流體力學勢流.ppt

1、第五章 有旋流動和有勢流動,從運動學的角度對有旋流動的流場作進一步的討論和分析。 從動力學的角度介紹在質(zhì)量力有勢，流體為理想不可壓縮的條件下，有關(guān)渦通量的保持性定理。 論述勢流理論的基本內(nèi)容，引出不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)概念，重點討論不可壓縮流體平面無旋流動的速度勢函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系以及求解勢流問題的奇點疊加方法。,第五章 有旋流動和有勢流動,51 有旋流動的運動學性質(zhì),52 理想不可壓縮流體的旋渦動力學特性,53 蘭肯渦和卡門渦街,55 理想不可壓縮流體恒定平面勢流的奇 點分布解法,54 有勢流動及解法概述,旋度,判別的唯一標準是看流速場的旋度是否為零,51 有旋流動的運動學性質(zhì),有旋流

2、動和無旋流動的判別,渦線是渦量場的矢量線，是某瞬時對應(yīng)的流場中的曲線，該瞬時位于渦線上各點對應(yīng)的渦量都沿著渦線的切向。與流線一樣，渦線是與歐拉觀點相對應(yīng)的概念。,渦線,渦量、渦線、渦管和渦通量,對于有旋流動，將流速場的旋度稱為渦量，它是流體微團旋轉(zhuǎn)角速度矢量的兩倍。渦量場是矢量場。,渦量,根據(jù)定義，渦線的微分方程為,實際上這是兩個微分方程，其中 t 是參數(shù)。可求解得到兩族曲面，它們的交線就是渦線族。,其中,渦線微分方程,在流場中，取一條不與渦線重合的封閉曲線 L，在同一時刻過 L上每一點作渦線，由這些渦線圍成的管狀曲面稱為渦管。,渦管,與渦線一樣，渦管是瞬時概念,渦通量,渦管強度,A,留下一個

3、問題：為什么可取任一截面計算渦管強度,速度環(huán)量、斯托克斯定理,速度環(huán)量,定義流速矢量 u 沿有向曲線 L 的線積分為速度環(huán)量,斯托克斯定理,封閉曲線 L 是 A 的周界， L 的方向 與 n 成右手系。,沿 L 的速度環(huán)量,通過 A 的渦通量,=,例,已知,不可壓縮流體速度分布,渦線方程及沿封閉圍線 的速度環(huán)量,求,求渦量場,求渦線,求速度環(huán)量,在 z = 0 平面上，渦量為,A 關(guān)于 x 軸對稱,旋渦隨空間的變化規(guī)律,奧高定理,n,u,V,A,dA,矢量場通過一封閉曲面的通量（流出為正）等于矢量場的散度在封閉曲面所圍空間域上的積分。,根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)方程,奧高定理可解釋為：不可壓縮流體通

4、過任一封閉曲面的體積流量為零。,渦量場是無源場（管形場）,矢量場的散度表示矢量場的源匯強度。散度為零的矢量場也稱無源場，其矢量線必成管狀，所以也稱管形場。,渦量的散度必為零,由于渦管側(cè)壁沒有渦通量，所以根據(jù)渦量場是無源場可得如下結(jié)論：,在同一時刻，穿過同一渦管的各斷面的渦通量都是相同的。即同一時刻，一根渦管對應(yīng)一個渦管強度。,結(jié)論,這是個純運動學范疇的定理,回答了前面的問題,渦管不能在流體中產(chǎn)生與消失，要么成環(huán)形，要么兩端位于流場的自由面或固體邊界。,L是由確定流體質(zhì)點組成的封閉線，是一個系統(tǒng)，在流動中會改變位置和形狀。,旋渦隨時間的變化規(guī)律,封閉流體線上的速度環(huán)量對于時間的變化率等于此封閉流

5、體線上的加速度環(huán)量。,加速度環(huán)量,L(t),u(t+dt),u(t),速 度環(huán)量對時間的全導數(shù),表示對空間微分,d表示對時間微分,簡要的證明,無旋與有勢的等價性,有勢流動,定義,有勢流動,等 價,有勢流動,52 理想不可壓縮流體的旋渦動力學特性,開爾文定理,若質(zhì)量力有勢，理想不可壓縮流體的運動方程為：,t,t+dt,亥姆霍茲定理,某時刻組成渦管的流體質(zhì)點將永遠組成渦管。,渦管的強度在流動中保持不變。,容易通過開爾文定理予以證明，上述亥姆霍茲定理成立的條件應(yīng)與開爾文定理相同。,開爾文定理說明，若質(zhì)量力有勢，流體為理想不可壓縮流體，那么渦通量不會產(chǎn)生，初始時刻為無旋的流動將永遠保持無旋，而有旋流動

