河北省武邑中學2018_2019學年高二數學上學期期末考試試卷理201902190331

1、武邑中學 2018-2019 學上學期高二期末考試數學（理）試題一、選擇題：本大題共12 個小題 , 每小題 5 分 , 共 60 分 . 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合 a = x x2- x - 2 0且 a 11 ，若當 x3 1時，不等式x3 ax 恒成立，則a 的最小值是 ()a1a. eb. eec. 2d. ln2二、填空題（每題5 分，滿分20 分，將答案填在答題紙上）13. 正三角形 abc 的邊長為 1， g 是其重心，則 ab ? ag.2 / 1214.14. 命題“當 c0 時，若 ab ，則 ac bc . ”的逆命題是15. 已知

2、橢圓 x2y22 +2=1 a b 0 ， f1 和 f2 是橢圓的左、右焦點，過f1 的直線交橢圓于ab()a(x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) 兩點，若 abf2 的內切圓半徑為1， f1 f2 = 2， y1 - y2 = 3，則橢圓離心率為.16. 如圖，在三棱錐 pabc ， abc 為等邊三角形，pac 為等腰直角三角形， papc 4 ，平面 pac平面 abc ， d 為 ab 的中點，則異面直線ac 與 pd 所成角的余弦值為三、解答題（本大題共 6 小題，共 70分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）17.已知數列 an 是等差數列， a1 =

3、 t 2 -t ， a2 = 4， a3 = t 2 + t .(1)求數列 an 的通項公式；(2)若數列an 為遞增數列，數列 bn 滿足 log 2 bn(n)n 的前 n 項和 sn .= an ，求數列 a- 1 b18. 為創(chuàng)建國家級文明城市， 某城市號召出租車司機在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200 名司機，他們參加“愛心送考”的次數統(tǒng)計如圖所示.(1) 求該出租車公司的司機參加“愛心送考”的人均次數；(2) 從這 200 名司機中任選兩人，設這兩人參加送考次數之差的絕對值為隨機變量x ，求 x的分布列及數學期望.3 / 1219. （ 12 分）已知函

4、數 f xx3ax2bx a, b r 的圖象過點p（1,2 ），且在 x1 處3取得極值（ 1）求 a, b 的值；（ 2）求函數 f x 的單調區(qū)間；（ 3）求函數 f x 在 1,1 上的最值20. 已知點 m (2,1) 在拋物線 c : y = ax2 上， a, b 是拋物線上異于m 的兩點，以ab 為直徑的圓過點 m .(1) 證明：直線 ab 過定點；(2) 過點 m 作直線 ab 的垂線，求垂足 n 的軌跡方程 .21. （本大題滿分12 分）如圖，在五面體abcdpn 中，棱 pa底面2abcd ， abbadap 2pn . 底面 abcd 是菱形，3 .（）求證：pna

5、b ；（）求二面角bdnc 的余弦值 .22. （本大題滿分 12 分）已知橢圓 c :x2y21(a b 0)過點 a(2,3) , 且離心率 e1a2b224 / 12（i ）求橢圓 c 的標準方程om16b(0, 4) 的直線 l 交橢圓與不同的兩點on（ii ）是否存在過點m , n , 且滿足7( 其中 o 為坐標原點 )。若存在 , 求出直線 l 的方程；若不存在, 請說明理由。23. 如圖，在四棱錐 pabcd 中，側面 pad 底面 abcd ，側棱 pa pd2，底面 abcd為直角梯形，其中 bc ad ， ab ad ， ad 2ab 2bc2 ， o 為 ad 中點（

6、1）求證：po 平面 abcd ；（ 2）求異面直線 pb 與 cd 所成角的余弦值；（ 3）求點 a 到平面 pcd 的距離5 / 12高二數學 ( 理科 ) 參考答案1-5:cabdb6-10:bddac11、 12： ca13. 114.當 c0 時，若 acbc ，則 ab15.223216. 417. 解： (1) 由題意得 tt = 2 時， a1 = 2 ，公差2 2- t + t + t = 2td = 2 ，所以 an2= 8 ，所以 t =? 2，= 2n ，t = - 2 時， a1 = 6 ，公差 d = - 2 ，所以 an = 8 - 2n .(2) 若數列 an

