《數(shù)與數(shù)的發(fā)展》PPT課件.ppt

1、趣味數(shù)學(xué),主講人：李小春 手 機(jī)電子郵箱：lixiaochun_ Qq：14586701,湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院九教南105,第一章 數(shù)與數(shù)學(xué)的發(fā)展,第一節(jié) 數(shù)的發(fā)展 第二節(jié) 數(shù)學(xué)的發(fā)展,1.1 整數(shù)的誕生,公共汽車上，有一位年輕的媽媽抱著她的小寶寶坐在車窗邊，她正在教她的小寶寶數(shù)數(shù)呢。她伸出一個(gè)手指問(wèn)：“這是幾呀？”正在咿呀學(xué)語(yǔ)的小孩望了望媽媽，答道：“一”。媽媽伸出了兩個(gè)手指問(wèn)：“這是幾呀？”小孩想了想答道：“二”。媽媽又伸出三個(gè)手指，小孩猶豫了好一陣，回答：“三。”再伸四個(gè)手指時(shí)，小孩答不出來(lái)了。在這個(gè)小孩看來(lái)，那些手指實(shí)在太多了，他已經(jīng)數(shù)不清了。其實(shí)，能數(shù)到

2、三，對(duì)一個(gè)黃口孺子來(lái)說(shuō)，已經(jīng)很不簡(jiǎn)單了。,第一節(jié) 數(shù)的發(fā)展,要知道，學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)，那可是人類經(jīng)過(guò)成千上萬(wàn)年的奮斗才得到的結(jié)果。我們的祖先-類人猿，他們根本不識(shí)數(shù)，他們對(duì)事物只有“有”與“無(wú)”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。,結(jié)繩記事法 五千年前的埃及和美索不達(dá)米亞開(kāi)始采用此方法。埃及人是把數(shù)字寫(xiě)在一種紙草上，美索不達(dá)米亞的巴比倫人是把數(shù)字寫(xiě)在軟粘土上，他們都是用單劃表示個(gè)位數(shù)，用不同的記號(hào)表示十位數(shù)和更高位的數(shù)。,結(jié)繩記事,契 刻 文 字,又經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)的時(shí)間，原始人終于從一頭野豬，一只老虎，一把石斧，一個(gè)人，這些不同的具體事物中抽象出一個(gè)共同的數(shù)字-“1”。數(shù)“1”的出現(xiàn)對(duì)人類來(lái)說(shuō)是一次大的飛躍。,例如在一個(gè)馬來(lái)

3、人的部落里，如果你去問(wèn)一個(gè)老頭的年齡，他只會(huì)告訴你：“我8歲”。這是怎么回事呢？因?yàn)樗麄冞€不會(huì)數(shù)超過(guò)“8”的數(shù)。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，“8”就表示“很多”。有時(shí)，他們實(shí)在無(wú)法說(shuō)清自己的年齡，就只好指著門口的棕櫚樹(shù)告訴你：“我跟它一樣大?！?總之，人類由于生產(chǎn)、分配與交換的需要，逐步 得到了“數(shù)”，這些數(shù)排列起來(lái)，可得： 1，2，3，4，10，11，12， 這就是自然數(shù)列。,古漢語(yǔ)中數(shù)字的痕跡 “九霄” 指天的極高處 “九派” 泛指江河支流之多 這說(shuō)明，在一段時(shí)期內(nèi)，“九”曾用于表示“很多的意思。,可能由于古人覺(jué)得，打了一只野兔又吃掉，野兔已經(jīng)沒(méi)有了，“沒(méi)有”是不需要用數(shù)來(lái)表示的。所以數(shù)“0”出現(xiàn)得很遲。

4、換句話說(shuō)，零不是自然數(shù)。 后來(lái)由于實(shí)際需要又出現(xiàn)了負(fù)數(shù)。我國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。西漢（公元前二世紀(jì)）時(shí)期，我國(guó)就開(kāi)始使用負(fù)數(shù)。九章算術(shù)中已經(jīng)給出正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則。人們?cè)谟?jì)算時(shí)就用兩種顏色的算籌分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)，而用空位表示“0”，只是沒(méi)有專門給出0的符號(hào)?！?”這個(gè)符號(hào)，最早在公元五世紀(jì)由印度人阿爾耶婆哈答使用。 到這時(shí)候，“整數(shù)”才完整地出現(xiàn)了。,1.2.十進(jìn)制,手指與數(shù)學(xué)的關(guān)系 幾百萬(wàn)年前原始人捕殺的野獸抬到火堆邊點(diǎn)數(shù)。他們是怎么點(diǎn)數(shù)的呢？就用他們的“隨身計(jì)數(shù)器”吧。一個(gè)，二個(gè)，每個(gè)野獸對(duì)應(yīng)著一根手指。等到十個(gè)手指用完，怎么辦呢？先把數(shù)過(guò)的十個(gè)放成一堆，拿一根繩，在繩上打一個(gè)結(jié)，表示“手

5、指這么多野獸”（即十只野獸）。再?gòu)念^數(shù)起，又?jǐn)?shù)了十只野獸，堆成了第二堆，再在繩上打個(gè)結(jié)。這天，他們的收獲太豐盛了，一個(gè)結(jié)，二個(gè)結(jié)，很快就數(shù)到手指一樣多的結(jié)了。于是換第二根繩繼續(xù)數(shù)下去。假定第二根繩上打了3個(gè)結(jié)后，野獸只剩下6只。那么，這天他們一共獵獲了多少野獸呢？ 1根繩又3個(gè)結(jié)又6只，用今天的話來(lái)說(shuō)，就是,1根繩=10個(gè)結(jié)，1個(gè)結(jié)=10只。 所以1根繩3個(gè)結(jié)又6只=136只。,海德堡人狩獵復(fù)原圖,其它的進(jìn)位制 比如瑪雅人用的是二十進(jìn)制。我國(guó)古時(shí)候還有五進(jìn)制（算盤）而巴比侖人則用過(guò)六十進(jìn)制，現(xiàn)在的時(shí)間進(jìn)位，還有角度的進(jìn)位就用的六十進(jìn)制，換算起來(lái)就不太方便。英國(guó)人則用的是十二進(jìn)制（1英尺=12英