6、的渦通量則有保持性，既不會消失，也不會擴散。,粘性對旋渦運動的影響,開爾文定理也反過來說明了之所以在實際流體的運動中會有旋渦的產(chǎn)生、發(fā)展和消失，以及渦量在流場中的擴散現(xiàn)象，粘性的存在應(yīng)該是最重要的因素。,53 蘭肯渦和卡門渦街,蘭肯渦,平面組合渦：中心區(qū)是強迫渦；外圍區(qū)是自由渦。,中心區(qū)是以渦心為圓心的圓，其中的速度與離渦心的距離成正比，渦量為常數(shù)。外圍部分的流速則與離渦心的距離成反比，流動有勢，渦量為零。,0,u0,u,x,y,C,r,r0,*,蘭肯渦是比較接近實際的平面旋渦模型，其中心部分的流體象剛體一樣旋轉(zhuǎn)，需有外力不斷推動，中心部分也可用圓柱形剛體的轉(zhuǎn)動來代替。外圍部分流體的運動在開始

7、時是由中心部分的轉(zhuǎn)動通過粘性的作用形成的，在流動穩(wěn)定以后，則無須再加入能量，粘性也就不再起作用。,繞 的速度環(huán)量,中心區(qū)的流動,用渦通量計算得到同樣的結(jié)果,渦量處處為常數(shù),速度分布,流速分布,外圍區(qū)是無旋流動,繞任一 的圓周（任意包住 的封閉曲線也可）的速度環(huán)量都等于0,外圍區(qū)的流動,壓強分布,外圍區(qū)流動恒定無旋，可用歐拉積分確定壓強的徑向分布,中心區(qū)流動恒定有旋，只能用伯努利積分，但得不到壓強的徑向分布。須直接由理想流體運動方程出發(fā)求解。,時,速度分布,外圍區(qū)的壓強,r0,壓差力,向心力,中心區(qū)的壓強,速度分布,壓強分布,r0,中心區(qū)的壓強,速度分布,壓強分布,r0,拋物線分布，渦心處最低,

8、中心區(qū)速度越快，壓強越高，速度越慢，壓強越低。與無旋區(qū)有本質(zhì)的不同。,卡門渦街,試驗發(fā)現(xiàn)，定常來流 U 繞過直徑為 d 的圓柱體時，在不同雷諾數(shù) 情況下，圓柱下游有不同的旋渦現(xiàn)象出現(xiàn)。當雷諾數(shù)大于 90 后，可以看到有規(guī)則交錯排列的雙列線渦，稱為卡門渦列，其中尤以雷諾數(shù)等于 150 左右時最為典型。,-,旋渦從圓柱體上交替地脫落到下游，因而形成周期性的振動，旋渦從柱體上脫落的頻率 f 將以斯特勞哈爾數(shù)表達，并由雷諾數(shù)決定,-,從柱體上、下面分別脫落的旋渦，其旋轉(zhuǎn)方向是彼此相反的，同時所有旋渦都以相同速度（因有旋渦間相互干擾，此速度比來流速度?。┫蛳掠我苿?。,-,卡門的分析研究表明，當渦列的空間

9、尺度為 時，渦列對于小擾動才是穩(wěn)定的，實測證實了這一點。,54 有勢流動及解法概述,由開爾文定理可知，理想不可壓縮流體從靜止或無旋狀態(tài)開始的流動將保持為無旋流動。所以無旋流動往往是以理想流體為前提條件的。無旋流動即為有勢流動。,一. 無旋流動的速度勢函數(shù),速度勢函數(shù)的定義,速度勢函數(shù)的求法（一）,與路徑無關(guān)，可選一條簡便的路徑計算。,起點不同，速度勢相差一個常數(shù)，不會影響對流場的描述。,速度勢函數(shù)的求法（二）,尋找全微分，確定速度勢,要按照定義求速度勢，不要誤認為做三個獨立的不定積分。,給出流場，求解速度勢，要先檢查流場是否無旋。,代入,確定,例,已知,速度場,此流動是不可壓縮流體的平面勢流，

