高中數(shù)學 2.3.1 雙曲線及其標準方程教案 北師大版選修

1、2.3雙曲線231雙曲線及其標準方程 知識與技能目標理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題；理解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解借助信息技術探究動點軌跡的幾何畫板的制作或操作方法 過程與方法目標（1）預習與引入過程預習教科書56頁至60頁，當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面與圓錐的軸線或平行時，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么此時的截口曲線是雙曲線而不是兩條拋物線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中雙曲線的例子當學生把上

2、述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起思考與探究P56頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子兩條（一條約10cm長，另一條約6cm每條一端結一個套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準備無彈性細繩子兩條（一條約20cm，另一條約12cm，一端結個套，另一端是活動的），圖釘兩個）當把繩子按同一方向穿入筆尖的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是雙曲線啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（動點）滿足的幾何條件是什么？板書221雙曲線及其標準方程（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到雙曲線的定義板書把平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌

3、跡叫做雙曲線（hyperbola）其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距即當動點設為時，雙曲線即為點集（ii）雙曲線標準方程的推導過程提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標系的？類比求橢圓標準方程的方法由學生來建立直角坐標系 無理方程的化簡過程仍是教學的難點，讓學生實際掌握無理方程的兩次移項、平方整理的數(shù)學活動過程 類比橢圓：設參量的意義：第一、便于寫出雙曲線的標準方程；第二、的關系有明顯的幾何意義 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程（iii）例題講解、引申與補充例1 已知雙曲線兩個焦點分別為，雙曲線上一點到，距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程分

4、析：由雙曲線的標準方程的定義及給出的條件，容易求出補充：求下列動圓的圓心的軌跡方程： 與：內切，且過點； 與：和：都外切； 與：外切，且與：內切解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題具體解：設動圓的半徑為 與內切，點在外，因此有，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，即的軌跡方程是； 與、均外切，因此有，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，的軌跡方程是； 與外切，且與內切，因此，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，的軌跡方程是例2 已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲

5、的時間差，即可知，兩地與爆炸點的距離差為定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程 擴展：某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點的報告：正西、正北兩個觀察點同時聽到了一聲巨響，正東觀察點聽到該巨響的時間比其他兩個觀察點晚已知各觀察點到該中心的距離都是試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當時聲音傳播的速度為；相關點均在同一平面內）解法剖析：因正西、正北同時聽到巨響，則巨響應發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應在以這兩個觀察點為焦點的雙曲線上如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標系，設、分別是西、東、北觀察點，則， 設為巨響發(fā)生點，、同時聽到巨響，所在直

6、線為，又因點比點晚聽到巨響聲，由雙曲線定義知，點在雙曲線方程為聯(lián)立、求出點坐標為即巨響在正西北方向處探究：如圖，設，的坐標分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程，并與21例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？探究方法：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程 情感、態(tài)度與價值觀目標通過課件（）的展示與操作，必須讓學生認同：與圓錐的軸平行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是兩條拋物線；必須讓學生認同與體會：雙曲線的定義及特殊情形當常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是兩條射線；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立

7、直角坐標系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的和諧美；讓學生認同與領悟：像例1這基礎題配備是必要的，但對定義的理解和使用是遠遠不夠的，必須配備有一定靈活性、有一定的思維空間的補充題；例2是典型雙曲線實例的題目，對培養(yǎng)學生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題有一定的幫助，但要準確判定爆炸點，必須對此題進行擴展，培養(yǎng)學生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力能力目標（1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內容能想象日常生活中哪些是雙曲線的實際例子，能用數(shù)學符號或自然語言的描述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學術語和數(shù)學符號表示（2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的思想方法；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力（3） 實踐能力：培養(yǎng)學生實際動