流體力學(xué)勢(shì)流.ppt

1、第五章 有旋流動(dòng)和有勢(shì)流動(dòng),從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度對(duì)有旋流動(dòng)的流場(chǎng)作進(jìn)一步的討論和分析。 從動(dòng)力學(xué)的角度介紹在質(zhì)量力有勢(shì)，流體為理想不可壓縮的條件下，有關(guān)渦通量的保持性定理。 論述勢(shì)流理論的基本內(nèi)容，引出不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)概念，重點(diǎn)討論不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系以及求解勢(shì)流問題的奇點(diǎn)疊加方法。,第五章 有旋流動(dòng)和有勢(shì)流動(dòng),51 有旋流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì),52 理想不可壓縮流體的旋渦動(dòng)力學(xué)特性,53 蘭肯渦和卡門渦街,55 理想不可壓縮流體恒定平面勢(shì)流的奇 點(diǎn)分布解法,54 有勢(shì)流動(dòng)及解法概述,旋度,判別的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)的旋度是否為零,51 有旋流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì),有旋流

2、動(dòng)和無旋流動(dòng)的判別,渦線是渦量場(chǎng)的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的曲線，該瞬時(shí)位于渦線上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的渦量都沿著渦線的切向。與流線一樣，渦線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。,渦線,渦量、渦線、渦管和渦通量,對(duì)于有旋流動(dòng)，將流速場(chǎng)的旋度稱為渦量，它是流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度矢量的兩倍。渦量場(chǎng)是矢量場(chǎng)。,渦量,根據(jù)定義，渦線的微分方程為,實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中 t 是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是渦線族。,其中,渦線微分方程,在流場(chǎng)中，取一條不與渦線重合的封閉曲線 L，在同一時(shí)刻過 L上每一點(diǎn)作渦線，由這些渦線圍成的管狀曲面稱為渦管。,渦管,與渦線一樣，渦管是瞬時(shí)概念,渦通量,渦管強(qiáng)度,A,留下一個(gè)

3、問題：為什么可取任一截面計(jì)算渦管強(qiáng)度,速度環(huán)量、斯托克斯定理,速度環(huán)量,定義流速矢量 u 沿有向曲線 L 的線積分為速度環(huán)量,斯托克斯定理,封閉曲線 L 是 A 的周界， L 的方向 與 n 成右手系。,沿 L 的速度環(huán)量,通過 A 的渦通量,=,例,已知,不可壓縮流體速度分布,渦線方程及沿封閉圍線 的速度環(huán)量,求,求渦量場(chǎng),求渦線,求速度環(huán)量,在 z = 0 平面上，渦量為,A 關(guān)于 x 軸對(duì)稱,旋渦隨空間的變化規(guī)律,奧高定理,n,u,V,A,dA,矢量場(chǎng)通過一封閉曲面的通量（流出為正）等于矢量場(chǎng)的散度在封閉曲面所圍空間域上的積分。,根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)方程,奧高定理可解釋為：不可壓縮流體通

4、過任一封閉曲面的體積流量為零。,渦量場(chǎng)是無源場(chǎng)（管形場(chǎng)）,矢量場(chǎng)的散度表示矢量場(chǎng)的源匯強(qiáng)度。散度為零的矢量場(chǎng)也稱無源場(chǎng)，其矢量線必成管狀，所以也稱管形場(chǎng)。,渦量的散度必為零,由于渦管側(cè)壁沒有渦通量，所以根據(jù)渦量場(chǎng)是無源場(chǎng)可得如下結(jié)論：,在同一時(shí)刻，穿過同一渦管的各斷面的渦通量都是相同的。即同一時(shí)刻，一根渦管對(duì)應(yīng)一個(gè)渦管強(qiáng)度。,結(jié)論,這是個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇的定理,回答了前面的問題,渦管不能在流體中產(chǎn)生與消失，要么成環(huán)形，要么兩端位于流場(chǎng)的自由面或固體邊界。,L是由確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉線，是一個(gè)系統(tǒng)，在流動(dòng)中會(huì)改變位置和形狀。,旋渦隨時(shí)間的變化規(guī)律,封閉流體線上的速度環(huán)量對(duì)于時(shí)間的變化率等于此封閉流

