng)曲線，其中濾波器的階次分布為2，4，6，8.（exam3_

11、2.m）,總結(jié),對(duì)于階次相同（系統(tǒng)函數(shù)復(fù)雜程度一樣）的巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器相比，切比雪夫的過(guò)渡帶下降更快，即有更窄的過(guò)渡帶，性能更好些。,橢圓濾波器（考爾濾波器）,特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為：,典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)如圖 3.10,6.3 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器,利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這是一個(gè)由S平面到Z平面的映射變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：

12、 1) H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓ej上。 2) Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射到H(z)后保持不變，即S平面從左半平面ReS0映射到Z平面的單位圓內(nèi)|z|1。,一. 脈沖響應(yīng)不變法,脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n) 模仿模擬濾波器的沖擊響應(yīng)ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期。,1、脈沖響應(yīng)不變法原理：,2、Ha(S)與H(Z)的關(guān)系 如以Ha(s)及H（z）分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的z變換，即 Ha(s)=Lha(t)， H(z

13、)=Zh(n) 則根據(jù)采樣序列z變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系，得：,可見，Z=esT的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延拓與H(z)的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H(z)的關(guān)系，因此，使用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，從Ha(s)到H(z)并沒(méi)有一個(gè)由S平面到Z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。,3、S與Z平面的映射關(guān)系：,z=est的映射關(guān)系表明，S平面上每一條寬為2/T的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個(gè)全部平面上。每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外，j軸映射在單位圓上，但j軸上的每一段2/T都對(duì)應(yīng)于繞單位圓一周。如圖3.1所示。,4、數(shù)字頻響與模擬頻響的關(guān)系

14、 數(shù)字濾波器的頻響也不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓，周期為S=2/T=2fs，即,由此可得，模擬濾波器幅頻響應(yīng)與數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)如圖所示：,由上圖可得下面結(jié)論： 1）實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此存在頻譜混淆(圖3.2)，這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響帶有一定的失真。 2） H(ej) 是Ha(j)的周期延拓（周期為fs），因Ha(j)并不是真正帶限的，所以產(chǎn)生了混迭。當(dāng)為帶阻或高通濾波器時(shí)，Ha(j)在超過(guò)fs/2頻率部分全為通帶，發(fā)生了完全的混迭，所以脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計(jì)帶阻或高通濾波器。,5、模擬頻率與數(shù)字頻率關(guān)系：,由z變換定義有：,Z表示

15、為：,得：,模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系為：,H(z)的計(jì)算：,脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)的傳遞函數(shù)，模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)NM，則可表達(dá)為部分分式形式：,其拉氏反變換為：,（式）,對(duì)ha(t)采樣就得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列,再對(duì)h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：,進(jìn)一步得：,（式）,脈沖響應(yīng)不變法通過(guò)模擬濾波器Ha(S)求數(shù)字濾波器H(Z)的步驟： 1）利用 =T，將Wp、 Ws轉(zhuǎn)換為p ， s，而Rp ，Rs不變； 2）求解低通模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(S) 3）根據(jù)式和式 將模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(S)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的傳

16、輸函數(shù)H(Z),值得注意的是，這種Ha(s)到H(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達(dá)為部分分式形式才成立。,例 ：將一個(gè)具有如下傳遞函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。 解 ：直接利用H(z)的部分分式形式,得,習(xí)題：模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 用脈沖響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。,結(jié)果為：,脈沖響應(yīng)不變法總結(jié),1、脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是： 頻率坐標(biāo)變化是線性的，即。使得線性相位的模擬濾波器在變換為數(shù)字濾波器后仍保持線性相位特性。 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域特性逼近好。,2、脈沖響應(yīng)不變法缺點(diǎn) 產(chǎn)生頻譜混疊 適合低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)

