精選精析數(shù)學例題 啟迪拓展學生思維

1、精選精析數(shù)學例題 啟迪拓展學生思維淺談中學數(shù)學例題教學的功能與意義【摘要】例題教學是數(shù)學教學的重要組成部分。重視例題教學，精選精析數(shù)學例題，特別是對例題的各種功能的開發(fā)，不僅能加深學生對基礎知識的理解和掌握，還能開發(fā)學生的智力，發(fā)散學生的定性思維，形成邏輯上的嚴密性，全面培養(yǎng)和提高學生能力，真正起到啟迪、拓展學生思維的重要作用。數(shù)學教師鉆研例題的教學，不僅是一個教師最重要的基本功，也是全面提高教學質(zhì)量的必要保證。在教學過程中，不僅要深刻理解例題的目的性及其地位，還要能研究好每一例題的解法，以及會旁及哪些相關(guān)習題及相關(guān)應用，同時，還要發(fā)揮例題所能體現(xiàn)的數(shù)學規(guī)律及數(shù)學思想上的教育作用?！娟P(guān)鍵詞】

2、例題教學 示范引領(lǐng) 拓展思維 發(fā)展智力 提高能力 數(shù)學思想“學以致用”是教學的主旨，數(shù)學能力的應用，在課堂上往往是通過數(shù)學解題來加以體驗。思維縝密、方法巧妙的解題能充分體現(xiàn)學生的觀察能力、理解能力、想象能力、運算能力、數(shù)學語言表達能力及邏輯推理能力。而解一道數(shù)學題，并不只是熟記住書本上的數(shù)學概念、相關(guān)定理就能做到，它不僅要求學生對概念、數(shù)學原理深刻理解與掌握，更重要的是要能對概念及數(shù)學原理進行剖析、挖掘、牽引、延伸，達到對概念與原理的活化功效，從而解題才能 “下筆有神”、“游刃有余”以致“融會貫通”。由于現(xiàn)在的初中生年齡普遍較低，思維的嚴密性相對較弱，要想學會縝密解題，教師的引領(lǐng)、示范必不可缺

3、，選擇好范例又至關(guān)重要。中學數(shù)學教材具有相對完備的知識體系，課本例題更是經(jīng)過專家與老師們精挑細選、精心設計的，不僅有典型的范例作用，還滲透著一定的數(shù)學思想和方法，具有很高的教學利用價值。在教學中，教材設置的例題應是首選的范例，例題教學應是教學環(huán)節(jié)的一個重要組成成分。重視例題教學，精選精析數(shù)學例題，特別是對例題的各種功能的開發(fā)，不僅能加深學生對基礎知識的理解和掌握，還能開發(fā)學生的智力，發(fā)散學生的定性思維，形成邏輯上的嚴密性，全面培養(yǎng)和提高學生能力，真正起到啟迪、拓展學生思維的重要作用。下面就例題教學的功效，例題教學的一些方法淺談一下筆者的幾點認識。一、例題教學的功效1、通過例題教學加強學生對數(shù)學

4、概念、定理定律及數(shù)學思想和方法的理解、鞏固與應用數(shù)學概念是現(xiàn)實世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，數(shù)學概念在數(shù)學思維中起著十分重要的作用，它是最基本的思維形式。概念教學是數(shù)學教學的重要方面，它能更新學生知識、提高學生認知水平，對學生的未來學習及數(shù)學用語的恰當表述具有重要的意義。概念形成后，針對學生對概念中特殊數(shù)學用語的理解不透徹，甚至思維模式有錯的地方，教師可以結(jié)合一些恰當?shù)睦}，加深理解并鞏固?！救私贪鏀?shù)學九年級上26頁】例 將方程3x（x1）5（x2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。評本題是借助教材引例及兩個問題列出相應3個方程，思

5、考方程特點，從而形成一元二次方程概念及一般形式后設置的例題，通過化簡整理，它不僅幫助學生進一步認識一元二次方程及其一般形式，還提升了學生分析方程組成，為求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系學習打下了基礎。說明此例的解析既起到了本課知識點的理解與鞏固，還為后續(xù)學習提供了鋪墊。數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，數(shù)學思維的形成離不開數(shù)學知識的掌握和數(shù)學思想方法的滲透。數(shù)學知識是應用數(shù)學的“源”，是解決數(shù)學問題的理論依據(jù)；數(shù)學思想方法是“路”，是活化一切數(shù)學知識的本質(zhì)，它為分析、處理數(shù)學問題提供了指導方針和解題策略。這正如南京師范大學涂榮豹教授所指出的：“在數(shù)學教學中要注重知識的傳授、記憶和模仿，更要重視的是數(shù)學思想