5、體線上的加速度環(huán)量。,加速度環(huán)量,L(t),u(t+dt),u(t),速 度環(huán)量對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù),表示對(duì)空間微分,d表示對(duì)時(shí)間微分,簡(jiǎn)要的證明,無旋與有勢(shì)的等價(jià)性,有勢(shì)流動(dòng),定義,有勢(shì)流動(dòng),等 價(jià),有勢(shì)流動(dòng),52 理想不可壓縮流體的旋渦動(dòng)力學(xué)特性,開爾文定理,若質(zhì)量力有勢(shì)，理想不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程為：,t,t+dt,亥姆霍茲定理,某時(shí)刻組成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)組成渦管。,渦管的強(qiáng)度在流動(dòng)中保持不變。,容易通過開爾文定理予以證明，上述亥姆霍茲定理成立的條件應(yīng)與開爾文定理相同。,開爾文定理說明，若質(zhì)量力有勢(shì)，流體為理想不可壓縮流體，那么渦通量不會(huì)產(chǎn)生，初始時(shí)刻為無旋的流動(dòng)將永遠(yuǎn)保持無旋，而有旋流動(dòng)

6、的渦通量則有保持性，既不會(huì)消失，也不會(huì)擴(kuò)散。,粘性對(duì)旋渦運(yùn)動(dòng)的影響,開爾文定理也反過來說明了之所以在實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)中會(huì)有旋渦的產(chǎn)生、發(fā)展和消失，以及渦量在流場(chǎng)中的擴(kuò)散現(xiàn)象，粘性的存在應(yīng)該是最重要的因素。,53 蘭肯渦和卡門渦街,蘭肯渦,平面組合渦：中心區(qū)是強(qiáng)迫渦；外圍區(qū)是自由渦。,中心區(qū)是以渦心為圓心的圓，其中的速度與離渦心的距離成正比，渦量為常數(shù)。外圍部分的流速則與離渦心的距離成反比，流動(dòng)有勢(shì)，渦量為零。,0,u0,u,x,y,C,r,r0,*,蘭肯渦是比較接近實(shí)際的平面旋渦模型，其中心部分的流體象剛體一樣旋轉(zhuǎn)，需有外力不斷推動(dòng)，中心部分也可用圓柱形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)來代替。外圍部分流體的運(yùn)動(dòng)在開始

7、時(shí)是由中心部分的轉(zhuǎn)動(dòng)通過粘性的作用形成的，在流動(dòng)穩(wěn)定以后，則無須再加入能量，粘性也就不再起作用。,繞 的速度環(huán)量,中心區(qū)的流動(dòng),用渦通量計(jì)算得到同樣的結(jié)果,渦量處處為常數(shù),速度分布,流速分布,外圍區(qū)是無旋流動(dòng),繞任一 的圓周（任意包住 的封閉曲線也可）的速度環(huán)量都等于0,外圍區(qū)的流動(dòng),壓強(qiáng)分布,外圍區(qū)流動(dòng)恒定無旋，可用歐拉積分確定壓強(qiáng)的徑向分布,中心區(qū)流動(dòng)恒定有旋，只能用伯努利積分，但得不到壓強(qiáng)的徑向分布。須直接由理想流體運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)求解。,時(shí),速度分布,外圍區(qū)的壓強(qiáng),r0,壓差力,向心力,中心區(qū)的壓強(qiáng),速度分布,壓強(qiáng)分布,r0,中心區(qū)的壓強(qiáng),速度分布,壓強(qiáng)分布,r0,拋物線分布，渦心處最低,

8、中心區(qū)速度越快，壓強(qiáng)越高，速度越慢，壓強(qiáng)越低。與無旋區(qū)有本質(zhì)的不同。,卡門渦街,試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，定常來流 U 繞過直徑為 d 的圓柱體時(shí)，在不同雷諾數(shù) 情況下，圓柱下游有不同的旋渦現(xiàn)象出現(xiàn)。當(dāng)雷諾數(shù)大于 90 后，可以看到有規(guī)則交錯(cuò)排列的雙列線渦，稱為卡門渦列，其中尤以雷諾數(shù)等于 150 左右時(shí)最為典型。,-,旋渦從圓柱體上交替地脫落到下游，因而形成周期性的振動(dòng)，旋渦從柱體上脫落的頻率 f 將以斯特勞哈爾數(shù)表達(dá)，并由雷諾數(shù)決定,-,從柱體上、下面分別脫落的旋渦，其旋轉(zhuǎn)方向是彼此相反的，同時(shí)所有旋渦都以相同速度（因有旋渦間相互干擾，此速度比來流速度?。┫蛳掠我苿?dòng)。,-,卡門的分析研究表明，當(dāng)渦列的空間