17、計(jì)。,注意：如果用脈沖響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)高通和帶阻濾波器時(shí)，應(yīng)增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶，然后再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，只有在一定需要頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用。,二、雙線性變換法,脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆， 為了克服頻率混疊(頻率線性變化)，可以采用頻率非線性變化。,由此可得S與Z的變換關(guān)系：,Ha(S)與H(Z)的關(guān)系：,雙線性法模擬頻率與數(shù)字頻率的變化關(guān)系如下圖,圖3.5中看到，在零頻率附近， 接近于線性關(guān)系，如圖3.5，進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由

18、于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,但是 的非線性關(guān)系導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。,這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過(guò)預(yù)畸來(lái)加以校正，即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，通過(guò)雙線性變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。,預(yù)畸變的方法：,1）根據(jù)所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的臨界頻率1、2、3、4，計(jì)算模擬濾波器的臨界頻率。低通變換時(shí)計(jì)算公式為：,2）根據(jù)這些模擬濾波器的臨界頻率點(diǎn)設(shè)計(jì)模擬濾波器。 3）作雙線性變換，得到所需的數(shù)字濾波器。,傳遞函數(shù)H(z)的計(jì)算,雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單。由于s與z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過(guò)代數(shù)

19、置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。,置換過(guò)程,頻響,例 ：模擬濾波器傳遞函數(shù)為 用雙線性變換法將其數(shù)字化（T=2）。,雙線性變換法： 優(yōu)點(diǎn)：解決了頻率混疊的問(wèn)題； 缺點(diǎn)：模擬頻率與數(shù)字頻率呈非線性關(guān)系；這使得 （1）線性相位的模擬濾波器在變換后不能保持； （2）設(shè)計(jì)模擬濾波器之前要對(duì)頻率指標(biāo)進(jìn)行預(yù)畸變。,總結(jié)： 一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其它情況下，對(duì)于IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換法。,脈沖響應(yīng)不變法與雙線性變換法的設(shè)計(jì)步驟,說(shuō)明： 對(duì)脈沖響應(yīng)不變法，如果根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，采樣周期T必須滿足采樣定理以避免頻率混疊；如果直接由數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

20、出發(fā)設(shè)計(jì)，那么T可以任選； 而對(duì)雙線性變換法，由于不存在頻率混疊現(xiàn)象，所以采樣周期T可以任選。,脈沖響應(yīng)法和雙線性法的matlab實(shí)現(xiàn),1、脈沖響應(yīng)不變法函數(shù)調(diào)用格式： BZ,AZ = impinvar(B,A,Fs) 其中B，A為實(shí)際模擬濾波器傳輸函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量；BZ ， AZ 為以Fs 為采樣周期對(duì)H(s)=B(s)/A(s)系統(tǒng)用脈沖響應(yīng)不變法得到的相應(yīng)的數(shù)字濾波器,2、雙線性變換法函數(shù)格式為： NUMd,DENd = bilinear(NUM,DEN,Fs) 其中NUM，DEN為實(shí)際模擬濾波器傳函的分子、 分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量NUMd，DENd為以Fs為采樣周期對(duì)H(

21、s)=NUM(s)/DEN(s)系統(tǒng)用雙線性變換法得到的相應(yīng)的數(shù)字濾波器,3.4 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換,對(duì)于模擬濾波器，已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案，如巴特沃茲濾波器，切比雪夫?yàn)V波器等，每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式，同時(shí)，也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線，為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，只要掌握原型變換，就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。,設(shè)計(jì)各種類型的數(shù)字濾波器有三種方法：,下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的基本方法，著重討論雙線性變換法。 雙線性變換法由模

22、擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟: 1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率k。 2）由變換關(guān)系將k映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值k(預(yù)歧變)。 3）根據(jù)k設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha(s) 。 4) 把 Ha(s)變換成數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z) 。,一、低通變換,例1 設(shè)采樣周期 T=250s(fs=4khz) ,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。,二、高通變換,設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時(shí)，有兩種方法： 先設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。即： 模擬原型 模擬高通、帶通、帶阻數(shù)字高通、帶通、帶阻 直接利用模擬濾波器的低通原型，通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。 這里只討論第二種方法。因其簡(jiǎn)捷便利，所以得到普遍采