7、為遞增數列， 則 an= 2n ，所以log 2 bn = 2n ， bn= 4n ，(an- 1)bn = (2n - 1)?4n ，所以23n- 1nsn =1?4 3 ?45?4 + (2n - 3)?4(2n - 1)?4 ，4 sn = 1?423?435?44 + (2n - 3)?4n (2n - 1)?4n +1 ，42 1 - 4n- 1)所以 - 3sn= 4 + 2?422?43 + 2 ?4 n (2n - 1)?4n +1 = 4 + 2 ?( - 3(2n - 1) 4n+1= - 20 - (6n - 5)4 n+1，所以s = (6n - 5) 4n +1 +2

8、03n9.18. 解：由圖可知，參加送考次數為1 次， 2 次， 3 次的司機人數分別為20，100， 80.(1) 該出租車公司司機參加送考的人均次數為：1? 20 2? 100 3 ? 80.= 2.3200(2) 從該公司任選兩名司機， 記“這兩人中一人參加 1 次，另一個參加 2 次送考”為事件 a ，“這兩人中一人參加2 次，另一人參加3 次送考”為事件 b ，“這兩人中一人參加1 次，另一人參加3 次送考”為事件 c ，“這兩人參加次數相同”為事件d .則 p (x = 1) = p ( a)+ p (b) =c201 c1001+c1001c801100， p (x = 2) =

9、 p(c ) =c201 c8011622=2=，c200c200199c200199px = 0= pd)=c202 + c1002+c80283c2002=.()(199x 的分布列：x012p83100161991991996 / 12x 的數學期望 ex = 0 ?831? 1002?16132 .19919919919919. （ 12 分） 【解析】（1）函數 fxx3ax2bxa,br的圖象過點 p（ 1,2 ），f (1)2,ab1（1 分）又函數 fx在 x1處取得極值，f 1033因 f x3x22axb2a3b1解得 a4, b3，（ 3 分）經檢驗 x1（ 4 分）是

10、f x 的極值點3（2）由（ 1）得 f x3x28x3 ，令 f x 0，得 x -3 或 x 1 ，3令 f x 0，得 -3 x 1 ，（ 6 分）3所以，函數fx 的單調增區(qū)間為,3 ,1 ,，3單調減區(qū)間為3, 1（ 8 分）3（3）由（ 2）知， fx在1,1上是減函數，在1 ,1 上是增函數33所以 fx又 f 1所以 fx所以，函數在1,1上的最小值為114（10 分）f，3276, f12在1,1上的最大值為f 16f x 在1,1 上的最小值為1427 ，最大值為 6（ 12 分）20. 解： (1) 點 m 在拋物線 c : y = ax2 上，代入得 a =1 ，所以拋

11、物線 c 的方程為 x2 = 4 y ，47 / 12由題意知，直線ab 的斜率存在，設直線ab 的方程為 y = kx + m ，設 a(x1 , y1) ， b(x2 , y2 ) ， 22? x = 4 y? x4 kx - 4m = 0，得 x1 + x2 = 4 k ， x1 ? x2 - 4m ，聯(lián)立得 ? y = kx +m?由于 ma mb ，所以 ma ?mb0 ，即 (x1 - 2)( x2 - 2) +( y1 - 1)( y2 - 1) = 0 ，即 x1 x2 - 2(x1 + x2 ) + y1 y2 - ( y1 + y2 ) + 5 = 0 .(*)又因為22y

