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1、“閱讀型”問題的歸類和設(shè)計(jì)思考資中縣雙龍鎮(zhèn)鏵頭小學(xué)賓志華 “閱讀型”問題指通過呈現(xiàn)考生沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)方法等情境,要求考生通過自主閱讀、自主操作等方式進(jìn)行即時(shí)的學(xué)習(xí),然后進(jìn)行概括、歸納、抽象、并運(yùn)用現(xiàn)場(chǎng)所學(xué)得的知識(shí)解決相關(guān)的問題。解決這類問題的過程中,考生無(wú)法直接套用已知的知識(shí)或現(xiàn)成的模式。只有在有效閱讀,研究給定的材料的基礎(chǔ)上,經(jīng)過有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)與提煉,才能有效解決問題。“閱讀型”問題的構(gòu)造注重著眼學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程及不同認(rèn)知階段特征的表現(xiàn)。其內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出比較嚴(yán)謹(jǐn)、整體性強(qiáng)的特點(diǎn)。其問題模型可以表示為:結(jié)果=f(A、B、C、D),其中A為閱讀材料、B為研究對(duì)象、C為給出
2、的條件、D為需要完成的任務(wù)。而規(guī)律探究、方法運(yùn)用、學(xué)習(xí)策略等則是“條件”隱形存在的“魂”。這種題型雖然在構(gòu)造方式上“五花八門”,但是經(jīng)過整理也能發(fā)現(xiàn)它們存在著一定的規(guī)律。1“閱讀型”問題的歸類 “閱讀型”問題從題型上看,有展示全貌,留空補(bǔ)缺的;有說明解題理由的;有要求尋找解題錯(cuò)誤的;有要求歸納規(guī)律再解決問題的;有理解新概念再解決新問題的等等。這類不少源于課本又高于課本,一般難度不大,但結(jié)構(gòu)獨(dú)特,寓意深刻的考題是2011年中考試題中的亮點(diǎn),熱點(diǎn)。筆者通讀100多份試題,發(fā)現(xiàn)“閱讀型”問題有以下幾種常見的類型。1.1 先閱讀后歸納簡(jiǎn)單的說,這類問題是將規(guī)律隱藏在幾個(gè)特例中,要求考生通過對(duì)有限個(gè)特例
3、的閱讀,觀察、分析、探索、猜想,發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,然后將這個(gè)規(guī)律從特殊推廣到一般,并加以應(yīng)用。這里雖然用到了不完全歸納法,但結(jié)果往往是正確的。對(duì)于命題者來說設(shè)計(jì)該類問題的情境主要以閱讀為主,任務(wù)為領(lǐng)會(huì)所呈現(xiàn)規(guī)律的特征。其模型為:結(jié)果=f(A、B、C)。其中A為閱讀含有規(guī)律的材料,B為對(duì)比分析思考,C為任務(wù)。這類問題若用“填空題”或“選擇題”的方式呈現(xiàn),能凸顯對(duì)歸納思維的考查;若使用解答題題型呈現(xiàn),還能突出對(duì)規(guī)律形成過程的考查。其解題程序是:先閱讀,后歸納?!纠?】(四川成都第23題4分)設(shè), 設(shè),則S =_ (用含n的代數(shù)式表示,其中n為正整數(shù))ABCOD【例2】(山東德州第22題分值10分)觀察計(jì)
4、算當(dāng),時(shí), 與的大小關(guān)系是_當(dāng),時(shí), 與的大小關(guān)系是_探究證明如圖所示,為圓O的內(nèi)接三角形,為直徑,過C作于D,設(shè),BD=b(1)分別用表示線段OC,CD;(2)探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系(用含a,b的式子表示)歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明,你能得出與的大小關(guān)系是:_實(shí)踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框,直接利用探究得出的結(jié)論,求出鏡框周長(zhǎng)的最小值(用含a,b的式子表示)【試題評(píng)析】例1所示的問題情境給出了閱讀材料,它將算式作為問題關(guān)注的對(duì)象,以呈現(xiàn)的一系列運(yùn)算作為問題提供的條件。整個(gè)問題需要在閱讀給定材料的基礎(chǔ)上,通過觀察與思考,理解算式中蘊(yùn)含的規(guī)律。這樣的問題可考查對(duì)運(yùn)
5、算過程及其規(guī)律的理解能力和歸納推理能力。例2所示的情景類似自學(xué)過程中遇到的場(chǎng)景。整個(gè)問題呈現(xiàn)出“提出問題提供方法解決問題新情景下運(yùn)用方法”的將問題試題化的思路體現(xiàn)了對(duì)問題演變規(guī)律的理解要求。1.2 先閱讀后模仿 簡(jiǎn)單的說,這類問題以典例的形式給出閱讀材料,并在給出的解題過程中暗示解題的思路,方法,技巧。再以考生捕捉得到的數(shù)學(xué)方法,解題技巧為載體解答類似的問題。解答這類問題的常見思路是類比,模仿,轉(zhuǎn)化。 對(duì)于命題者而言,該問題在設(shè)計(jì)過程中,所給情境描述要巧妙預(yù)埋解答新題所需要的“工具”或“手段”。讓考生有效去挖掘,這類問題模型是:結(jié)果=f(A、B、C)。其中A為表示含有思想方法,技巧的閱讀材料,
