《幾何與代數(shù)》 科學(xué)出版社 習(xí)題解析第一章.ppt

1、,代數(shù)與幾何,關(guān)秀翠,東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,習(xí)題解析,教學(xué)內(nèi)容和基本要求,第一章 行列式和線性方程組的求解,(A) 填空題選擇題：作為課下練習(xí),一. (A) 1(1-7), (B) 1,2,3,(B) 留作業(yè),每周三交作業(yè),(C) 課下提高題：有時(shí)間的話盡量做,二. (A) 2(1-5) (B) 4(1,3,4,6), 5(1,2),三. (A) 1(8), 2(6,7) (B) 5(4,6,7,8), 6(2), 7,四. (A) 1(9,10), 2(8,9,10) (B) 9,11,12,假期休閑思考題,你能在15分鐘內(nèi)從下圖找到多少個(gè) 等邊三角形？最多有21個(gè)哦，找找看！,2. 你又能從上圖

2、找到幾個(gè)正六邊形呢？ 只有2個(gè)，你一定會(huì)找到的！相信自己！,假期休閑思考題,你能在15分鐘內(nèi)從下圖找到多少個(gè) 等邊三角形？最多有21個(gè)哦，找找看！,假期休閑思考題,2. 你又能從上圖找到 幾個(gè)正六邊形呢？ 只有2個(gè)，你一定會(huì) 找到的！相信自己！,1.1-2 方陣的行列式,一. 二元線性方程組與二階行列式,三. 排列的逆序數(shù)與奇偶性,四. n階行列式的定義,二.三階行列式的特點(diǎn),|A|: Rnn R,第一章 行列式和線性方程組的求解,= |A |,二. 行列式的主要計(jì)算方法,1.3 行列式的性質(zhì)及計(jì)算,1. 化為三角形行列式,3. 行列式按行(列)展開,2. 箭形行列式,4. 降階遞推法,5.

3、分解行列法,|AT| = |A|.,1.矩陣的初等行變換,2. 階梯陣與行簡(jiǎn)化階梯陣,3. 階梯數(shù)與線性方程組的解,齊次線性方程組有非零解的充分條件,ri rj ,ri k,ri+krj,主元為1，主列為ej,r2 = r1+1 無解,r2 = r1=n 唯一解,r2 = r1 n 無窮多解,r(A)n,mn,|A|=0 (),(A,b),行 階 梯 陣,行 最 簡(jiǎn) 形,為自由變量 對(duì)應(yīng)變量 取非主列,1.4 線性方程組的求解,作業(yè)中的問題：,行列式計(jì)算中每步都要注明所作的運(yùn)算.,c 表示列(column)，r 表示行(row).,ri+krj指rj 行不變而ri 行發(fā)生變化.,不能做 krj

4、 +ri，注意krj對(duì)行列式值的影響.,二、三、四階行列式的計(jì)算最好把某行(列)化成只有一個(gè)非零元素再展開.,不能做變換rj /k，除非注明 k0，還要考慮k=0的情況.,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,若D =,證明: D = (1)mnD1D2.,例7. 設(shè)D =,證明: D = D1D2.,D2 =,證明: 將第n+1列與左邊的各列逐次對(duì)換相鄰兩列， 可將其移到第一列，以此類推，共做mn次相鄰對(duì)換，即可得到D.,選擇題7選D, (1)mnd1d2.,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,D =,= |A| |B|,= (1)mn |A| |B|,A,B為m,n階矩陣,

5、|A| |B| |C| |D|,=,=,思考題：能否利用這些結(jié)果證明 |AB| = |A| |B|？ (其中A,B為n階矩陣) (可先考慮 n=2的情況),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,習(xí)題一(B)：,2.若排列x1,x2,xn的逆序數(shù)是a, 求排列xn, xn1,x1的 逆序數(shù)a.問：什么時(shí)候這兩個(gè)排列的奇偶性相同？,解：,任取兩個(gè)元素xi, xj,xi, xj必在排列x1,x2,xn和xn, xn1,x1中的一個(gè)構(gòu)成逆序，,因此這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和為,這兩個(gè)排列的奇偶性相同.,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,特別的，當(dāng)n=1時(shí)，,兩排列的奇偶性相同.,習(xí)題一(B

6、)：,4. (1),= 64.,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,4(6),解1：化為上三角形行列式,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,解1：化為上三角形行列式,4(6),解2：按行列展開,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,解2：按行列展開,4(6),解3：化成四塊三角形,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,解3：化成四塊三角形,5(1),解1：按第一列展開,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,5(1),解2：化為三角

7、形行列式,當(dāng)x 0時(shí),當(dāng)x=0時(shí),D=0,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,？,5(2),Dn=,1 2 n 2 1 0 n 0 1,解:,=122n2,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,求和公式,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,5(3),解：按第一列展開,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,5(4),Dn=,1 1 1 x 1 x 1 x 1,解：按第一列展開,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,5(4),Dn=,1 1 1 x 1 x 1 x 1,解：按第一列展開,當(dāng)x=1時(shí),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,法一：,5(5),法二

8、：,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,法一：,5(8),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,法二：,5(8),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,法二：,5(8),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,n階(n2) 范德蒙行列式,6(2),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,n階(n2) 范德蒙行列式,第一章 行列式和線性方程組的求解,1 1 1 x1 x2 xn x12 x22 xn2 x1n-2 x2n-2 xnn-2 x1n x2n xnn,6(2),x1n-1 x2n-1 xnn-1,1 x x2 xn-2 xn-1 xn,習(xí)題解析,第一章 行列

9、式和線性方程組的求解,1 1 1 x1 x2 xn x12 x22 xn2 x1n-2 x2n-2 xnn-2 x1n x2n xnn,6(2),x1n-1 x2n-1 xnn-1,1 x x2 xn-2 xn-1 xn,xn-1的系數(shù),(1) 2n+1Dn,xn-1的系數(shù),= Dn,習(xí)題解析,證法2: (數(shù)學(xué)歸納法),證明:,第一章 行列式和線性方程組的求解,假設(shè)等式對(duì)于(n1)階行列式成立， 下面證明對(duì)于n階行列式也成立.,當(dāng)n =2時(shí),習(xí)題解析,證法2: (數(shù)學(xué)歸納法),1 1 1 1 0 x2x1 x3x1 xn x1 0 x2n-3 (x2x1) x3n-3 (x3x1) xnn-3 (xnx1) 0 x2n-2(x22x12) x3n-2(x32x12) xnn-2(xn2x12),rn x12 rn-1,r2 x1 r1,第一章 行列式和線性方程組的求解,rn-1 x1 rn-2,習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,x2x1 x3x1 xn x1 x2n-3 (x2x1) x3n-3 (x3x1) xnn-3 (xnx1) x2n-2(x22x12) x3n-2(x32x12) xnn-2(xn2x12),習(xí)題解析,第一章 行列式和線性方程組的求解,習(xí)題解析,= (x2x1) (xnx1),= (