6、寸，l籮=12打，1打=12個(gè)）。 在我們的日常生活中還用到過(guò)什么別的進(jìn)制嗎？,干支記數(shù)法是一種特有的60進(jìn)制的記數(shù)方法 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,干支計(jì)數(shù)法,六十甲子,1.3 記數(shù)法,直到兩萬(wàn)五千年前，人們說(shuō)“用你的槍頭換我的鹿”的時(shí)候，還只能用一個(gè)指頭表示一只鹿，三個(gè)指頭表示三個(gè)槍頭。這種一個(gè)指頭表示一件東西、三個(gè)指頭表示三件東西的原始計(jì)數(shù)法，就是他們掌握的全部算術(shù)知識(shí)了。在那以后的幾千年里，他們一直把任何大于三的數(shù)量理解為“一群”，或者“一堆”。,五千到八千年前，生產(chǎn)力的發(fā)展導(dǎo)致國(guó)家雛形的產(chǎn)生，生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大

7、則刺激了人們對(duì)大數(shù)的需要。比如某個(gè)原始國(guó)家組織了一支部隊(duì)，國(guó)王陛下總不能老是說(shuō)：“我的這支戰(zhàn)無(wú)不勝的部隊(duì)共計(jì)有9名士兵！”于是，慢慢地就出現(xiàn)了“十”、“百”、“千”、“萬(wàn)”這些符號(hào)。在我國(guó)商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消滅敵人共計(jì)2656人。在商周的青銅器上也刻有一些大的數(shù)字。以后又出現(xiàn)了“億”、“兆”這樣的大數(shù)單位。 而在古羅馬，最大的記數(shù)單位只有“千”。他們用M表示一千?！叭А眲t寫(xiě)成“MMM”?！耙蝗f(wàn)”就得寫(xiě)成“MMMMMMMMMM”。真不敢想象，如果他們需要記一千萬(wàn)時(shí)怎么辦，難道要寫(xiě)上一萬(wàn)個(gè)M不成？,在古印度，使用了一系列大數(shù)單位后，最后的

8、最大的數(shù)的單位叫做“恒河沙”。是呀，恒河中的沙子你數(shù)得清嗎！ 然而，古希臘有一位偉大的學(xué)者，他卻數(shù)清了“充滿宇宙的沙子數(shù)”，那就是阿基米德。他寫(xiě)了一篇論文，叫做計(jì)沙法，在這篇文章中，他提出的記數(shù)方法，同現(xiàn)代數(shù)學(xué)中表示大數(shù)的方法很類似。他從古希臘的最大數(shù)字單位“萬(wàn)”開(kāi)始，引進(jìn)新數(shù)“萬(wàn)萬(wàn)（億）”作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位），等等，每階單位都是它前一階單位的1億倍。,阿基米德的同時(shí)代人、天文學(xué)家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距離10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），這個(gè)距離當(dāng)然比現(xiàn)在我們所認(rèn)識(shí)的宇宙要小得多，這才僅僅是太陽(yáng)到土星的距離

9、。阿基米德假定這個(gè)“宇宙”里充滿了沙子。然后開(kāi)始計(jì)算這些沙子的數(shù)目。最后他寫(xiě)道： “顯然，在阿里斯塔克斯計(jì)算出的天球里所能裝入的沙子的粒數(shù)，不會(huì)超過(guò)一千萬(wàn)個(gè)第八階單位?！比绻堰@個(gè)沙子的數(shù)目寫(xiě)出來(lái)，就是 或者就得在1后邊寫(xiě)上63個(gè)0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000。這個(gè)數(shù)，我們現(xiàn)在可以把它寫(xiě)得簡(jiǎn)單一些：即寫(xiě)成,而這種簡(jiǎn)單的寫(xiě)法，據(jù)說(shuō)是印度某個(gè)不知名的數(shù)學(xué)家發(fā)明的。,現(xiàn)在，我們還可更進(jìn)一步把這種方法推廣到記任何數(shù)，例如：32，000，000就可記為,1.4 皮亞諾

10、公理,一位聰明天真的小朋友問(wèn)他的媽媽：“為什么2加2等于4？”媽媽答道：“連這么簡(jiǎn)單的算術(shù)都不懂！”于是這位母親伸出左手的兩個(gè)指頭，又伸出右手的兩個(gè)指頭，左右的兩個(gè)指頭往一起一并，說(shuō)：“這就叫2加2，你數(shù)一數(shù)，看是不是4？” 孩子勉強(qiáng)點(diǎn)頭，接著又問(wèn)：“可是4是什么玩意兒呢？”媽媽語(yǔ)言無(wú)語(yǔ)。是呀，如果說(shuō)母親說(shuō)這些指頭的數(shù)目就叫做4，孩子再追問(wèn)什么叫做999999999，那可就不好用指頭之類的東西來(lái)比劃著解釋了！,為什么2+2=4,4+4=8，等等，確實(shí)是一個(gè)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 原始人已有自然數(shù)的原始概念。他們用小石頭來(lái)記錄捕捉的獵物的個(gè)數(shù)（或用“結(jié)繩記事”法）公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家引入零的符號(hào)“0

