高中數(shù)學(xué)點(diǎn)線對稱問題

1、對稱問題專題【知識要點(diǎn)】1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的對稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題.設(shè)P（x0，y0），對稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對稱點(diǎn)為P（2ax0，2by0）.2.點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對頂點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P（x，y），則有可求出x、y.k=1，=k+b，特殊地，點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為P（2ax0，y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對稱點(diǎn)為P

2、（x0，2by0）.3.曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點(diǎn)，也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化）.一般結(jié)論如下：（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0.（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P（x，y），則由（2）知，P與P的坐標(biāo)滿足從中解出x0、y0，k=1，=k+b， 代入已知曲線f（x，y）=0，應(yīng)有f（x0，y0）=0.利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+

3、b的對稱曲線方程.4.兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的常見結(jié)論：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（x，y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為（x，y）；（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（x，y）；（4）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線xy=0的對稱點(diǎn)為（y，x）；（5）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)為（y，x）.【典型例題】【例1】 求直線a：2x+y4=0關(guān)于直線l：3x+4y1=0對稱的直線b的方程.剖析：由平面幾何知識可知若直線a、b關(guān)于直線l對稱，它們具有下列幾何性質(zhì)：（1）若a、b相交，則l是a、b交角的平分線；（2）若點(diǎn)A在直線a上，那么A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B一定在直線b

4、上，這時(shí)ABl，并且AB的中點(diǎn)D在l上；（3）a以l為軸旋轉(zhuǎn)180，一定與b重合.使用這些性質(zhì)，可以找出直線b的方程.解此題的方法很多，總的來說有兩類：一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程.解得a與l的交點(diǎn)E（3，2），E點(diǎn)也在b上解：由 2x+y4=0，3x+4y1=0， 方法一：在直線a：2x+y4=0上找一點(diǎn)A（2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，y0），由3+41=0，=，解得B（，）.由兩點(diǎn)式得直線b的方程為=，即2x+11y+16=0.方法二：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于l：3x+4y1=0的對稱點(diǎn)Q

5、（x0，y0），則有3+41=0，=. 解得x0=，y0=.Q（x0，y0）在直線a：2x+y4=0上，則2+4=0，化簡得2x+11y+16=0是所求直線b的方程.方法三：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），直線a上的點(diǎn)Q（x0，42x0），且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：3x+4y1=0對稱，則有=，=.消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）.評述：本題體現(xiàn)了求直線方程的兩種不同的途徑，方法一與，除了點(diǎn)E外，分別找出確定直線位置的另一個(gè)條件：斜率或另一個(gè)點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求出方程，方法二與方法三是利用直線上動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程，在使用這種方法時(shí)，要注意區(qū)分動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及參

6、數(shù)，本題綜合性較強(qiáng)，只有對坐標(biāo)法有較深刻的理解，同時(shí)有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成此題.【例2】 光線從點(diǎn)A（3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點(diǎn) B（2，6），求射入y軸后的反射線的方程.剖析：由物理中光學(xué)知識知，入射線和反射線關(guān)于法線對稱.解：A（3，4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1（3，4）在經(jīng)x軸反射的光線上，同樣A1（3，4）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A2（3，4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，k=2.故所求直線方程為y6=2（x+2），即2x+y2=0.評述：注意知識間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透.【例3】 已知點(diǎn)M（3，5），在直線l：x2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使MP

7、Q的周長最小.剖析：如下圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M1，再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M2，連結(jié)MM1、MM2，連線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點(diǎn)，由軸對稱及平面幾何知識，可知這樣得到的MPQ的周長最小.解：由點(diǎn)M（3，5）及直線l，可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)M1（5，1）.同樣容易求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M2（3，5）.據(jù)M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x+2y7=0.得交點(diǎn)P（，）.令x=0，得到M1M2與y軸的交點(diǎn)Q（0，）.解方程組x+2y7=0，x2y+2=0，故點(diǎn)P（，）、Q（0，）即為所求.評述：恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R對解題能起到事半功倍的效果.深化拓展 恰當(dāng)?shù)乩闷?/p>

8、面幾何的知識解題.不妨再試試這個(gè)小題：已知點(diǎn)A（1，3）、B（5，2），在x軸上找一點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|最小，則最小值為_，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_.答案： （，0）【鞏固練習(xí)】1.已知點(diǎn)M（a，b）與N關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為A.（a，b） B.（b，a）C.（a，b） D.（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），則Q（b，a）答案：B2.曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是A.y2=84x B.y2=4x8 C.y2=164x D.y2=4x16解析：設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線為C，在曲線C上任取一點(diǎn)P（

