高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例（二）學(xué)案 新人教B版必修

1、12應(yīng)用舉例(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關(guān)角度的測量問題.2.能夠運用正、余弦定理解決力學(xué)或幾何方面的問題知識鏈接有人說物理學(xué)科中的題實質(zhì)上是數(shù)學(xué)的應(yīng)用題，事實上學(xué)習(xí)物理離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，本節(jié)課我們來研究正、余弦定理在測量方面，及在物理中的力學(xué)、平面幾何方面的應(yīng)用要點一測量角度問題例1如圖在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求

2、出所需時間解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD10t海里，BD10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，BC(海里)又，sinABC，ABC45，B點在C點的正東方向上，CBD9030120.在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，又在BCD中，CBD120，BCD30，CDB30，BDBC，即10t.t小時15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘規(guī)律方法航海問題是解三角形應(yīng)用問題中的一類很重要的問題，解決這

3、類問題一定要搞清方位角，再就是選擇好不動點，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為三角形問題跟蹤演練1甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？解如圖所示設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在ABC中，BCat海里，ACat海里，B9030120，由得：sinCAB.0CAB90，CAB30.DAC603030.所以甲船應(yīng)沿著北偏東30的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇要點二正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用例2如圖所示，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角

4、形ABC，問：點B在什么位置時，四邊形OACB面積最大？解設(shè)AOB，在ABC中，由余弦定理，得AB2122222cos 54cos ，(0，)，于是，四邊形OACB的面積為SSAOBSABCOAOBsin AB221sin (54cos )sin cos 2sin().因為00，由正弦定理得.sin C.C60(C120舍去，否則由8x7x，知B也為鈍角，不合要求)由余弦定理得(7x)2(8x)215228x15cos 60，x28x150，解得x3或x5.AB21或AB35，在ABD中，ADABsin BAB，AD12或20.1已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北

5、偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東10 D南偏西10答案B解析如圖，因ABC為等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故選B.2臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40 km處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A0.5 h B1 h C1.5 h D2 h答案B解析設(shè)A地東北方向上點P到B的距離為30 km，APx.在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化簡得x240x7000.設(shè)該方程的兩根為x

6、1，x2，則|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即P1P220，故t1.故選B.3一艘海輪從A處出發(fā)，以40 n mile/h的速度沿南偏東40方向直線航行，30 min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是()A10 n mile B10 n mileC20 n mile D20 n mile答案A解析 如圖所示，由已知條件可得，CAB30，ABC105，AB4020(n mile)BCA45.由正弦定理可得.BC10(n mile)4如圖，在四邊形ABCD中，AC平分DAB，ABC60，AC6，AD5，SADC，則AB_.答案4解析在ADC中，已知AC6，AD5，SADC，則由SADCACADsin DAC，求得sin DAC，即DAC30， BAC30.而ABC60，故ABC為直角三角形； AC6， AB4.1在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解2解三角形的應(yīng)用題時