11、”，它是自然數(shù)的“排頭”。到了19世紀(jì)，皮亞諾（G.Peano，18581932）提出了五條算術(shù)公理，才從理論上徹底解決了什么是自然數(shù)，為什么224等數(shù)學(xué)上的這些幾本問(wèn)題，,五條公理：,公理1 0是自然數(shù)。 公理2 任何自然數(shù)的后繼是自然數(shù)。 公理3 0不是任何數(shù)的后繼。 公理4 不同的自然數(shù)后繼不同。 公理5 對(duì)于某一性質(zhì)，若0有此性質(zhì)，而且若某自然數(shù)有此性質(zhì)時(shí)，它后繼也有此性質(zhì)，則一切自然數(shù)都有此性質(zhì)。,第五公理談的是數(shù)學(xué)歸納法。一個(gè)自然數(shù)生出它的后繼的過(guò)程是加法，記成011，112，213，314，n1（n1）等等。,由皮式的公理可以明確無(wú)誤地回答什么是自然數(shù)的問(wèn)題，例如4是什么？ 答：

12、4是3的后繼，或曰4是3之子，3呢？3是2的后繼，2呢？2是1的后繼，1呢？1是0的后繼，0呢？0是祖宗，它不是誰(shuí)的后繼，是自然數(shù)的發(fā)源點(diǎn)。 224證明如下： 因?yàn)?12，所以22（11）（11）， 由結(jié)合律得 22（11）（11）（111）1， 又因?yàn)?11（11）1213 所以2231，而314，故知224是正確的。 證畢。,有了加法的概念，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是幾個(gè)數(shù)連加的“簡(jiǎn)寫(xiě)”，除法是乘法的逆運(yùn)算?？梢?jiàn)，從皮式公理出發(fā)已經(jīng)把的概念弄的水落石出，不再是那種原始的直觀感覺(jué)（例如結(jié)繩記事）或死記的九九表了。,查閱現(xiàn)代漢語(yǔ)上的加法詞目，詞典稱：“加法，數(shù)學(xué)中的一種運(yùn)算方法，兩個(gè)或兩個(gè)以上

13、的數(shù)合成一個(gè)數(shù)的方法。”這種解釋實(shí)在科學(xué)，例如它只說(shuō)“合成一個(gè)數(shù)”，并不說(shuō)這個(gè)數(shù)（我們稱其為和）是多少。事實(shí)上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)于11的和未必總是算出2來(lái)的。遙想原始人只是“有”與“無(wú)”兩個(gè)概念，就是現(xiàn)代，有時(shí)也只需要考慮有與無(wú)，是與否，而不必細(xì)說(shuō)有多少，例如我們要寫(xiě)字，關(guān)心的是有筆還是沒(méi)有筆，至于有筆時(shí)有幾枝，那都是一回事，如果這個(gè)時(shí)候規(guī)定0代表無(wú)（或否），1代表有（或是），則應(yīng)有 000 011 101 111 這個(gè)111的算式有點(diǎn)不習(xí)慣，但對(duì)于此處的實(shí)際背景，如此定義加法是再合適不過(guò)了。這種11不等于2，而等于1的加法稱為“邏輯和”，111。于是,播放電視也是如此,1.5 無(wú)理數(shù),公元前5世紀(jì)

14、， 圖3.5 黃金比的幾何作圖法(一) 畢德哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形 的三邊不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示的事實(shí),有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式,任何有理數(shù)都具有一個(gè)有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式，反之，任何有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)有理數(shù)。而無(wú)理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式是無(wú)限不循環(huán)的；反之，任何無(wú)限不循環(huán)小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)無(wú)理數(shù)。 重要的性質(zhì)：在任何兩個(gè)不同的正無(wú)理數(shù)之間都存在一個(gè)有理數(shù)。事實(shí)上，如果a和b（oab）表示兩個(gè)無(wú)理數(shù)，且它們的小數(shù)表達(dá)式為 設(shè)i是使得 （n=0，1，2，）的第一個(gè)n值。于是， 就是a和b之間的一個(gè)有理數(shù)。,1.6 復(fù)數(shù),虛數(shù)是負(fù)數(shù)開(kāi)平方的產(chǎn)物，它是在代數(shù)方程求解過(guò)程中逐

15、步為人們所發(fā)現(xiàn)的 公元三世紀(jì)的丟番圖只接受正有理根而忽略所有其它根，當(dāng)方程兩個(gè)負(fù)根或虛根時(shí)，他就稱它是不可解的。 十二世紀(jì)印度的婆什伽羅指出：“負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)不可能是平方數(shù)” 卡當(dāng)（1545）解方程得到根和。這使卡當(dāng)迷惑不解，并稱負(fù)數(shù)的平方根是“虛構(gòu)的”、“超詭辯的力量”。 17世紀(jì)，盡管用公式法解方程時(shí)經(jīng)常產(chǎn)生虛數(shù)，但是對(duì)它的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)仍沒(méi)有認(rèn)識(shí)。萊布尼茲說(shuō)：“那個(gè)我們稱之為虛的1的平方根，是圣靈在分析奇觀中的超凡顯示，是介于存在與不存在之間的兩棲物，是理想世界的瑞兆。”,1.7大數(shù),有這么一個(gè)故事，說(shuō)的是兩個(gè)匈牙利貴族決定做一次數(shù)數(shù)游戲誰(shuí)說(shuō)出的數(shù)字最大誰(shuí)贏。 “好，”一個(gè)貴族說(shuō)，

