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1、第四章 金屬自由電子理論,解:,(1),由周期性邊界條件得,每個(gè)波矢狀態(tài)可容納自旋相反的兩個(gè)電子,,則在面積元,中,容納電子數(shù)為,又,所以E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù),(2),在E到E+dE內(nèi)的電子數(shù)為dN,在絕對(duì)零度時(shí),則,4.2 設(shè)金屬中的電子可看成是在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方匣內(nèi)運(yùn)動(dòng)的自由 粒子,試分別采用駐波邊界條件和周期性邊界條件,求狀態(tài)密 度的表示式。,解:,電子在方匣中運(yùn)動(dòng),設(shè)其勢(shì)函數(shù),可寫(xiě)為,,,則薛定諤方程,(1),令,(2),(3),代入(1)式可得,(4),應(yīng)用駐波邊界條件:,可得駐波解為,式中波矢的各分量分別為,(5),這里,為任意正整數(shù),,因而,也只取正值。,由(5)式得知,,間中一
2、個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占體積為,代表金屬體體積。,由上式知道,,空間中的狀態(tài)密度等于8V。,這樣,如計(jì),入自旋,,之間的狀態(tài)數(shù),從(2)式知道,,于是,,狀態(tài)密度為,(6),另一方面,若應(yīng)用周期性邊界條件,則從(3)(4)兩式可得行波解,波矢各分量分別為,(7),取正負(fù)整數(shù),電子的能量仍然表示為,從(7)式知道,在,空間中,每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占體積為,因而,空間中的狀態(tài)密度為V,,計(jì)入自旋,,之間的,狀態(tài)數(shù)為,故狀態(tài)密度,(8),對(duì)比(6),(8)兩式知道,利用駐波邊界條件和周期性邊界條件求 出的狀態(tài)密度表示式是一樣的。,4.3 金屬鋰是體心立方晶格,晶格常數(shù)為a=3.5埃,試計(jì)算絕對(duì)零度時(shí)鋰的電子氣的
3、費(fèi)米能量 (以電子伏特表示)。,解:,體心立方,又,所以,解:,低溫下,金屬摩爾熱容量為,因,所以,可得,解:,因?yàn)?能量為E的等能面的方程式可寫(xiě)為,橢球的體積為,得橢球內(nèi)所含狀態(tài)數(shù),為,之間的狀態(tài)數(shù)為,(1).解一維薛定諤方程,(1),令,(2),解:,從(1)式解得,利用周期性邊界條件,,得到,從上式可求得電子態(tài)在k空間的密度,從(2)式又知道,(3),可見(jiàn)能量E是波矢,的偶函數(shù),,和,對(duì)應(yīng)同一能級(jí),因而,在能量區(qū)間,內(nèi)的電子態(tài)數(shù),(4),式中,為電子的能態(tài)密度。,即,代入(4)式,成為,由(3)式得,于是得,計(jì)及電子的自旋,則得到能態(tài)密度為,(2).電子服從費(fèi)密統(tǒng)計(jì)。,故應(yīng)有,當(dāng)T=0K
4、時(shí),費(fèi)密分布函數(shù),因此,(5),(3).按照定義,電子的平均能量(T=0K),利用(5)式化簡(jiǎn),從上式即得,(1)處于k狀態(tài)的自由電子能量為,,k為,電子波矢。,由此得到,費(fèi)密球內(nèi),證明:,當(dāng)T=0K時(shí),電子全部占據(jù)費(fèi)密球內(nèi)各態(tài)。,空間中,狀態(tài)密度等于V,計(jì)入自旋,在波矢,的球殼內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為,在,,,電子的總能量,于是,(1),由此得到空間能量密度為,(2) 因?yàn)橘M(fèi)密球內(nèi)電子的總數(shù),(2),把(2)式代入(1)式便得電子的平均能量,設(shè)g(E)為單位體積樣品的狀態(tài)密度,當(dāng)系統(tǒng)由0K加熱直至,溫度T時(shí),,(1),式中的f(E)是費(fèi)密分布函數(shù)。,的積分可利用如下的積分公式求得:如,,有,解:,它的總能量,(1)式已經(jīng)過(guò)部分積分,其中最后,式中y(E)為能量E的某一函數(shù)。
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