6、方法的滲透和數(shù)學定理、定律的剖析與引申”。如何做到數(shù)學思想方法的滲透和數(shù)學定理、定律的剖析與引申，從而全面掌握數(shù)學知識，形成一定的數(shù)學思維，例題教學具有一定的作用。【人教版數(shù)學八年級下96頁】例3 如圖19.1-9，ABCD的對角線AC、BD交于點O，E、F是AC上的兩點，并且AECF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形?！救私贪鏀?shù)學八年級下98頁】例4 如圖19.1-13，點D、E分別是ABC的邊AB、AC的中點，求證：DEBC且DEBC評這幾個例題旨在加強對平行四邊形的判定定理的應用，其中例3不僅具有一題多解性，還具有一題多變的作用，是一個很好的范例，具有很高的利用價值；例4除了加強對平行四

7、邊形的判定定理的應用，還訓練學生思考作輔助線的方法，同時為得出三角形的中位線定理提供了理論依據(jù)。另外，這幾個例題還滲透了數(shù)學的分類思想，數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。它們可以極大地提升學生的思維水平和解題能力，從而形成正確處理數(shù)學問題的策略。2、例題教學為學生的解題提供示范性、使學生解題更規(guī)范并具有可操作性解題是深化知識、發(fā)展智力、提高數(shù)學能力的重要手段之一。規(guī)范的解題不僅能夠使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，還能培養(yǎng)學生縝密的邏輯思維能力。規(guī)范解題要求步驟清晰、運算正確、推理有據(jù)、結(jié)構(gòu)完整、詳略得當。 【人教版數(shù)學九年級上36頁】例2 用公式法解下列方程：（1）x24x70 ；（2）2x

8、22x10 ；（3）5x23xx1 ；（4）x2178x .解：（1）a1 , b4 , c7 .b24ac（4）241（7）440 .方程有兩個不相等的實數(shù)根即 ，（2）（3）（4）題過程略評本題是在通過配方形成求根公式并探討歸納決定根的情況后，讓學生學會用公式法解一元二次方程的示范性例題，學生解題往往不管是否有根，把求根公式當成了“萬能公式”，直接將各系數(shù)代人求根公式，從而出現(xiàn)解題障礙甚至錯誤，本例的解題步驟清楚，格式規(guī)范，思路清晰，為學生起到了很好的示范性作用，讓學生真正學會用公式法解一元二次方程?！救私贪鏀?shù)學九年級上111頁】例1 如圖24.4-3，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是

9、0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.解：如圖24.4-3，連接OA，OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交弧AB于點C，連接AC. OC0.6, DC0.3 , ODOCDC0.3， ODDC,又 ADDC， AD是線段OC的垂直平分線， ACAOOC，從而 AOD60，AOB120.有水部分的面積 SS扇形OABSOAB 0.22（m2） 評本例解題的基本步驟是：作輔助線圖形與數(shù)據(jù)有效結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系形成代人公式計算得到結(jié)論。每一環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，依據(jù)充分、結(jié)論明顯，計算細致、條理清晰，為學生模仿計算圖形的面積提供了很好的示范作用。二、

10、例題教學常用方法及作用1、精選精析，強化數(shù)學知識的應用思維的靈活性首先來源于對基本概念、數(shù)學原理的深刻理解與熟練掌握，來源于對數(shù)學基本思想及方法的融會貫通。然而，由于初中學生的心理存在一定的“思維定勢”和出現(xiàn)“思維凝結(jié)”，對新知（尤其是一些復雜的實際應用題和復雜的圖形推證題）的應用往往不知何處入手或無從選擇。這時，教師精選一兩道例題，精講精析，引導學生剖析題中條件，化整為單一，再化單一為整，全面理清思路，最終合理推導或合理列式（或方程），得出相應結(jié)論?？梢匀媾囵B(yǎng)學生思維的靈活性，提高他們綜合運用數(shù)學知識的能力?！救私贪鏀?shù)學九年級上47頁】探究3 22.3-1，要設計一本書的封面，封面長27，

11、寬21，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的長方形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？ 分析：封面的長寬之比是 （略）評本探究為一元二次方程在圖形面積處理方面的實際應用，雖然條件不多，但上、下邊襯與左、右邊襯不等寬，學生易在此處陷入障礙，從而無法列出適當方程，這就要求教師剖析好邊襯寬度關(guān)系與封面長寬關(guān)系的聯(lián)系，化二元為一元，列一元二次方程解題，為學生今后解決圖形面積問題積累了經(jīng)驗?！救私贪鏀?shù)學九年級下88頁】例4 熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯角為60