16、“你先說(shuō)吧!” 另一個(gè)絞盡腦汁想了好幾分鐘，最后說(shuō)出了他所想到的最大數(shù)字：“3”。 現(xiàn)在輪到第一個(gè)動(dòng)腦筋了?？嗨稼は肓艘豢嚏娨院?，他表示棄權(quán)說(shuō)：“你贏啦!” 現(xiàn)在，我們都習(xí)慣地認(rèn)為，我們想把某個(gè)數(shù)字寫(xiě)成多大，就能寫(xiě)得多大戰(zhàn)爭(zhēng)經(jīng)費(fèi)以分為單位來(lái)表示啦，天體間的距離用英寸來(lái)表示啦，等等只要在某個(gè)數(shù)字的后面接上一串零就是了。你可以一直這樣寫(xiě)下去，直到手腕發(fā)酸為止。這樣，盡管目前已知的宇宙中所有原子的數(shù)目已經(jīng)很大，等于300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00

17、0 000，上面這個(gè)數(shù)可以改寫(xiě)得短一些，即寫(xiě)成,在古代，那些很大的數(shù)目字，如天上的星星，海里面游魚(yú)的條數(shù)，沙灘上的沙子的粒數(shù)等等，都是“不計(jì)其數(shù)”，就像“5”這個(gè)數(shù)字對(duì)原始部落來(lái)說(shuō)也是“不計(jì)其數(shù)”，只能說(shuō)成“很多”。 曾經(jīng)有個(gè)人在大數(shù)目上吃了虧，那就是印度的舍罕王。國(guó)王獎(jiǎng)賞象棋（國(guó)際象棋）的發(fā)明人和進(jìn)貢者，宰相西薩.班.達(dá)依爾。這個(gè)大臣看起來(lái)胃口不到，在每個(gè)象棋的格子上以兩倍遞增的麥子數(shù)目鋪滿象棋就可以了。國(guó)王還很欣賞這位大臣認(rèn)為他要的不多。結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)麥子根本夠。,根據(jù)宰相的要求，一共要需要有 18 446 744 073 709 551 615顆麥粒!這位 宰相的要求竟是全世界在2000年內(nèi)

18、所生產(chǎn)的全部小麥!,另一個(gè)由大數(shù)日字當(dāng)主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的問(wèn)題有關(guān)的。偏愛(ài)數(shù)學(xué)的歷史學(xué)家鮑爾(Ball)是這樣講述這段故事的： 在世界中心貝拿勒斯一的圣廟里，安放著一個(gè)黃銅板，板上插著三根寶石針。，每根針高約1腕尺(1腕尺大約合20英寸)，像韭菜葉那樣粗細(xì)。梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中的一根針上從下到上放下了由大到小的64片金片。這就是所謂梵塔。不論白天黑夜，都有一個(gè)值班的僧侶按照梵天卜渝的法則，把這些金片在三根針上移來(lái)移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪一根針上，小片永遠(yuǎn)在大片的上面。當(dāng)所有64片都從梵天創(chuàng)造世界時(shí)所放的那根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中

19、消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸十盡。,移動(dòng)金片的規(guī)律是：不管把哪一片移到另一根上移動(dòng)的次數(shù)總要比移動(dòng)上面一片增加一倍。第一片只需一次 第二片就按幾何級(jí)數(shù)加倍。這樣，當(dāng)把第64片電移走后：總的移動(dòng)次數(shù)便和西薩班達(dá)依爾所要求的麥粒數(shù)一樣多，即18 446 744 073 709 551 615次,那么移動(dòng)全部金針需要多少時(shí)間呢?一年有31 558 000秒。假如僧侶們每一秒鐘移動(dòng)一次，日夜不停，節(jié)假日照常干，也需要將近5800億年才能完成。 把這個(gè)純屬傳說(shuō)的寓言和按現(xiàn)代科學(xué)得出的推測(cè)對(duì)比一下倒是很有意思的。按照現(xiàn)代的宇宙進(jìn)化論，恒星、太陽(yáng)、行星(包括地球)足在大約30億年前南不定形物質(zhì)形成的。我們

20、還知道，給恒星，特別是給太陽(yáng)提供能量的“原子燃料”還能維持100億150億年(見(jiàn)“創(chuàng)世的年代”一章)。因此，我們太陽(yáng)系的整個(gè)壽命無(wú)疑要短于200億年，而不像這個(gè)印度傳說(shuō)中所宣揚(yáng)的那樣長(zhǎng)!不過(guò)，傳說(shuō)畢竟只是傳說(shuō)啊!,印刷行數(shù)問(wèn)題,假設(shè)有一臺(tái)印刷機(jī)器可以連續(xù)印出一行行文字，并且每一行都能自動(dòng)換一個(gè)字母或其他印刷符號(hào)，從而變成與其他行不同的字母組合。這樣一架機(jī)器包括一組網(wǎng)盤，盤與盤之間像汽車?yán)锍瘫砟菢友b配，盤緣刻有全部寧母和符號(hào)。這樣，每一片輪盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周，就會(huì)帶動(dòng)下一個(gè)輪盤轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)符號(hào)。紙張通過(guò)滾筒自動(dòng)送人盤下。這樣的機(jī)器制造起來(lái)沒(méi)有太大的困難，圖4是這種機(jī)器的示意圖。,開(kāi)始印刷出的都是沒(méi)有什么意思

21、，如：,也能找出有意思但又是胡說(shuō)八道的句子：,horse has six legs and,不過(guò)，只要找下去，可以找到包括莎士比亞的每一行著作，甚至世界上所有的句子。 既然如此，還要出版社干什么呢？直接裝這個(gè)機(jī)器就是了，可為什么沒(méi)有人這么干呢？,英語(yǔ)中有26個(gè)字母、10個(gè)數(shù)碼(0，l，2，9)、還有14個(gè)常用符號(hào) (空白、句號(hào)、逗號(hào)、冒號(hào)、分號(hào)、問(wèn)號(hào)、驚嘆號(hào)、破折號(hào)、連字符、引號(hào)、省略號(hào)、小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào))其50個(gè)字符。再假設(shè)這臺(tái)機(jī)器有65個(gè)輪盤，以對(duì)應(yīng)每一印刷行的平均字?jǐn)?shù)。印出的每一行中，排頭的那個(gè)字符可以是50個(gè)字符當(dāng)中的任何一個(gè)，因此有50種可能性，對(duì)這50種可能性當(dāng)中的每一種，第