9、尺度為 時(shí)，渦列對(duì)于小擾動(dòng)才是穩(wěn)定的，實(shí)測(cè)證實(shí)了這一點(diǎn)。,54 有勢(shì)流動(dòng)及解法概述,由開爾文定理可知，理想不可壓縮流體從靜止或無旋狀態(tài)開始的流動(dòng)將保持為無旋流動(dòng)。所以無旋流動(dòng)往往是以理想流體為前提條件的。無旋流動(dòng)即為有勢(shì)流動(dòng)。,一. 無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù),速度勢(shì)函數(shù)的定義,速度勢(shì)函數(shù)的求法（一）,與路徑無關(guān)，可選一條簡(jiǎn)便的路徑計(jì)算。,起點(diǎn)不同，速度勢(shì)相差一個(gè)常數(shù)，不會(huì)影響對(duì)流場(chǎng)的描述。,速度勢(shì)函數(shù)的求法（二）,尋找全微分，確定速度勢(shì),要按照定義求速度勢(shì)，不要誤認(rèn)為做三個(gè)獨(dú)立的不定積分。,給出流場(chǎng)，求解速度勢(shì)，要先檢查流場(chǎng)是否無旋。,代入,確定,例,已知,速度場(chǎng),此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢(shì)流，

10、并求速度勢(shì)函數(shù)。,求證,由,知,按定義求,按三個(gè)不定積分求,滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。,極坐標(biāo)中速度勢(shì)函數(shù)的微分為,不可壓流體無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。,例,已知,速度場(chǎng),此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢(shì)流，并求速度勢(shì)函數(shù)。,求證,r = 0 奇點(diǎn),例,此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢(shì)流，并求速度勢(shì)函數(shù)。,求證,r = 0 奇點(diǎn),二. 不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù),不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程,改寫,矢量場(chǎng) 無 旋，必有相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)。,原流速場(chǎng)的流函數(shù),定義其勢(shì)函數(shù),流函數(shù)的微分為穿過微元弧長(zhǎng)的流量，所以把 稱為流函數(shù)。,將平面上一段有向微元弧長(zhǎng),順時(shí)針轉(zhuǎn) 900，方向?yàn)?dl

11、 之法向n ，大小為 dl ，可記為 ndl,根據(jù)流函數(shù)定義,表示穿過 M0 至 M 連線的流量，它與連線路徑無關(guān)，在起點(diǎn) M0 確定的情況下是終點(diǎn) M 的坐標(biāo)的函數(shù)。,根據(jù)定義確定流函數(shù)時(shí)選取不同的起點(diǎn) M0 ，流函數(shù)將相差一個(gè)常數(shù)，但同樣不會(huì)影響對(duì)流場(chǎng)的描述。,M0,M,對(duì)于不可壓流體的平面流動(dòng)是容易理解的，而三維流動(dòng)就得不到這樣的結(jié)論。,兩點(diǎn)流函數(shù)的差表示穿過兩點(diǎn)間任意連線的流量。,不可壓流體平面流動(dòng)的流線方程,表示有流量自M1M2連線左側(cè)流進(jìn)右側(cè)，由此可確定流動(dòng)方向。,如圖中所示, 若,M1,M2,畫出穿過微元弧長(zhǎng)的流量示意圖，可以幫助記憶流函數(shù)定義。,在直角坐標(biāo)系中,在極坐標(biāo)系中,說

12、明流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。,流函數(shù)的概念本與流動(dòng)是否無旋無關(guān)，在這里引出，是為了下面建立不可壓流體平面無旋流動(dòng)復(fù)勢(shì)的需要。,如果不可壓流體平面流動(dòng)是無旋的，那么,若已知不可壓縮流體平面流動(dòng)的速度場(chǎng)，則流函數(shù)也可用定義直接求或用尋找全微分的方法。,不可壓流體平面無旋流動(dòng)既有速度勢(shì)函數(shù)又有流函數(shù)，它們都滿足拉普拉斯方程，都是調(diào)和函數(shù)。,三. 不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系,根據(jù)它們和流速場(chǎng)的關(guān)系可知,稱這對(duì)調(diào)和函數(shù)滿足柯西 黎曼條件，互為共軛調(diào)和函數(shù)。,等勢(shì)線 和等流函數(shù)線（流線） 必是互相正交的。,上取一段微元弧長(zhǎng)矢量 dl ，則,以上速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是在