12、，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？分析：（過程略）解： （過程略）評本題是指導學生利用解直角三角形的方法解決與視角有關(guān)的問題，過程為：整理條件以銳角三角函數(shù)梳理線段關(guān)系轉(zhuǎn)化所求線段長的關(guān)系式代人數(shù)值計算答題。把解直角三角形充分應用于解決生活實際問題。2、一題多變，拓展、延伸學生思維，提升學生思維的靈活性、應變性數(shù)學概念、原理的形成，是勞動者長期生活實踐或數(shù)學工作者不懈努力，反復推理、論證，最終從客觀世界中抽象產(chǎn)生的對數(shù)與形的思維總結(jié)與概括。學生對數(shù)學知識的理解與掌握，必須借助教師的引導，讓學生由表及里去剖析、由此至彼去延伸，形成思維的整體性、延續(xù)性。一

13、題多變，即“變式訓練”往往能夠發(fā)揮功效，這種訓練方式不僅能拓展、延伸學生思維，擴大學生數(shù)學思維的內(nèi)在模式的外延，更能提升學生思維的靈活性、應變性，促使學生對知識的廣泛遷移?！救私贪鏀?shù)學八年級下104頁】60ACDOB例1 如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，AOB=60，AB=4，求矩形的對角線的長。分析：（過程略）解： （過程略）評本題設置是在學生探究得出矩形的相關(guān)性質(zhì)后應有性質(zhì)解決實際問題，還有效地將等邊三角形融入在內(nèi)，為了加強學生對圖形的識別與性質(zhì)的綜合應有，例題解析后，我又在原題的基礎上進行了改編，使性質(zhì)應用進一步提升。【變式1】 如圖，矩形ABCD的一條對角線長為8，兩條對角線

14、的夾角AOD=120，求矩形的面積。解： （過程略）【變式2】 如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，AOB=60，經(jīng)過點O的直線EF交AD于E,交BC于F，OE與OF的長有什么關(guān)系？若EFAC ， AE與EF的長又有什么關(guān)系？ (口頭表述) 解： （過程略）當然，變式訓練不是加大題量，盲目擴充課堂容量，而應要有目的性、針對性，起到激發(fā)學生數(shù)學思維活躍性的作用，同時，還要有適度的變，有準備的變，不能變的茫無邊際，使學生感到越變越混亂，導致適得其反。3、一題多解，培養(yǎng)學生發(fā)散性、創(chuàng)造性思維，加強學生綜合解題的能動力，激發(fā)學生解題的趣味性同一個問題不只有一種解決方法 ,我們稱之為一題多解。一題

15、多解的“多解”只是數(shù)學思想和方法的一種表現(xiàn)形式。通過剖析問題實質(zhì)，引發(fā)一題多解，不僅讓我們更有主動性地運用一題多解的方法 ,串聯(lián)與歸納所學數(shù)學知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，還在教學中更為有效地培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維能力和發(fā)散思維能力。在數(shù)學教學中，讓學生學會一題多解，有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，有利于培養(yǎng)學生的綜合智能與解題技巧?！救私贪鏀?shù)學八年級下96頁】例3 如圖19.1-9，ABCD的對角線AC、BD交于點O，E、F是AC上的兩點，并且AECF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形。解法1：由ABCD得AOCO，BODO，因AECF得OEOF，利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊

16、形”這一判定定理論證結(jié)果。解法2：先證ABECDF，得BEDF，BEDF，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理論證結(jié)果。解法3：分別論證ABECDF與ADECBF，得BEDF，DEBF，利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理論證結(jié)果。解法4：分別論證ABECDF與ADECBF，得BEDF，DEBF，利用定義 “兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”論證結(jié)果。評通過以上幾種解法的論證，加強了所學平行四邊形的判定定理的理解，同時也鞏固了平行四邊形的性質(zhì)定理，突破了本節(jié)課的重點，不但達到了認知目標，而且還有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性、變通性、創(chuàng)造性，鍛煉了學生的求異思維、發(fā)散思維，也達到了本節(jié)課的能力目標。再讓學生比較哪種解法精簡，說明學習數(shù)學知識不僅要達到“廣度”，還要具有一定的“深度”，更要形成一定的“精度”，借此調(diào)動學生深鉆多思的學習積