6、B為抽象出所需要素,C為任務(wù)。其解題程序是:先閱讀,后模仿。【例3】(浙江衢州21題分值8分).某花圃用花盆培育某種花苗,經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系,每盆植入3株時(shí),平均單株盈利3元,以同樣的載培條件,若每盆每增加1株,平均單株盈利就減少0.5元,要使每盆的盈利達(dá)到10元,每盆應(yīng)該植多少株?小明的解法如下:解:設(shè)每盆花苗增加x株,則每盆花苗有(x+3)株,平均單株盈利為(3-0.5x)元.由題意:得(x+3)(3-0.5x)=10.化簡(jiǎn),整理,得x2-3x+2=0.解這個(gè)方程,得x1=1,x2=2.答:要使每盆的盈利達(dá)到10元,每盆應(yīng)該填入4株或5株。(1)本題涉及的主要
7、數(shù)量有每分花苗株數(shù),平均單株盈利,每盆花苗的盈利等,請(qǐng)寫出兩個(gè)不同的等量關(guān)系。 _(2)請(qǐng)用一種與小明不相同的方法求解上述問題.【試題評(píng)析】例3所示的問題情景為問題的解答提供了方法,學(xué)生在有效閱讀后,試題要求考生通過對(duì)方法的提煉、分析后另辟蹊徑從另一個(gè)角度解答同樣的問題,從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)考生的求異思維能力的考查。這種類似一題多解的問題形式可謂匠心獨(dú)運(yùn),為模仿閱讀題注入了新的內(nèi)涵,避免了簡(jiǎn)單的機(jī)械模仿。1.3 先閱讀后運(yùn)用 簡(jiǎn)單的說,這類問題以純文字、符號(hào)或圖形的形式定義一種全新的概念、公式或運(yùn)算法則。要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上解答問題。解答這類問題時(shí),要善于挖掘定義的內(nèi)涵和本質(zhì)。并能夠用舊知識(shí)對(duì)新
8、定義進(jìn)行合理的解釋。進(jìn)而將陌生的定義轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)去理解和解答。 對(duì)于命題者而言,設(shè)計(jì)該類問題在構(gòu)造上往往取決于高中內(nèi)容相銜接的數(shù)學(xué)知識(shí)或命題者自行設(shè)計(jì)某種新定義、新運(yùn)算、新規(guī)則或解題新方法等,應(yīng)非常注意在問題情境中呈現(xiàn)新的概念。因?yàn)樾碌臄?shù)學(xué)概念是整個(gè)問題的著眼點(diǎn),整個(gè)問題緊緊圍繞這個(gè)題眼展開。其問題的模型是:結(jié)果=f(A、B、C)。其中A為含有新概念的閱讀,B為條件,C為理解后的應(yīng)用。其解題程序是:先閱讀,后運(yùn)用?!纠?】(浙江寧波25題分值10分)閱讀下面的情景對(duì)話,然后解答問題:老師:我們新定義一種三角形,兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形小華:等邊三角形一定是奇異三
9、角形。小明:那直角三角形中是否存在奇異三角形呢?(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義,請(qǐng)你判斷小華提出的命題:“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題?(2)在RtABC中,ACB=90,AB=c,AC=b,BC=a,且ba,若RtABC是奇異三角形,求a:b:c.(3)如圖AB是O的直徑,C是O上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),D是半圓的中點(diǎn),C、D在直徑AB的兩側(cè),若在O內(nèi)存在點(diǎn)E,使得AE=AD,CB=CE.求證:ACE是奇異三角形;當(dāng)ACE是直角三角形時(shí),求AOC的度數(shù).【試題評(píng)析】例4呈現(xiàn)了新概念“奇異三角形”。“奇異三角形”為問題的基本對(duì)象,整個(gè)問題嘗試借助“奇異三角形”的性質(zhì)與判斷來
10、考查對(duì)“奇異三角形”概念的閱讀與運(yùn)用.體現(xiàn)了對(duì)考生閱讀能力的考查。運(yùn)用解答題型設(shè)計(jì)本例使得問題解決過程能得到充分體現(xiàn),同時(shí)也有利于用層階式的設(shè)問方式對(duì)問題解決中學(xué)習(xí)能力的不同層次進(jìn)行區(qū)分。4.先閱讀后判斷 簡(jiǎn)單的說,這類問題是將考生平時(shí)學(xué)習(xí)中的一些“易錯(cuò)點(diǎn)”、“易混淆點(diǎn)”、以及一些“負(fù)遷移”個(gè)案隱藏在所提供的解題過程中,通過解題過程的呈現(xiàn),去考查考生批評(píng)性思維的能力,并在糾錯(cuò)的過程中,提升對(duì)所學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí),再思考。 對(duì)于命題者而言,設(shè)計(jì)該類問題選取的背景材料應(yīng)來源于平時(shí)的教學(xué)中,不可閉門造車,給予考生的是活生生的實(shí)例,讓考生通過有效的閱讀去推敲,去琢磨,從而作出成功的判斷。其問題的模型是:結(jié)
