154因式分解(全).ppt

1、15.4 因式分解,15.4.1 因式分解（初級篇）,因式分解的定義與提公因式法,復(fù)習(xí)回顧,口答：,問題：630可以被哪些整數(shù)整除？,解決這個問題，需要對630進行分解質(zhì)因數(shù),630 = 23257,類似地，在式的變形中， 有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式 以便于更好的解決一些問題,新課引入,試試看 (將下列多項式寫成幾個整式的乘積),回憶前面整式的乘法,上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式 ，也叫做把這個多項式 。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解與整式乘法是逆變形,依照定義，判斷下列變形是不是因式分解,（把多項式化成幾個

2、整式的積）,創(chuàng)設(shè)情景,學(xué)校打算把操場重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運動場、主席臺三個部分，如下圖，計算操場總面積。,a,b,c,m,方法一：S = m ( a + b + c ),方法二：S = ma + mb + mc,m,m,方法一：S = m ( a + b + c ),方法二：S = ma + mb + mc,m ( a + b + c ) = ma + mb + mc,下面兩個式子中哪個是因式分解？,在式子ma + mb + mc中，m是這個多項式中每一個項都含有的因式，叫做 。,公因式,ma + mb + mc = m ( a + b + c ),ma + mb + mc = m (

3、a + b + c ),在下面這個式子的因式分解過程中，先找到這個多項式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個新多項式，將這個多項式與公因式相乘即可。 這種方法叫做提公因式法。,提公因式法一般步驟： 1、找到該多項式的公因式， 2、將原式除以公因式，得到一個新多項式， 3、把它與公因式相乘。,如何準確地找到多項式的公因式呢？,1、系數(shù) 所有項的系數(shù)的最大公因數(shù) 2、字母 應(yīng)提取每一項都有的字母， 且字母的指數(shù)取最低的 3、系數(shù)與字母相乘,例題精講,最大公因數(shù)為3,= 3,a的最低指數(shù)為1,a,b的最低指數(shù)為1,b,(3a5bc),= 4,s,t2,(3s22t+1),p,q,(5q+7p+3)

4、,=,做一做,按照提公因式法因式分解。,提高訓(xùn)練(一),提高訓(xùn)練(二),The End,15.4.2 公式法（中級篇）,15.4.2 公式法（中級篇1）,利用平方差公式進行因式分解,復(fù)習(xí)回顧,還記得學(xué)過的兩個最基本的乘法公式嗎？,平方差公式：,完全平方公式：,計算：,= (999+1)(9991),此處運用了什么公式?,新課引入,試計算：9992 1,12,= 1000998 = 998000,平方差公式,逆用,因式分解:（1）x2 ;（2）y2 ,4 25,22 52,= (x+2)(x2),= (y+5)(y5),這些計算過程中都逆用了平方差公式 即：,此即運用平方差公式進行因式分解 用文

5、字表述為：,兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。,嘗試練習(xí)(對下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_,(a+3)(a3),(7+n)(7n),5(s+2t)(s2t),(10 x+3y)(10 x3y),判斷下列各式是否可以 運用平方差公式進行因式分解, x2 + 4 4x2 + y2 x4 1 x2 x6 6x3 54xy2 (x+p)2 (xq)2,= y2 4x2 = (y+2x)(y2x) = (x2)2 12 = (x2+1) (x21), 4x2 + y2 x4 1,(x21),= ( 4x2

6、y2 ) = (2x+y)(2xy),(x+1)(x1),因式分解一定要分解徹底 !, x2 x6 = x2 (x3)2 = (x+x3)(xx3) = x(1+x2)x(1x2) = x2(1+x2)(1+x)(1x), x2 x6 = x2 (1x4) = x2 (1+x2)(1x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1x),更簡便！,在我們現(xiàn)學(xué)過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。, 6x3 54xy2 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y) (x+p)2 (xq)2 = (x+p)+(xq) (x+p)(xq) = (2x+pq)(p+q),Y,X

7、,Y,X,Y,X,做一做,利用平方差公式因式分解。,提高訓(xùn)練(一), 設(shè)m、n為自然數(shù)且滿足關(guān)系式12+92+92+22+m2=n2，則m = _，n = _。,提高訓(xùn)練(二),3、n是自然數(shù)，代入n3 n中計算時，四個同學(xué)算出如下四個結(jié)果，其中正確的只可能是( )。 A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158,The End,15.4.2 公式法（中級篇2）,利用完全平方公式進行因式分解,復(fù)習(xí)回顧,還記得前面學(xué)的完全平方公式嗎？,計算：,新課引入,試計算：9992 + 1998 + 1,29991,= (999+1)2 = 106,此處運用了什么公式?,完