13、不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的條件下建立的。,在不可壓縮流體平面有旋流動(dòng)中就只有流函數(shù)，沒有速度勢(shì)。,在不可壓縮流體三維無旋流動(dòng)中就只有速度勢(shì)，沒有流函數(shù)。,注意：,如不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù),流動(dòng)有旋，不存在速度勢(shì)。,求流函數(shù),求速度勢(shì),查是否平面不可壓,查是否無旋,四. 理想不可壓縮流體恒定有勢(shì)流動(dòng)的解法概述,求解數(shù)量場(chǎng),求解矢量場(chǎng)u,求解歐拉方程,求解拉普拉斯方程,的邊值問題,歐拉積分,四個(gè)未知數(shù) u , p,拉普拉斯方程的邊值問題在適定的邊界條件下有唯一解。,理想不可壓流體恒定平面有勢(shì)流動(dòng)同時(shí)存在速度勢(shì)函數(shù) 和流函數(shù) ，這是一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)。給流場(chǎng)的求解帶來更大的簡(jiǎn)便。,常用 的 解

14、法,分離變量法 奇點(diǎn)分布法 保角變換法 數(shù)值解法 幾何（流網(wǎng)）法 實(shí)驗(yàn)（如水電比擬等）方法,繪制流網(wǎng)是求解理想不可壓流體定常平面有勢(shì)流動(dòng)的一種近似的幾何方法，流網(wǎng)是由等速度勢(shì)函數(shù)線族和等流函數(shù)線（流線）族構(gòu)成的正交網(wǎng)格。一般取速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的增量相等，流網(wǎng)呈正方形。根據(jù)流網(wǎng)可以圖解流速，再由歐拉積分推算壓力。,x,y,ds,dn,+d,+d,u,o,繪制流網(wǎng)要點(diǎn):固壁為等流函數(shù)線(流線)；流線間隔按流量相同劃分，斷面流速均勻，則流線間距相等；自由面也是一條流線，但其位置、形狀未知，需利用壓強(qiáng)條件逐漸確定。,流網(wǎng)密處，流速大、壓強(qiáng)小。流網(wǎng)疏處，流速小、壓強(qiáng)大。已知一點(diǎn)處流速、壓強(qiáng)，可知各點(diǎn)流

15、速和壓強(qiáng)。,A,B,55 理想不可壓縮流體恒定平面勢(shì)流的奇點(diǎn)分布解法,一. 幾種基本的不可壓縮流體平面有勢(shì)流動(dòng),直線等速流動(dòng),整個(gè)流場(chǎng)速度都一樣，大小 ，與 x 軸夾角 ,平面點(diǎn)源,o,2,x,1,4,y,2,3,3,1,實(shí)際上是與流動(dòng)平面垂直的一條無限長(zhǎng)線源，單位長(zhǎng)度源強(qiáng)為q,q為正稱為點(diǎn)源， q為負(fù)稱為點(diǎn)匯。,o,x,y,等勢(shì)線,流線,以點(diǎn)源為圓心的同心圓,從點(diǎn)源出發(fā)的半射線,平面點(diǎn)渦,x,實(shí)際上是與流動(dòng)平面垂直的一條無限長(zhǎng)線渦，渦強(qiáng)為 . 蘭肯渦的簡(jiǎn)化模型。, 以逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。,等勢(shì)線,流線,從點(diǎn)源出發(fā)的半射線,以點(diǎn)源為圓心的同心圓,流場(chǎng)中若有多個(gè)點(diǎn)渦，各點(diǎn)渦處于其它點(diǎn)渦誘導(dǎo)的