22、二個(gè)字符又有50種可能性，因此共有5050=2500種，那么整行的可能性,，或者,即,這個(gè)數(shù)字有多大呢？假定前面提到過(guò)宇宙的每個(gè)原子都變成一臺(tái)獨(dú)立的印刷機(jī)，這樣有 部機(jī)器同時(shí)工作。再假定所有機(jī)器從地球誕生以來(lái)就一直工作，即工作了30億年或者是 秒，再假定這些機(jī)器工作的頻率是以原子的振動(dòng)進(jìn)行工作，那一秒可印出 行,那么，這些機(jī)器印出的總行數(shù)大約是,這只不過(guò)是上述可能性的三千分之一而已。,無(wú)窮大的計(jì)數(shù),上面談了很多很大的數(shù)，雖然大的驚人，但是只要有足夠的時(shí)間，人們還是寫(xiě)的出來(lái)的。 然而，有些無(wú)窮大的數(shù)，它比我們所能寫(xiě)出的無(wú)論多長(zhǎng)的數(shù)都還要大，如“整數(shù)的個(gè)數(shù)”和“一直線所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，這些都是無(wú)

23、窮大的。但這些數(shù)除了是無(wú)窮大外，我們還能說(shuō)什么呢？我們可以比較一下上面那兩個(gè)無(wú)窮大的數(shù)嗎？,“所有整數(shù)的個(gè)數(shù)和一條線上所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)，究竟哪個(gè)大些?”這個(gè)問(wèn)題有意義嗎?乍一看，提這個(gè)問(wèn)題可真是頭腦發(fā)昏，但是，著名數(shù)學(xué)家康托爾(Georg Cantor)首先思考了這個(gè)問(wèn)題。因此，他確實(shí)可被稱為“無(wú)窮大數(shù)算術(shù)”的奠基人。,無(wú)窮大的數(shù)進(jìn)行大小的比較時(shí)，會(huì)有這個(gè)問(wèn)題：這些數(shù)不能讀出來(lái)，也無(wú)法寫(xiě)出來(lái)，怎么比較呢？這就像原始人面對(duì)一大堆野獸究竟是兔子多還是野雞多呢？,原始人的數(shù)數(shù)不超過(guò)3，那他們?cè)趺幢容^兔子多還是野雞的多呢？他們采用的方法是一一配對(duì)法則。 康托爾所提出的比較兩個(gè)無(wú)窮大數(shù)的方法正好與此相同

24、：我們可以給兩組無(wú)窮大數(shù)列中的各個(gè)數(shù)一一配對(duì)。如果最后這兩組都一個(gè)不剩，這兩組無(wú)窮大就是相等的；如果有一組還有些數(shù)沒(méi)有配出去，這一組就比另一組大些，或者說(shuō)強(qiáng)些。 顯然這個(gè)方法很合理，但是面對(duì)實(shí)踐的時(shí)候，會(huì)大吃一驚。如,所有的偶數(shù)和奇數(shù)可一一對(duì)應(yīng)。,所有的整數(shù)和偶數(shù)可一一對(duì)應(yīng),無(wú)窮大的世界里，部分可能等于全部,希爾伯特對(duì)無(wú)窮大的敘述：我們?cè)O(shè)想有一家旅店，內(nèi)設(shè)有限個(gè)房間，而所有的房間都已客滿。這時(shí)來(lái)了位新客，想訂個(gè)房間。旅店主說(shuō)：“對(duì)不起，所有的房間都住滿了?！爆F(xiàn)在再設(shè)想另一家旅店，內(nèi)設(shè)無(wú)限多個(gè)房問(wèn)，所有房間也都客滿了。這時(shí)也有一位新客來(lái)臨，想訂個(gè)房間。 “不成問(wèn)題!”旅店主說(shuō)。接著，他就把一號(hào)房

25、間里的旅客移至二號(hào)房間，二號(hào)房間的旅客移到三號(hào)房間，三號(hào)房間的旅客移到四號(hào)房問(wèn)，等等，這一來(lái)，新客就住進(jìn)了巳被騰空的一號(hào)房間。 我們?cè)僭O(shè)想一家有無(wú)限多個(gè)房間的旅店，各個(gè)房間也都住滿了。這時(shí)，又來(lái)了無(wú)窮多位要求訂房間的客人， “好的，先生們，請(qǐng)等一會(huì)兒。”旅店主說(shuō)， 她把一號(hào)房間的旅客移到二號(hào)房間，二號(hào)房間的旅客移到四號(hào)房間，三號(hào)房間的旅客移到六號(hào)房間，如此，如此。 現(xiàn)在，所有的單號(hào)房間都騰出來(lái)了：新來(lái)的無(wú)窮多位客人可以住進(jìn)去了,定義：能與自然數(shù)集 N 構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合， 就稱為可列集或可數(shù)集。記為 （讀阿萊夫） 。,所有的普通分?jǐn)?shù)的數(shù)目和所有的整數(shù)相同,那么是不是所有的無(wú)窮大數(shù)都是相等的

