數(shù)學(xué)題根研究 萬爾遐

1、數(shù)學(xué)題根研究 萬爾遐 （一） 題根是什么一、題根是個(gè)問題題根不是概念，不是結(jié)論，不是一般性的話題、標(biāo)題、主題。從句法上講，話題、標(biāo)題、主題都是陳述句，而題根是個(gè)疑問句，它是個(gè)問題。二、題根是個(gè)題目問題規(guī)范化后就是一個(gè)題目，就像講課時(shí)的例題，課本上的習(xí)題，考卷上的考題，會(huì)場(chǎng)上的討論題或研究題。 三、題根是題目的根基題根不是一個(gè)孤立的題目，也不是一堆題中的一個(gè)單一的個(gè)體。它是一個(gè)題族的根祖，一個(gè)題系中的根基，一個(gè)題群中的代表。抓到了一個(gè)題根，就等于抓到了這個(gè)題族，這個(gè)題群，這個(gè)題系。四、題根有生長(zhǎng)性題根不同于題源。題源那里似乎有現(xiàn)成的題目，只是在源源不斷地流出來。而題根不然，在那里，現(xiàn)在不一定有現(xiàn)

2、成的題目，眾多的新題目要從題根上長(zhǎng)出來。因此題根不是題庫而是題圃。五、題根有滲透性 題根不刻意對(duì)學(xué)科內(nèi)容在形式上的覆蓋，但著重考慮題根與題根之間自然的、深刻的、縱橫的滲透。因?yàn)楦采w的只是一個(gè)“平面”，而滲透將得到的一個(gè)“三維立體”。 因此，題根之前不要考點(diǎn)羅列，以便讓題根“自主地”去進(jìn)行“地下串聯(lián)”。六、題根有實(shí)用性題根在課堂教學(xué)中應(yīng)是課堂“主例”，而成為課堂的“課根”。課堂的其他例題要視作是“主例”的遷移、補(bǔ)充和拓展。 題根在考場(chǎng)上應(yīng)成為“考根”，它應(yīng)與考卷上的板塊考題相約、相吻、相關(guān)、相近，而不一定要相同。 七、題根的可接受性內(nèi)容在教綱和考綱范圍內(nèi)，難度在中等水平上（0.65）。題根不是高

3、難題（題頂），也不是簡(jiǎn)答題（題支或題葉）。題根是學(xué)生很想得到、而又不能伸手而得、卻是要跳起來摘到的果實(shí)。因此，題根在“行文”上要特別講究科學(xué)性與趣味性的結(jié)合。使學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中嘗到“苦中之樂”。（二）數(shù)學(xué)題根的幾種取向一、特殊為一般之根直三角形為一般三角形的根. 所謂解三角形，就是將一般三角形直角化. 二、二元為多元之根二元集合，二元平均不等式，二次式為二次型之根.二維為多維之根，平面為空間之根.三、形象為抽象之根模特為概念之根.三棱柱與三棱錐的側(cè)棱為三平面兩兩相交的交線之根. 文氏圖為集合運(yùn)算之根，楊輝三角形為組合計(jì)數(shù)之根. 四、正弦線是正弦函數(shù)之根三角函數(shù)線為三角函數(shù)性質(zhì)之根和角公式si

4、n(+)=sincos+cossin為三角變換之根五、正方體為多面體之根正方體四面體（三棱錐）多面體 六、例題為習(xí)題之根 H2=a，b為H3=a，b，c的根；為比較法證不等式的根.七、公式為變式之根定理為推理之根 二項(xiàng)式定理(a+b)n 導(dǎo)出的“母函數(shù)”.線面垂直定理導(dǎo)出三垂線定理八、確定為變化之根二點(diǎn)線，三點(diǎn)圓，四點(diǎn)確定拋物線，橢圓、雙曲線的一般確定要五點(diǎn)Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0九、匯聚為發(fā)散根曲線與方程，橢圓為例 焦半徑公式 r1 = a+ex，r2=a-ex為解橢圓之根十、有限為無限之根 數(shù)列的極限，連續(xù)與可導(dǎo).自然數(shù)函數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù) 十一、內(nèi)容為方法之根典型的數(shù)學(xué)方法與

5、典型的數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，就像典型的產(chǎn)品與典型的工藝相結(jié)合一樣.如配方法與二次型相結(jié)合，分析法與不等式相結(jié)合.十二、猜想為論證之根 數(shù)學(xué)推理始于猜想，猜想在前，論證在后.在論證中受阻時(shí)，可以回頭是岸：對(duì)具體問題進(jìn)行猜想.（三） 題根 題干 題系一、題海無邊 回頭是岸跨越考場(chǎng)，到底要練多少道題目？有說一千道，有說一萬道，有說越多越好！ 多就好嗎？泛濫成海，迷茫無邊，考生們?cè)诳嗪Ｖ袙暝?，期盼著燈塔，期盼著航?biāo)！其實(shí)，題目多到一萬，既不可行，也無必要。就拿數(shù)學(xué)來說，考點(diǎn)不到100個(gè)，理想地講，100道題就行了?；氐綄?shí)際，乘以保險(xiǎn)系數(shù)3，300道題目已經(jīng)足夠了。古人談學(xué)詩：熟讀唐詩300首，不會(huì)作詩也會(huì)

6、吟。我們這是談解題：經(jīng)典題練300道，不會(huì)編題也會(huì)解！有兒歌唱道：題成海，卷成洋，題海戰(zhàn)術(shù)真荒唐，航海本來靠航線，誰把海水灌肚腸？題有系，解有方，逃離題海變輕裝，良師給你神奇藥，對(duì)癥只需一口湯！二、題根 題干 題支 題系300道經(jīng)典題組成題干，平常所說的學(xué)科主干知識(shí)在此呈現(xiàn)。一張數(shù)學(xué)考卷上的22道題目，也在這里出出進(jìn)進(jìn)，若即若離，若隱若現(xiàn)。 300道經(jīng)典題并不平行或平等，其中不少的題目有共同的祖根，即題根。高中數(shù)學(xué)共分15章，每章只1個(gè)中心，1個(gè)中心隱藏著1個(gè)題根。高中數(shù)學(xué)的題根大約有15個(gè)左右，其他題目由它長(zhǎng)出，其中長(zhǎng)成主干的題目稱為題干（300道左右）。 300道題干再長(zhǎng)出分支，由1繁3，即高中數(shù)學(xué)約有900個(gè)左右的題支。就這樣，題根，題干，題支，組成高中數(shù)學(xué)的題系。平常說，高中數(shù)學(xué)有1000道題目，大概就是這樣來的。三、一攬無余 天下試題 題能生題，以至無窮；題有體系，可用有限把握無限。 （1）300道經(jīng)典題為題干，搭起題系的框架。按15章劃分，每章約20道經(jīng)典題目。 （2）15道題根為“題王”，將每章20道經(jīng)典題分別作捆扎，視繁為簡(jiǎn)，視厚為薄，抓題先抓綱，擒題先擒王。 （3）將300道題目作變通，作遷移，作繁殖，