11、果=f(A、B、C)。其中A為有答題錯(cuò)誤的解題材料,B為有效手段,C為任務(wù)。其解題程序?yàn)椋合乳喿x,后判斷。【例5】(黃岡調(diào)考第18題分值7分)閱讀下列題目的解題過程:已知a、b、c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀。解 a2c2-b2c2=a4-b4 c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) c2=a2+b2 ABC是直角三角形。問:(1)上述解題過程,從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫出該步的代號(hào): ; (2)錯(cuò)誤的原因?yàn)椋?;(3)本題正確的結(jié)論是: ?!纠?】(湖南邵陽(yáng)23題)閱讀下列材料,然后解答問題經(jīng)過正四邊形(即正方形)各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊
12、形的外接圓,圓心是正四邊形的對(duì)稱中心,這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形如圖,已知正四邊形的外接圓,的面積為,正四邊形的面積為以圓心為頂點(diǎn)作,使將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),分別與相交于點(diǎn),分別與正四邊形的邊相交于點(diǎn)設(shè)由及正四邊形的邊圍成的圖形(圖中的陰影部分)的面積為當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)(如圖),則之間的關(guān)系為:;(1)當(dāng)時(shí)(如圖),點(diǎn)為垂足,則上述結(jié)論仍然成立嗎?請(qǐng)說明理由;(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)(如圖),則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?請(qǐng)說明理由【試題評(píng)析】:例5所示的問題情景言簡(jiǎn)意賅,推進(jìn)的層次是:錯(cuò)處、錯(cuò)因、結(jié)論。答案比較隱秘,而考查的重點(diǎn)剛好是學(xué)生平時(shí)作業(yè)中易忽略的點(diǎn)(在等式兩邊同除以同一個(gè)數(shù)或式子時(shí),必須保
13、證這個(gè)數(shù)或式的值是非零才行)。例6所示的問題情景給定了在特例條件下的正確答案,通過條件的變化讓考生先判斷后說理,體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法,為考生后續(xù)學(xué)習(xí)提供了思考方法上的參考。1.5 先猜想后驗(yàn)證 簡(jiǎn)單的說,這類問題是將課堂中動(dòng)手操作、合作交流的場(chǎng)景引入中考試題的一類問題,通過設(shè)置由淺入深,由直觀到抽象的問題,讓學(xué)生跳一跳就能摘到“桃子”。并從實(shí)驗(yàn)中體會(huì)到所希望得到的結(jié)論。對(duì)于命題者而言,設(shè)計(jì)這類問題在給出情境上應(yīng)力求展現(xiàn)從特殊到一般情況下針對(duì)問題解決的途徑逐步探索的過程,問題的呈現(xiàn)為問題的解決提供一個(gè)實(shí)驗(yàn)過程。該類問題模型的一般形式是:結(jié)果=f(A、B、C)。其中A為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),B為對(duì)象和
14、條件,C為任務(wù)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的整個(gè)過程整體上能體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中探索能力的考查。其解題程序是:先猜想,后探索?!纠?】(濱州市23題分值9分) 根據(jù)給出的下列兩種情況,請(qǐng)用直尺和圓規(guī)找出一條直線把三角形ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形(不寫做法;但需保留作圖痕跡;并根據(jù)每種情況分別猜想:A與B有怎樣的數(shù)量關(guān)系事,才能完成以上作圖?并舉例驗(yàn)證猜想所得到結(jié)論:(1) 如圖,在ABC中,C=90,A=24作圖:猜想:驗(yàn)證:(2)如圖在ABC中,C=84,A=24作圖:猜想:驗(yàn)證:【試題評(píng)析】例7所示問題情景中的“動(dòng)手畫”和“問題猜想”以及“對(duì)猜想的驗(yàn)證”表面上看,它似乎是一般的操作,但更深層次的可以理
15、解為是另一類閱讀。本例的具體問題借助幾何圖形這個(gè)對(duì)象,以及相應(yīng)所具有的條件提供了畫直線分幾何圖形的任務(wù)。運(yùn)用解答題題型設(shè)計(jì)試題使探索該問題解決途徑的過程逐步得以呈現(xiàn),并順應(yīng)問題中圖形從特殊到一般的條件變化,能突顯問題解決中認(rèn)知要求和能力的層次性,有利于從整體上加強(qiáng)整卷探索能力的考查。2“閱讀型”問題的設(shè)計(jì)思考 “閱讀型”問題往往關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的能力,問題的解決具有能力的綜合性。如何從有利于顯現(xiàn)學(xué)生在解決問題過程中不同層次的角度,選擇合適的題型將其設(shè)計(jì)為試題考查學(xué)生的能力,筆者認(rèn)為有以下列兩點(diǎn)值得關(guān)注和重視。 2.1 整個(gè)問題文字閱讀量的控制??v觀全國(guó)試題,“閱讀型”問題在主觀題中出現(xiàn)時(shí),整個(gè)試題的文字量往往是最大的。雖然它對(duì)考查能力有極強(qiáng)的功能,但有可能造成考
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