26、呢？,結(jié)論： 線段上的點(diǎn)比整數(shù)的個(gè)數(shù)要多的多！也就是說(shuō)線上的點(diǎn)數(shù)所構(gòu)成的無(wú)窮大數(shù)大于（或強(qiáng)于）所有整數(shù)或分?jǐn)?shù)所構(gòu)成的無(wú)窮大數(shù)。,現(xiàn)考慮一寸長(zhǎng)的線段與整數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么線段上的每一個(gè)點(diǎn)用這一點(diǎn)到這條線上一端的距離來(lái)表示。如 0.7350624780056 或者 0.38250375632 ,上面寫(xiě)的這些小數(shù)和,這類分?jǐn)?shù)有什么不同呢？,規(guī)則：每個(gè)普通分?jǐn)?shù)可以化成無(wú)窮循環(huán)小數(shù)。如,已證所有循環(huán)小數(shù)的數(shù)目必定與所有整數(shù)的數(shù)目相等,因?yàn)橐粭l線段上的點(diǎn)不可能都有循環(huán)小數(shù)表示，絕大多數(shù)點(diǎn)都是有不循環(huán)的小數(shù)表示的，所以，一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不成立，現(xiàn)反證如下,結(jié)論 無(wú)論多長(zhǎng)的線段的點(diǎn)數(shù)是一樣多的,簡(jiǎn)證 右圖，A

27、B和AC為不同長(zhǎng)度的兩條線段，現(xiàn)在要比較它們的點(diǎn)數(shù)。過(guò)AB的每一個(gè)點(diǎn)作BC的平行線，都會(huì)與AC相交，這樣就形成了一組點(diǎn)。如D與D，E與E等，對(duì)AB上的任意一點(diǎn)，AC上都有一個(gè)點(diǎn)和它相對(duì)應(yīng)，反之亦然。這樣，就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系?？梢?jiàn)，按照我們的規(guī)則，這兩個(gè)無(wú)窮大數(shù)是相等的。,重要結(jié)論 平面上所有的點(diǎn)數(shù)和線段上所有的點(diǎn)數(shù)相等 立方體內(nèi)所有的點(diǎn)數(shù)和平面上或線段上的所有點(diǎn)數(shù)相等。,假定線段上某點(diǎn)的位置是O75120386。我們可以把這個(gè)數(shù)按奇分位和偶分位分開(kāi)，組成兩個(gè)不同的小數(shù)： 0.7108 和0.5236 以這兩個(gè)數(shù)分別量度正方形的水平方向和垂直方向的距離，便得出一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就叫做原來(lái)線段上那

28、個(gè)點(diǎn)的“對(duì)偶點(diǎn)”。反之亦然,無(wú)窮大數(shù)的頭三級(jí),最大的質(zhì)數(shù) 定義：不能用兩個(gè)或兩個(gè)以上較小整數(shù)的乘積來(lái)表示的數(shù)。如，1，2，3，5等等。 歐幾里德問(wèn)題最大的質(zhì)數(shù) 不存在最大的質(zhì)數(shù) 反證如下： 設(shè)N為最大的質(zhì)數(shù)，則 為一個(gè)數(shù)，但這個(gè)數(shù)是不能被到N為止任何質(zhì)數(shù)整除的，因此這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，矛盾。,1.8工藝品,（1） 163 63 12163 7623 1232163 776223 123432163 77762223 12345432163 7777622223 1234565432163 777776222223 123456765432163 77777762222223 123456787654

29、32163 7777777622222223 1234567898765432163 777777776222222223,例如第五行的7777622223是這樣得到的： 7777（1000001）777770000077777 7777622223 777779999979（1111111111） 12345432163,（2） （111）37111，（555）37555， （222）37222，（666）37666， （333）37333，（777）37777， （444）37444，（888）37888， （999）37999,道理111373,（3） 715873111111，3515

30、873555555 1415873222222，4215873666666 2115873333333， 4915873777777 2815873444444， 5615873888888 6315873999999,111111715873,（121）1212222， （12321）12321333333， （1234321）123432144444444， （123454321）1234543215555555555， （12345654321）1234564321 666666666666， （12345676543211234567432177777777777777， （12345

31、6787654321）1234567843218888888888888888 （12345678987654321）123456784321999999999999999999，,1+2+3+(n-1)+n+(n1)（n2）321=,=,1211111， 12321111111， 123432111111111， 1234543211111111111， 12345654321111111111111， 123456765432111111111111111， 1234567876543211111111111111111， 123456789876543211111111111111111

32、11,111 ）111 1111 1111 ）1111 12（n1）n（n1）21 1,三大類科學(xué)：自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、認(rèn)識(shí)和思維的科學(xué)。 自然科學(xué)：數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科。,第二節(jié) 數(shù)學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)是自科之父，數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)的本質(zhì)：研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。或簡(jiǎn)單講，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。,2.1 初等數(shù)學(xué)時(shí)期 初等數(shù)學(xué)時(shí)期是指從原始人時(shí)代到17世紀(jì)中葉，這期間數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是常數(shù)、常量和不變的圖形。形成幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等獨(dú)立學(xué)科。大致相當(dāng)于現(xiàn)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課的主要內(nèi)容。 主要的形成地：公元前3000年 左右，黃河

33、流域的中國(guó)；尼羅河下游的埃及；幼發(fā)拉底河與底格里斯河的巴比倫國(guó)；印度河與恒河的印度。,主要成果 1. 巴比倫 數(shù)學(xué)泥版表明：（1）公元前2000年左右即開(kāi)始使用60進(jìn)位制的記數(shù)法進(jìn)行計(jì)算，并出現(xiàn)了60進(jìn)位的分?jǐn)?shù)，用與整數(shù)同樣的法則進(jìn)行計(jì)算；發(fā)明倒數(shù)、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數(shù)表并借助于倒數(shù)表，除法常轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算。 （2）公元前300年左右，已得到60進(jìn)位的達(dá)17位的大數(shù)；具有解一次、二次(個(gè)別甚至有三次、四次)數(shù)字方程的經(jīng)驗(yàn)公式；會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單直邊形的面積和簡(jiǎn)單立體的體積，并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比倫人對(duì)于天文、歷法很有研究，因而算術(shù)和代數(shù)比較發(fā)達(dá)。 特征：巴比倫數(shù)學(xué)具有

