向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分.ppt

1、第九章 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分, 9.1 向量值函數(shù)及其極限與連續(xù), 9.2 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分, 9.3 向量值函數(shù)的不定積分與定積分,9.2 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,9.2.1 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,內(nèi)容小結(jié)與作業(yè),9.2.2 空間曲線的切線及法平面方程,1向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念,義，如果極限,存在，,則稱向量值函數(shù) r(t) 在 t 處可導(dǎo)，,并稱極限值為,向量值函數(shù) r(t) 在 t 處的導(dǎo)數(shù)，,記為,或者,數(shù) r(t) 在 t 處可導(dǎo)，則r(t) 在 t 處連續(xù).,9.2.1 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,與一元數(shù)量函數(shù)類似，可以進一步定義向量值函數(shù)的,高階導(dǎo)數(shù)，如 r(t)的二

2、階導(dǎo)數(shù)定義為,的導(dǎo)數(shù), 即:,向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋,（a）二維向量值函數(shù)的情形,（b）三維向量值函數(shù)的情形,如果點 P 和 Q 的位置向量為 r(t) 與 r(t+t), 那么,這個向量可以看作是割線向量,趨于曲線在點 P 處的切線向量,線這樣, 曲線r(t) 在點 P處的切向量為,向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義:,r(t)表示在平面上與空間中運動的質(zhì)點在 t 時刻的位置,對應(yīng)的幾何曲線為質(zhì)點的運動軌跡,是質(zhì)點在時間段 t, t + t 上的位移,是質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度，,是質(zhì)點在時刻 t 的瞬時速度 v(t)，即,速度的方向或質(zhì)點運動的方向是運動軌跡的切線方向,是質(zhì)點在時刻 t 的瞬

3、時加速度 a (t).,向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可通過計算其分量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到.,其中各分量函數(shù)在點 t 處可導(dǎo), 則 r(t) 在點 t 處可導(dǎo), 且,定理9.2.2 設(shè)三維向量值函數(shù),同樣，對于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)有類似的結(jié)論.,例1 計算下列向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：,解,這里, (1)中的二維向量值函數(shù)對應(yīng)的圖形是二維平面 上的橢圓曲線; (2)中的三維向量值函數(shù)對應(yīng)的圖形是 三維空間上的螺旋曲線,且在區(qū)間 I 內(nèi),光滑的,例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是光滑的,一條曲線如果由多個光滑的片段組成，那么就稱這 條曲線為分段光滑曲線,解 因為,光滑的曲線在點(1, 0) (對應(yīng)t = 0)突

4、然改變了方向，,在曲線上出現(xiàn)了尖點的特征,所以，該曲線不是,解 質(zhì)點的速度為,質(zhì)點的速率為,質(zhì)點的加速度為,質(zhì)點的速度、加速度與速率,可導(dǎo)的向量值函數(shù) r = r (t) 的微分定義為,對于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù),對于可導(dǎo)的三維向量值函數(shù),對于二維向量值函數(shù)與三維向量值函數(shù)，dr 是一個與,當 dt 0 時, dr與,數(shù)值函數(shù)，,設(shè)u(t), v(t)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，,常數(shù)，則有,定理9.2.1,C 為常向量 (即 C的各分量都為常數(shù)), k 為,f (t)為可導(dǎo),2向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則,( 7 ) 鏈式法則：設(shè) u (s)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，s = f (t),為可導(dǎo)的數(shù)值函數(shù)，則,例4,

5、設(shè) r(t) 是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，且,如果,證 因為,則由求導(dǎo)法則 (5) 知,因此，,幾何意義: 如果一條曲線位于一個以原點為球心的,例5 如果質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的位置向量為r(t),角動量,轉(zhuǎn)動力矩為,證明：,證 由求導(dǎo)法則（6），知,注意到,則,特別，當 M(t) = 0 時,從而L(t)為常向量.,這就是物理學(xué)中的角動量守恒定律,向量為,稱過點 P 且與向量 T (t) 垂直的平面為空間曲線 的,法平面，其方程為,9.2.2 空間曲線的切線與法平面,切線方程與法平面方程,且點(1,1,1) 與 t = 1對應(yīng),所以，在點(1, 1, 1)處曲線的切線向量為,因此，所求切線方程為,解 因為,所求法平面方程,即,內(nèi)容小結(jié)與作業(yè),作業(yè):教材80-82頁 1(1)(3