12、1 + y2 = k (x1+ x2 ) + 2m ， y1 ? y2 k x1 x2 + km (x1 + x2 ) + m ，式得 4k 2 +8k22代入 (*)= m2 - 6m + 5 ，即 (2k +2)= (m - 3) ，所以 2k + 2 = m - 3或 2k + 2 = 3 - m ，即 m = 2k + 5 或 m =- 2k +1.當 m = 2k + 5 時，直線 ab 方程為 y = k (x + 2) +5，恒過定點 (- 2,5) ，經驗證，此時d 0 ，符合題意；當 m = - 2k +1時，直線 ab 方程為 y = k (x - 2) +1，恒過定點 (

13、2,1) ，不合題意，所以直線 ab 恒過定點 (- 2,5) .(2) 由 (1) ，設直線 ab 恒過定點 r(- 2,5) ，則點 n 的軌跡是以mr 為直徑的圓且去掉(2,1) ，方程為 x2 + ( y - 3)2 = 8( y ? 1).21. 解：（）在菱形abcd 中， abcd ， cd面 cdpn ， ab面 cdpn ， ab面 cdpn .又 ab面 abpn ，面 abpn面 cdpnpn ， ab pn .（）作 cd 的中點 m ，則由題意知amab ， pa面 abcd ， paab，paam .如圖，以 a 點為原點，建立空間直角坐標系axyz ，8 / 12

14、設 ab2 ，則 b(2,0,0)， c (1,3,0)， d (1, 3,0)， n (0,0,2) ， bd( 3,3,0) ， dn(1,3, 2) ， cd(2,0,0) .設平面 bdn 的一個法向量為n1( x1 , y1, z1 ) ，3x13 y10則由 n1bd 0， n1 dn0 ，得 x13y12z1 0 ，令 x11，則 y13 ， z11，即 n1(1,3,1) ，同理，設平面 dnc 的一個法向量為n2( x2 , y2 , z2 ) ，x23y22 z20由n2 bd 0，n2 dn 0，得2x20，令 z21，則y23n2(0,3 ,1)2 ， x20 ，即2，

15、cosn1 , n2n1n23535n1n27 ，即二面角 bdnc 的余弦值為7 .x2y2, 且離心率 e122. （ 1）橢圓 c : a2b21 ab0過點 a2,32491a2b2c1a2a2b2c2解得 a216,b212 ,9 / 12x2y21橢圓的方程為1612om16b 0, 4的直線 l 交橢圓于不同的兩點m , non（2）假設存在過點, 且滿足7若直線 l 的斜率不存在 , 且直線過點 b 0,4, 則直線 l 即為 y 軸所在直線直線 l 與橢圓的兩不同交點m , n 就是橢圓短軸的端點,m0,23 , n0,23omon0,230, 2 312167k直線 l 的

16、斜率必存在 , 不妨設為,可設直線 l 的方程為 y4kx , 即 ykx4x3y211612, 消 y 得 34k2 x232kx 16 0聯(lián)立ykx4,直線與橢圓相交于不同的兩點m , n221132k4 1634k0 得 :kk2 2 或設 m x1 , y1 , n x2 , y2 ,x1 x232k2, x1 x21623 4k34ky1 y2kx1 4kx24k2 x1 x2 4k x1 x2 164848k 234k2om on167 ,又om onx1 x2164848k 26448k 216y1y2234k234k 273 4k化簡得 k 21,10 / 12k 1或 k1

17、, 經檢驗均滿足式直線 l 的方程為 :yx 4 或 yx4存在直線 l : xy40 或 x y40 滿足題意23. 解：（ 1）在 pad 中 papd ， o 為 ad 中點，所以poad 又側面 pad底面 abcd ，平面 pad平面 abcd ad ， po平面 pad ，所以 po平面 abcd （4 分）（2）連結 bo ，在直角梯形abcd 中，bc ad ,ad2ab2bc ，有 od bc且 odbc ，所以四邊形obcd 是平行四邊形，所以ob dc 由（ 1）知 poob ，pbo 為銳角，所以pbo 是異面直線pb 與 cd 所成的角因為 ad2ab2bc2 ，在 rt ao