10、并求速度勢函數(shù)。,求證,由,知,按定義求,按三個不定積分求,滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。,極坐標中速度勢函數(shù)的微分為,不可壓流體無旋流動的速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。,例,已知,速度場,此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。,求證,r = 0 奇點,例,此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。,求證,r = 0 奇點,二. 不可壓縮流體平面流動的流函數(shù),不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程,改寫,矢量場 無 旋，必有相應(yīng)的勢函數(shù)。,原流速場的流函數(shù),定義其勢函數(shù),流函數(shù)的微分為穿過微元弧長的流量，所以把 稱為流函數(shù)。,將平面上一段有向微元弧長,順時針轉(zhuǎn) 900，方向為 dl

11、 之法向n ，大小為 dl ，可記為 ndl,根據(jù)流函數(shù)定義,表示穿過 M0 至 M 連線的流量，它與連線路徑無關(guān)，在起點 M0 確定的情況下是終點 M 的坐標的函數(shù)。,根據(jù)定義確定流函數(shù)時選取不同的起點 M0 ，流函數(shù)將相差一個常數(shù)，但同樣不會影響對流場的描述。,M0,M,對于不可壓流體的平面流動是容易理解的，而三維流動就得不到這樣的結(jié)論。,兩點流函數(shù)的差表示穿過兩點間任意連線的流量。,不可壓流體平面流動的流線方程,表示有流量自M1M2連線左側(cè)流進右側(cè)，由此可確定流動方向。,如圖中所示, 若,M1,M2,畫出穿過微元弧長的流量示意圖，可以幫助記憶流函數(shù)定義。,在直角坐標系中,在極坐標系中,說

12、明流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。,流函數(shù)的概念本與流動是否無旋無關(guān)，在這里引出，是為了下面建立不可壓流體平面無旋流動復勢的需要。,如果不可壓流體平面流動是無旋的，那么,若已知不可壓縮流體平面流動的速度場，則流函數(shù)也可用定義直接求或用尋找全微分的方法。,不可壓流體平面無旋流動既有速度勢函數(shù)又有流函數(shù)，它們都滿足拉普拉斯方程，都是調(diào)和函數(shù)。,三. 不可壓縮流體平面無旋流動的速度勢函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系,根據(jù)它們和流速場的關(guān)系可知,稱這對調(diào)和函數(shù)滿足柯西 黎曼條件，互為共軛調(diào)和函數(shù)。,等勢線 和等流函數(shù)線（流線） 必是互相正交的。,上取一段微元弧長矢量 dl ，則,以上速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是在

13、不可壓縮流體平面無旋流動的條件下建立的。,在不可壓縮流體平面有旋流動中就只有流函數(shù)，沒有速度勢。,在不可壓縮流體三維無旋流動中就只有速度勢，沒有流函數(shù)。,注意：,如不可壓縮流體平面流動的流函數(shù),流動有旋，不存在速度勢。,求流函數(shù),求速度勢,查是否平面不可壓,查是否無旋,四. 理想不可壓縮流體恒定有勢流動的解法概述,求解數(shù)量場,求解矢量場u,求解歐拉方程,求解拉普拉斯方程,的邊值問題,歐拉積分,四個未知數(shù) u , p,拉普拉斯方程的邊值問題在適定的邊界條件下有唯一解。,理想不可壓流體恒定平面有勢流動同時存在速度勢函數(shù) 和流函數(shù) ，這是一對共軛調(diào)和函數(shù)。給流場的求解帶來更大的簡便。,常用 的 解

14、法,分離變量法 奇點分布法 保角變換法 數(shù)值解法 幾何（流網(wǎng)）法 實驗（如水電比擬等）方法,繪制流網(wǎng)是求解理想不可壓流體定常平面有勢流動的一種近似的幾何方法，流網(wǎng)是由等速度勢函數(shù)線族和等流函數(shù)線（流線）族構(gòu)成的正交網(wǎng)格。一般取速度勢函數(shù)和流函數(shù)的增量相等，流網(wǎng)呈正方形。根據(jù)流網(wǎng)可以圖解流速，再由歐拉積分推算壓力。,x,y,ds,dn,+d,+d,u,o,繪制流網(wǎng)要點:固壁為等流函數(shù)線(流線)；流線間隔按流量相同劃分，斷面流速均勻，則流線間距相等；自由面也是一條流線，但其位置、形狀未知，需利用壓強條件逐漸確定。,流網(wǎng)密處，流速大、壓強小。流網(wǎng)疏處，流速小、壓強大。已知一點處流速、壓強，可知各點流