34、算術(shù)和代數(shù)的特征，幾何只是表達(dá)代數(shù)問(wèn)題的一種方法。這時(shí)還沒(méi)有產(chǎn)生數(shù)學(xué)的理論。,2 古埃及 根據(jù)兩卷紙草書(shū)（一種植物）。公元前1850年，包含25個(gè)問(wèn)題(叫“莫斯科紙草文書(shū)”，現(xiàn)存莫斯科)；另一卷約寫(xiě)于公元前1650年，包含85個(gè)問(wèn)題(叫“萊因德紙草文書(shū)”，是英國(guó)人萊因德于1858年發(fā)現(xiàn)的)。 （1）采用10進(jìn)位制的記數(shù)法。正整數(shù)運(yùn)算基于加法，乘法是通過(guò)屢次相加的方法運(yùn)算的。除了幾個(gè)特殊分?jǐn)?shù)之外，所有分?jǐn)?shù)均極化為分子是一的“單位分?jǐn)?shù)”之和，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算獨(dú)特而又復(fù)雜。利用了三邊比為3：4：5的三角形測(cè)量直角。 （2）測(cè)量土地。幾何問(wèn)題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉(cāng)的容積和有關(guān)金字塔的簡(jiǎn)易計(jì)算

35、法。只強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，并沒(méi)有出現(xiàn)對(duì)公式、定理、證明加以理論推導(dǎo)的傾向。埃及數(shù)學(xué)的一個(gè)主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發(fā)展。,3 古希臘 古典時(shí)期 （公元前6世紀(jì)公元前4世紀(jì) ） 代表人物：泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯學(xué) 派。 主要成就：芝諾悖論； 幾何“三大問(wèn)題”；柏拉圖強(qiáng)調(diào)幾何對(duì)培養(yǎng)邏輯思維能力的重要作用；亞里士多德建立了形式邏輯；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。 附注：1.化圓為方求作一正方形使其面積等於一已知圓；2.三等分任意角；3.倍立方求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。,亞歷山大里亞時(shí)期 （公元前4世紀(jì)末至公元1世紀(jì) ） 三大成就：歐幾里得的幾何學(xué)；阿基米德的窮竭

36、法和阿波羅尼的圓錐曲線論。 標(biāo)志著當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的主體部分算術(shù)、代數(shù)、幾何基本上已經(jīng)建立起來(lái)了。 公元前47年，羅馬人征服了希臘并焚毀了亞歷山大里亞圖書(shū)館，公元640年，回教徒征服埃及，殘留的書(shū)籍被阿拉伯征服者歐默下令焚毀。由于外族入侵和古希臘后期數(shù)學(xué)本身缺少活力，希臘數(shù)學(xué)衰落了。 5世紀(jì)到15世紀(jì)，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)移到了東方的印度、中亞細(xì)亞、阿拉伯國(guó)家和中國(guó)。 一千多年里由于天文學(xué)的需要使得計(jì)算有很大的發(fā)展。,4 印度 （公元五至十二世紀(jì)的全盛時(shí)期） 主要成就：499年阿耶波多著的天文書(shū)圣使策的第二章，已開(kāi)始把數(shù)學(xué)作為一個(gè)學(xué)科體系來(lái)討論。628年婆羅門這多(梵藏)著梵圖滿手冊(cè)，講解對(duì)模式化問(wèn)題的解

37、法，由基本演算和實(shí)用算法組成；講解正負(fù)數(shù)、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等組成。已經(jīng)有了相當(dāng)于未知數(shù)符號(hào)的概念，能使用文字進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。,5 阿拉伯 穆罕默德統(tǒng)一了整個(gè)民族，并在他死(632年)后不到半個(gè)世紀(jì)內(nèi)征服了從印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后達(dá)到頂點(diǎn)，在1100年到1300年間，東部阿拉伯世界先被基督教十字軍打擊削弱，后來(lái)又遭到了蒙古人的蹂躪。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服，阿拉伯文明被推毀殆盡。 繁榮時(shí)期(公元8至15世紀(jì)) 三個(gè)特點(diǎn)：實(shí)踐性；與天文學(xué)有密切關(guān)系；對(duì)古典著作做大量的注釋。翻譯歐幾里得、阿基米

38、得等人的希臘數(shù)學(xué)著作?；ɡ幽Ｖ拇鷶?shù)學(xué)成為阿拉伯代數(shù)學(xué)的范例。1200年之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)入衰退時(shí)期。初期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在12世紀(jì)被譯為拉丁文，通過(guò)達(dá)芬奇等傳播到西歐，使西歐人重新了解到希臘數(shù)學(xué)。,6 西歐 中世紀(jì) （5世紀(jì)到14世紀(jì) ）”黑暗時(shí)代 “ 文藝復(fù)習(xí)（15世紀(jì)開(kāi)始） 主要成就：最壯觀的數(shù)學(xué)成就是塔塔利亞、卡爾達(dá)諾、拜別利等發(fā)現(xiàn)三次和四次方程的代數(shù)解法，接受了負(fù)數(shù)并使用了虛數(shù)。16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家是韋達(dá)，他的分析方法入門改進(jìn)了符號(hào)，使代數(shù)學(xué)大為改觀；斯蒂文創(chuàng)設(shè)了小數(shù)；雷提庫(kù)斯是把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊與邊之比的第一個(gè)人，他編制三角函數(shù)表。 “”、“”、“”等符號(hào)開(kāi)始出現(xiàn)。 1