9、x，y），則P（x，y）關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為Q（4x，y）.因?yàn)镼（4x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x.答案：C3.已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2關(guān)于y軸對稱的充要條件是A.= B.p=5 C.m=n且p=5 D.=且p=5解析：直線l1關(guān)于y軸對稱的直線方程為（x）+my+5=0，即xmy5=0，與l2比較，m=n且p=5.反之亦驗(yàn)證成立.答案：C4.點(diǎn)A（4，5）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B（2，7），則l的方程為_.解析：對稱軸是以兩對稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線.答案：3xy+3=05.設(shè)直線x+4y5=0的傾斜角為

10、，則它關(guān)于直線y3=0對稱的直線的傾斜角是_.解析：數(shù)形結(jié)合.答案：6.已知圓C與圓（x1）2+y2=1關(guān)于直線y=x對稱，則圓C的方程為A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y1）2=1解析：由M（x，y）關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為（y，x），即得x2+（y+1）2=1.答案：C7.與直線x+2y1=0關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱的直線方程為A.2xy5=0 B.x+2y3=0C.x+2y+3=0 D.2xy1=0解析：將x+2y1=0中的x、y分別代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0.故選C.答案：C8.兩直線y=x和x=1關(guān)于

11、直線l對稱，直線l的方程是_.解析：l上的點(diǎn)為到兩直線y=x與x=1距離相等的點(diǎn)的集合，即=x1，化簡得x+y2=0或3xy2=0.答案：x+y2=0或3xy2=09.直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A（4，1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_.解析：易知A（4，1）、B（3，4）在直線l：2xy4=0的兩側(cè).作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A1（0，1），當(dāng)A1、B、P共線時(shí)距離之差最大.答案：（5，6）10.已知ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A（1，4），B、C的平分線所在直線的方程分別為l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求邊BC所在直線的方程.解：設(shè)點(diǎn)A（1，4）關(guān)于直線y+1=0的對

12、稱點(diǎn)為A（x1，y1），則x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直線BC上，再設(shè)點(diǎn)A（1，4）關(guān)于l2：x+y+1=0的對稱點(diǎn)為A（x2，y2），則有（1）=1，+1=0.解得 x2=3，y2=0，即A（3，0）也在直線BC上，由直線方程的兩點(diǎn)式得=，即x+2y3=0為邊BC所在直線的方程.【能力提高】11.求函數(shù)y=+的最小值.解：因?yàn)閥=+，所以函數(shù)y是x軸上的點(diǎn)P（x，0）與兩定點(diǎn)A（0，3）、B（4，3）距離之和.y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面幾何知識可知，若A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A （0，3），則|PA|+|PB|的最小值等于|AB|，即=4.所以ym

13、in=4.12.直線y=2x是ABC中C的平分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A（4，2）、B（3，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷ABC的形狀.解：由題意，點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)A在BC所在直線上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），則x1、y1滿足=，即x1=2y1. =2，即2x1y110=0. 解兩式組成的方程組，得x1=4，y1=2.BC所在直線方程為=，即3x+y10=0.得解方程組 3x+y10=0， x=2，y=2x， y=4.所求C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）.由題意|AB|2=50，|AC|2=40，|BC|2=10，ABC為直角三角形.13. 已知兩點(diǎn)A（2，3）、B（4，1），直線l：x

14、+2y2=0，在直線l上求一點(diǎn)P.（1）使|PA|+|PB|最?。唬?）使|PA|PB|最大.解：（1）可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（x1，y1）.則有 +22=0，（）=1.解得 x1=，y1=.由兩點(diǎn)式求得直線A1B的方程為y=（x4）+1，直線A1B與l的交點(diǎn)可求得為P（，）.由平面幾何知識可知|PA|+|PB|最小.（2）由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為y1=（x4），即x+y5=0.直線AB與l的交點(diǎn)可求得為P（8，3），它使|PA|PB|最大.14. 直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，1），若拋物線y2=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，求直線l斜率的取值范圍.解法一：設(shè)直線l的方程為y1=k（x1），弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A（x1，y1）、B（x2，y