16、流場(chǎng)中，整個(gè)點(diǎn)渦組將會(huì)運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)渦對(duì)自身的誘導(dǎo)速度為零。,上面的公式都是針對(duì)奇點(diǎn)處于原點(diǎn)得到的，若有多個(gè)奇點(diǎn)，必有奇點(diǎn)不在原點(diǎn)位置，如為(a,b)，則相應(yīng)的公式中(x,y)改為(x-a,y-b).,*,二. 基本有勢(shì)流動(dòng)的疊加,勢(shì)流疊加原理,拉普拉斯方程是線性齊次的，解的線性組合仍是解。,根據(jù)疊加原理，可用基本有勢(shì)流動(dòng)疊加成較復(fù)雜的有勢(shì)流動(dòng)。,平面偶極子,一對(duì)等強(qiáng)度的源和匯疊加的極限情況,間距,保持不變,強(qiáng)度,即,偶極子方向：匯源,偶極子強(qiáng)度：m,強(qiáng)度為m，方向?yàn)?x 軸的偶極子的速度勢(shì),強(qiáng)度為m，方向?yàn)?x 軸的偶極子的流函數(shù),偶極子方向?yàn)?x 軸，結(jié)果反號(hào)。,偶極子的流線,圓心在 y 軸上與

17、 x 軸相切的圓,m,偶極子的等勢(shì)線,圓心在 x 軸上與 y 軸相切的圓,零流線,駐點(diǎn),過駐點(diǎn)流線的流線常數(shù),(上半段， 取 0 - ）,過駐點(diǎn)流線,c, = /2 代入，得, 0,過駐點(diǎn)流線在下游無窮遠(yuǎn)處開口寬度,設(shè)想用一剛性薄片按上述過駐點(diǎn)流線的形狀彎成柱面，從垂直于流動(dòng)平面的方向插入流場(chǎng)，將不會(huì)影響內(nèi)外兩部分流場(chǎng)的流動(dòng)。這就是流線與固壁的等價(jià)原理。若按過駐點(diǎn)流線的形狀制成半無窮柱體放入流場(chǎng)相應(yīng)位置，取代點(diǎn)源，此時(shí)內(nèi)部流動(dòng)將不再存在，但外部流動(dòng)仍不會(huì)改變。所以點(diǎn)源對(duì)等速直線流動(dòng)的影響與這個(gè)半無窮柱體對(duì)等速直線流動(dòng)的影響是等價(jià)的。上面我們得到的流場(chǎng)也就是等速直線流動(dòng)繞過半無窮柱體的繞流解。從

18、這個(gè)意義上講，點(diǎn)源這個(gè)抽象的流動(dòng)變成了一個(gè)具體、實(shí)在的概念。,流線與固壁的等價(jià)原理,過駐點(diǎn)流線封閉，呈扁平的卵形。,如何？,零流線,代表繞圓柱r = a 的繞流,圓柱和偶極子的等價(jià)性,圓柱上的壓強(qiáng)分布上下、左右都對(duì)稱,圓柱面 r = a上的速度分布,圓柱面 r = a上的壓強(qiáng)分布,無量綱表達(dá),圓柱在繞流中不受力，緣由是理想流體假設(shè),a,無環(huán)量圓柱繞流是一個(gè)重要的平面有勢(shì)流動(dòng)，圓柱對(duì)來流的作用完全可以由一個(gè)適當(dāng)?shù)呐紭O子來代替。,在無環(huán)量圓柱繞流解的基礎(chǔ)上再疊加一個(gè)繞圓柱的環(huán)量，即在原點(diǎn)加上一個(gè)平面點(diǎn)渦，易知圓柱面仍是流線，形成有環(huán)量的圓柱繞流。此時(shí)，圓柱面上的速度大小和壓強(qiáng)分布不再是上下對(duì)稱的了，因此引起升力。,平面壁鏡像法可以使不可壓流體平面有勢(shì)流動(dòng)的奇點(diǎn)分布解法得到進(jìn)一步的擴(kuò)展。前面我們討論的都是在無界域（整個(gè)流動(dòng)平面充滿流體）中放置的奇點(diǎn)解，不能直接用于固壁一側(cè)的半平面流體區(qū)域中放置奇點(diǎn)的情況，而借助于平面壁鏡像法就可以解決這個(gè)問題。,三. 平面壁鏡像法,不妨以上半平面流體區(qū)域放置孤立奇點(diǎn)為例，探討固壁 x 軸對(duì)流動(dòng)的影響