8、全平方公式,逆用,就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進行一些簡便計算與因式分解。 即：,這個公式可以用文字表述為：,兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的兩倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。,牛刀小試(對下列各式因式分解)： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _,(a+3)2,(n5)2,4(t1)2,(2x3y)2,判斷下列各式是否可以 運用完全平方公式進行因式分解, 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 x2 + 2x 1 4x2 8xy + 4y2 1 2a2 + a4 (p+q)2

9、 12(p+q) + 36,形如a22ab+b2的式子叫做完全平方式。,完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解,完全平方式的特點： 1、必須是三項式（或可以看成三項的） 2、有兩個同號的平方項 3、有一個乘積項（等于平方項底數(shù)的2倍） 簡記口訣： 首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。, 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 4x2 8xy + 4y2,= (4x+3)2,= (4x24xy+y2),= (2xy)2,= 4 (x22xy+y2),= 4 (xy)2, 2a2 + (p+q)2 12(p+q) + 36,a4,1,= (a21)2,= (a+1)2 (a1)2,

10、= (a+1) (a1)2,= (p+q6)2,X,X,X,做一做,用完全平方公式進行因式分解。,做一做,用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行因式分解。,備選方法： 提公因式法 平方差公式 完全平方公式,提高訓(xùn)練(一), 給4x2+1加上一個單項式，使它成為一個完全平方式，這個單項式可以是 _。,提高訓(xùn)練(二),提高訓(xùn)練(三),The End,15.4.3* 因式分解（高級篇）,因式分解的其他常用方法,知識結(jié)構(gòu),因式分解常用方法,提公因式法 公式法 十字相乘法 分組分解法 拆項添項法 配方法 待定系數(shù)法 求根法 ,一、提公因式法,只需找到多項式中的公因式，然后用原多項式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往

11、與其他方法結(jié)合起來用。,二、公式法,只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。 接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。,常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

12、7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo),這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程 不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆,二、公式法,只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。,三、十字相乘法,前面出現(xiàn)了一個公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我們可以用它進行因式分解（適用于二次三項式）,例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常數(shù)項 3 = 13 而一次項系數(shù) 4 = 1 + 3 原式=(x+1)(x+3),暫且稱為p、q型因式分解,例2：因式分解x27x+10 可

13、以看出常數(shù)項10 = (2)(5) 而一次項系數(shù) 7 = (2) + (5) 原式=(x2)(x5),這個公式簡單的說， 就是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的乘積， 而這兩個數(shù)的和剛好等于一次項系數(shù),三、十字相乘法,試因式分解6x2+7x+2。 這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。,既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以，需要將二次項系數(shù)與常數(shù)項分別拆成兩個數(shù)的積，而這四個數(shù)中，兩個數(shù)的積與另外兩個數(shù)的積之和剛好等于一次項系數(shù)，那么因式分解就成功了。,= 17,3 x2 + 11 x + 10,6 x2 + 7 x

14、 + 2,2 3,1 2,4,+ 3,= 7,6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2),1 3,5 2,2,+ 15,= 11,1 3,2 5,5,+ 6,3x2+11x+10=(x+2)(3x+5),= 6,5 x2 6 xy 8 y2,試因式分解5x26xy8y2。 這里仍然可以用十字相乘法。,1 5,2 4,4, 10,5x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y),簡記口訣： 首尾分解，交叉相乘，求和湊中。,四、分組分解法,要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab ac) + (bd

15、 cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c),還有別的解法嗎？,四、分組分解法,要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c),例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1),立方和公式,回顧例題：因式分解 x5+x4+x

16、3+x2+x+1 。,另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1),五*、拆項添項法,怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？,因為它還可以繼續(xù)因式分解,拆項添項法對數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應(yīng)拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。 最好能根據(jù)現(xiàn)有多項式內(nèi)的項猜測可能需要使用的公式，有時要根據(jù)形式猜測可能的系數(shù)。,五*、拆項添項法,因式分解 x4 + 4,解：原式 = x4 + 4x2

17、 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2),完全平方公式,平方差公式,配方法,配方法是一種特殊的拆項添項法，將多項式配成完全平方式，再用平方差公式進行分解。,因式分解 a2b2+4a+2b+3 。,解：原式 = (a2+4a+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3),配方法 (拆項添項法)分組分解法,完全平方公式,平方差公式,六*、待定系數(shù)法,試因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,通過十字相乘法得到 (2x3y)(x+3y) 設(shè)原式等于(2x3y+a)(x+3y+b) 通過比較兩式同類項的系數(shù)可得： 解得： ，原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),= 3,= 14,10,+ 4,2 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20,雙十字相乘法,雙十字相乘法適用于二次六項式的因式分解，而待定系數(shù)法則沒有這個限制。,因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,2 1,3 3,6, 3,4 5,= 3,12, 15,原式 = (2x3y+4)(x+3y+