15、速和壓強。,A,B,55 理想不可壓縮流體恒定平面勢流的奇點分布解法,一. 幾種基本的不可壓縮流體平面有勢流動,直線等速流動,整個流場速度都一樣，大小 ，與 x 軸夾角 ,平面點源,o,2,x,1,4,y,2,3,3,1,實際上是與流動平面垂直的一條無限長線源，單位長度源強為q,q為正稱為點源， q為負稱為點匯。,o,x,y,等勢線,流線,以點源為圓心的同心圓,從點源出發(fā)的半射線,平面點渦,x,實際上是與流動平面垂直的一條無限長線渦，渦強為 . 蘭肯渦的簡化模型。, 以逆時針為正，順時針為負。,等勢線,流線,從點源出發(fā)的半射線,以點源為圓心的同心圓,流場中若有多個點渦，各點渦處于其它點渦誘導的

16、流場中，整個點渦組將會運動。點渦對自身的誘導速度為零。,上面的公式都是針對奇點處于原點得到的，若有多個奇點，必有奇點不在原點位置，如為(a,b)，則相應(yīng)的公式中(x,y)改為(x-a,y-b).,*,二. 基本有勢流動的疊加,勢流疊加原理,拉普拉斯方程是線性齊次的，解的線性組合仍是解。,根據(jù)疊加原理，可用基本有勢流動疊加成較復雜的有勢流動。,平面偶極子,一對等強度的源和匯疊加的極限情況,間距,保持不變,強度,即,偶極子方向：匯源,偶極子強度：m,強度為m，方向為 x 軸的偶極子的速度勢,強度為m，方向為 x 軸的偶極子的流函數(shù),偶極子方向為 x 軸，結(jié)果反號。,偶極子的流線,圓心在 y 軸上與

17、 x 軸相切的圓,m,偶極子的等勢線,圓心在 x 軸上與 y 軸相切的圓,零流線,駐點,過駐點流線的流線常數(shù),(上半段， 取 0 - ）,過駐點流線,c, = /2 代入，得, 0,過駐點流線在下游無窮遠處開口寬度,設(shè)想用一剛性薄片按上述過駐點流線的形狀彎成柱面，從垂直于流動平面的方向插入流場，將不會影響內(nèi)外兩部分流場的流動。這就是流線與固壁的等價原理。若按過駐點流線的形狀制成半無窮柱體放入流場相應(yīng)位置，取代點源，此時內(nèi)部流動將不再存在，但外部流動仍不會改變。所以點源對等速直線流動的影響與這個半無窮柱體對等速直線流動的影響是等價的。上面我們得到的流場也就是等速直線流動繞過半無窮柱體的繞流解。從

18、這個意義上講，點源這個抽象的流動變成了一個具體、實在的概念。,流線與固壁的等價原理,過駐點流線封閉，呈扁平的卵形。,如何？,零流線,代表繞圓柱r = a 的繞流,圓柱和偶極子的等價性,圓柱上的壓強分布上下、左右都對稱,圓柱面 r = a上的速度分布,圓柱面 r = a上的壓強分布,無量綱表達,圓柱在繞流中不受力，緣由是理想流體假設(shè),a,無環(huán)量圓柱繞流是一個重要的平面有勢流動，圓柱對來流的作用完全可以由一個適當?shù)呐紭O子來代替。,在無環(huán)量圓柱繞流解的基礎(chǔ)上再疊加一個繞圓柱的環(huán)量，即在原點加上一個平面點渦，易知圓柱面仍是流線，形成有環(huán)量的圓柱繞流。此時，圓柱面上的速度大小和壓強分布不再是上下對稱的了，因此引起升力。,平面壁鏡像法可以使不可壓流體平面有勢流動的奇點分布解法得到進一步的擴展。前面我們討論的都是在無界域（整個流動平面充滿流體）中放置的奇點解，不能直接用于固壁一側(cè)的半平面流體區(qū)域中放置奇點的情況，而借助于平面壁鏡像法就可以解決這個問題。,三. 平面壁鏡像法,不妨以上半平面流體區(qū)域放置孤立奇點為例，探討固壁 x 軸對流動的影響