機(jī)械振動(dòng)-第07課頻率方程、振型與正則坐標(biāo).ppt

1、第七課 頻率方程、振型與正則坐標(biāo),2020年9月11日,主要內(nèi)容,頻率方程與特征值問題 坐標(biāo)耦合 模態(tài)正交性與主坐標(biāo),主要內(nèi)容,頻率方程與特征值問題 坐標(biāo)耦合 模態(tài)正交性與主坐標(biāo),頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,例題,主要內(nèi)容,頻率方程與特征值問題 坐標(biāo)耦合 模態(tài)正交性與主坐標(biāo),兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不是互相獨(dú)立的，它們彼此受另一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)的影響。這種質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)相互影響的現(xiàn)象 叫做耦合（coupling），具有耦合性質(zhì)的系統(tǒng)叫耦合系統(tǒng)。 像這樣表示振動(dòng)位移的兩個(gè)以上坐標(biāo)出現(xiàn)在同一個(gè)運(yùn)動(dòng)方 程式中時(shí)，就稱這些坐標(biāo)之

2、間存在靜力耦合或彈性耦合。 另外，當(dāng)一個(gè)微分方程式中出現(xiàn)兩個(gè)以上的加速度項(xiàng)時(shí)， 稱為在坐標(biāo)之間有動(dòng)力耦合或質(zhì)量（慣性）耦合。,坐標(biāo)耦合（耦聯(lián)）,靜力耦合或彈性耦合,質(zhì)心與幾何中心不重合,質(zhì)心 x,幾何中心,坐標(biāo)耦合,動(dòng)力耦合或質(zhì)量耦合,C幾何中心,坐標(biāo)耦合,x = x1,靜力與動(dòng)力耦合,坐標(biāo)耦合,坐標(biāo)耦合,某個(gè)系統(tǒng)中是否存在耦合取決于用以表示運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)的選擇方法，而與系統(tǒng)本身的特性無關(guān)。 通過適當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)，可以將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程表示成既無靜力耦合又無動(dòng)力耦合的形式。 采用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)可以使運(yùn)動(dòng)方程解耦。,主要內(nèi)容,頻率方程與特征值問題 坐標(biāo)耦合 模態(tài)正交性與主坐標(biāo),n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有

3、n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。,對(duì)應(yīng)于,相減,表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。,Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。,可見，由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說不

4、存在彈性耦合。 對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來說，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動(dòng)過程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。 因此，從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的，這就是主振動(dòng)正交性的物理意義。,以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即,根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì),主質(zhì)量矩陣,主剛度矩陣,使Mr由對(duì)角陣變換為單位陣,將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即,這樣得到的振型稱為正則振型。,正則振型的正交關(guān)系是,以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即,由

5、正交性可導(dǎo)出正則矩陣兩個(gè)性質(zhì),在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力耦合又有靜力耦合。對(duì)于n自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)耦合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。 由前面的討論可知，主振型矩陣U與正則振型矩陣 ，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。,由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。而在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，第i 個(gè)模態(tài)坐標(biāo)代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻(xiàn)。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時(shí)存在。這就是模態(tài)坐標(biāo)得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。,寫出圖示系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣，以及用正則坐標(biāo)表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。,由質(zhì)量矩陣 ，可求出主質(zhì)量矩陣,解：