39、614年，耐普爾首創(chuàng)了對(duì)數(shù)，1624年布里格斯引入了相當(dāng)于現(xiàn)在的常用對(duì)數(shù)，,2.2 變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代）。以笛卡兒的解析幾何的建立為起點(diǎn)(1637年)，接著是微積分的興起。 17世紀(jì) 主要內(nèi)容：數(shù)量的變化及幾何變換。 主要成果：解析幾何、微積分、高等代數(shù)等學(xué)科，構(gòu)成了現(xiàn)代大學(xué)數(shù)學(xué)課程(非數(shù)學(xué)專業(yè))的主要內(nèi)容。 三件大事：伽里略實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)； 笛卡兒的重要著作方法談及其附錄幾何學(xué)于1637年發(fā)表 ；微積分學(xué)的建立 。,18世紀(jì) 主要代表：有伯努利家族、隸莫弗爾、泰勒、麥克勞林、歐拉、克雷羅、達(dá)朗貝爾、蘭伯特、拉格朗日和蒙日等 。 18世紀(jì)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科，如三角學(xué)、

40、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)、數(shù)論、方程論、概率論、微分方程和分析力學(xué)得到快速發(fā)展。同時(shí)還開(kāi)創(chuàng)了若干新的領(lǐng)域，如保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)科學(xué)、高等函數(shù)(指微分方程所定義的函數(shù))、偏微分方程、微分幾何等。,19世紀(jì) 偉大成就：柯西于1821年在分析教程一書(shū)中，發(fā)展了可接受的極限理論 ，它就是把微積分的理論基礎(chǔ)牢固地建立在極限的概念上；高斯的算術(shù)研究(1801年，數(shù)論) 其它成就：蒙日的分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用(1809年，微分幾何)；拉普拉斯的分析概率論(1812年) ；彭賽萊的論圖形的射影性質(zhì)(1822年)；斯坦納的幾何形的相互依賴性的系統(tǒng)發(fā)展(1832年)等。,3 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代至今 ） 主要研究：最一

41、般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)和量?jī)H僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的主體部分。它們是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程，非數(shù)學(xué)專業(yè)也要具備其中某些知識(shí)。 重要發(fā)現(xiàn)：羅巴契夫斯基和里耶 提出的非歐幾何與哈密頓的乘法交換律不成立的代數(shù)四元數(shù)代數(shù) （不可交換代數(shù)）,1854年，黎曼推廣了空間的概念，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域黎曼幾何學(xué)。在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)四元數(shù)代數(shù)。19世紀(jì)2030年代，阿貝爾和伽羅華開(kāi)創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域

42、、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。 上述兩大事件和它們引起的發(fā)展，被稱為幾何學(xué)的解放和代數(shù)學(xué)的解放。 19世紀(jì)還發(fā)生了第三個(gè)有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)事件：分析的算術(shù)化。,19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，他們證明了實(shí)數(shù)系(由此導(dǎo)出多種數(shù)學(xué))能從確立自然數(shù)系的公設(shè)集中導(dǎo)出。20世紀(jì)初期，證明了自然數(shù)可用集合論概念來(lái)定義，因而各種數(shù)學(xué)能以集合論為基礎(chǔ)來(lái)講述。 20世紀(jì)的第二個(gè)1/4世紀(jì)，拓?fù)鋵W(xué)得到了推廣。拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對(duì)于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。科學(xué)家們認(rèn)識(shí)到：任何事物的集合，不管是點(diǎn)的集合、數(shù)的集合、代數(shù)實(shí)體的集合、函數(shù)的集合或非數(shù)學(xué)對(duì)象的集合，都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g。拓?fù)鋵W(xué)的概念

43、和理論，已經(jīng)成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。,20世紀(jì)4050年代，世界科學(xué)史上發(fā)生了三件驚天動(dòng)地的大事，即原子能的利用、電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明和空間技術(shù)的興起。數(shù)學(xué)幾乎滲透到所有的科學(xué)部門中去，從而形成了許多邊緣數(shù)學(xué)學(xué)科，例如生物數(shù)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)理生物學(xué)、數(shù)理語(yǔ)言學(xué)等等。20世紀(jì)40年代以后，涌現(xiàn)出了大量新的應(yīng)用數(shù)學(xué)科目，例如對(duì)策論、規(guī)劃論、排隊(duì)論、最優(yōu)化方法、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論、系統(tǒng)分析、可靠性理論等。,60年代以來(lái)，還出現(xiàn)了如非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論等新興的數(shù)學(xué)分支。此外，近幾十年來(lái)經(jīng)典數(shù)學(xué)也獲得了巨大進(jìn)展，如概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、解析數(shù)論、微分幾何、代數(shù)幾何、微分方程、因數(shù)論、泛

44、函分析、數(shù)理邏輯等等。 以上簡(jiǎn)要地介紹了數(shù)學(xué)在古代、近代、現(xiàn)代三個(gè)大的發(fā)展時(shí)期的情況。如果把數(shù)學(xué)研究比喻為研究“飛”，那么第一個(gè)時(shí)期主要研究飛鳥(niǎo)的幾張相片(靜止、常量)；第二個(gè)時(shí)期主要研究飛鳥(niǎo)的幾部電影(運(yùn)動(dòng)、變量)；第三個(gè)時(shí)期主要研究飛鳥(niǎo)、飛機(jī)、飛船等等的所具有的一般性質(zhì)(抽象、集合)。,從幾何上看發(fā)展過(guò)程：歐氏幾何學(xué)、解析幾何學(xué)和非歐幾何學(xué)就；而歐幾里得、笛卡兒和羅巴契夫斯基更是可以作為各時(shí)期的代表人物。 數(shù)學(xué)分支：算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、